兩擋AMT斜齒輪彎扭軸耦合非線性振動特性分析

宋 強, 孫丹婷，章 偉

(1.北京理工大學 機械與車輛學院，北京 100081；2.北京理工大學 電動車輛國家重點實驗室，北京 100081)

斜齒輪傳動是一種非常重要的傳動系統，廣泛應用在車輛動力系統中，對于驅動電機直連無離合器無同步器的兩擋機械式自動變速器(automated mechanical transmission，AMT)，其齒輪系統的振動特性與傳動系統動力傳遞的穩定性和換擋平順性密切相關，同時也是變速器噪聲抑制的研究基礎，現階段，線性化的研究方法不能很好的解決傳動系振動和換擋沖擊問題，有必要研究其非線性動力學特性。

國內外學者業已對于斜齒輪非線性動力學模型建立以及計算方法已經展開了大量研究工作[1-6]，對于單對嚙合斜齒輪，著重研究齒輪嚙合剛度的計算方法以及其他內部因素對嚙合剛度的影響[7-8]，進一步研究帶軸單級齒輪的多自由度建模方法與振動特性[9]，同時也有關于多軸多級斜齒輪的彎扭軸耦合建模及非線性動力學振動特性的研究[10]，但是以上研究對象是固定速比的齒輪傳動系統，沒有涉及到換擋的因素。

機械式變速器為多級傳動同軸多擋布置的齒輪結構，擋位較多，存在速比變化結構，各擋齒輪之間的扭轉和平移振動存在耦合，建模復雜，常采用集中質量法和有限元法予以建模分析[11-12]。林何等[13]采用集中質量法建立了兩個擋位齒輪的數理嚙合模型，同時將耦合軸段采用有限元建模，雖然大大減少了計算時間，但是只考慮了齒輪系統嚙合的扭轉振動，沒有考慮齒輪軸平移振動及其耦合影響。

為了解決以上問題，系統揭示變速器齒輪振動耦合機理，本文結合實際純電動汽車用無離合器無同步器兩擋AMT結構，考慮斜齒輪副的齒側間隙、時變嚙合剛度和嚙合阻尼、靜態傳遞誤差以及軸承剛度等因素，建立齒輪系統“彎-扭-軸”耦合非線性動力學模型，利用了分岔圖、時間歷程圖、相圖、龐加萊截面圖以及FFT頻譜圖分析不同轉速下兩個擋位齒輪副的振動特性，以及齒輪結構參數對非線性振動的影響，為純電動汽車兩擋AMT的結構設計、換擋策略設計和工程應用提供技術支持。

1 AMT齒輪系統非線性動力學模型

本文選用的某款純電動汽車兩擋AMT齒輪系統結構如圖1所示，驅動電機與變速器輸入軸直連，主動齒輪1、2與輸入軸一體加工；從動齒輪3、4由滾針軸承支撐，空套在輸出軸上；變速器兩根軸各自由一對圓錐滾子軸承支撐在箱體上。一個擋位工作時，接合套與其從動齒輪接合承受載荷傳遞動力，同時另一個擋位齒輪空載。本文以變速器工作在一擋時為例，建立齒輪系統非線性動力學模型，并分析承載齒輪與空載齒輪的振動特性，關于工作在二擋工作狀態的振動分析與此類似，不再贅述。

圖1 兩擋AMT齒輪結構示意圖

考慮齒輪系統的內部激勵與外部激勵因素，采用集中質量法建立圖2所示的11自由度“彎-扭-軸”耦合動力學模型，圖中,βb1,βb2為齒輪副基圓螺旋角；kh1，kh2為齒輪副嚙合剛度；ch1，ch2齒輪副嚙合阻尼；e1(t)，e2(t)為齒輪副靜態誤差；b為半齒側間隙；k1x,k1y,k2x,k2y為圓錐滾子軸承支撐剛度；kn為滾針軸承支撐剛度；kc為從動齒輪與輸出軸軸向接觸剛度。

圖2 一擋接合時變速器齒輪非線性動力學模型

設xi(i=1,2,3,4)為齒輪i的軸向位移，yi(i=1,2,3,4)為齒輪i的橫向位移，其方向為齒輪嚙合平面內垂直于x軸方向，θm為電機-輸入軸旋轉角，θ3,θ4分別為齒輪3、4的旋轉角，則模型的廣義坐標q為

q={x1,y1,x2,y2,θm,x3,y3,θ3,x4,y4,θ4}T

齒輪內部激勵包括時變嚙合剛度、嚙合阻尼和靜態嚙合誤差。斜齒輪的時變嚙合剛度和嚙合阻尼大小與齒輪材料和結構參數有關，嚙合剛度曲線隨著齒輪旋轉呈現周期變化，可表示為傅里葉級數的形式

(1)

式中：k0為平均剛度；kj為剛度的j階諧波幅值；ωh為齒輪副嚙合頻率；φj為諧波初相位。諧波疊加次數越高，剛度變化越不明顯[14]，因此，為簡化計算，只取1階諧波，初相位取0°。

而嚙合阻尼采取經驗公式[15]得到，即

(2)

式中：rp，rq分別為主、從動齒輪基圓半徑；Ip，Ip分別為主、從動齒輪轉動慣量；ξ為阻尼比，通常取值為0.03～0.17。

齒輪靜態嚙合誤差由加工或安裝引起，可將其表示為[16]

e(t)=esinωht

(3)

式中，e為誤差幅值。則一擋齒輪副的軸向和橫向動態嚙合誤差分別為

δx1=x1-x4-tanβb1(r1θm+y1-r4θ4-y4)-

e1(t)sinβb1

(4)

δy1=r1θm+y1-r4θ4-y4-e1(t)cosβb1

(5)

二擋齒輪副的軸向和橫向動態嚙合誤差分別為

δx2=x2-x3-tanβb2(r2θm+y2-r3θ3-y3)-

e2(t)sinβb2

(6)

δy2=r2θm+y2-r3θ3-y3-e2(t)cosβb2

(7)

其中，ri(i=1,2,3,4)分別為齒輪i的基圓半徑。則一擋(i=1)、二擋(i=2)齒輪副軸向和橫向嚙合力為

(8)

(9)

式中，fx(δ)和fy(δ)分別為軸向和橫向間隙函數，其一般表達式為

(10)

(11)

齒輪系統的外部激勵包括軸承支撐剛度與負載力矩。變速器工作在一擋時，齒輪4與變速器輸出軸固連，空轉的齒輪3則與輸出軸同位置的徑向位移相對獨立。變速器的輸入軸和輸出軸可以看作是簡支梁，支點位于圓錐滾子軸承處。設軸承支點間軸長為L，一擋位置為x=a，二擋位置為x=c，如圖3所示。同一根軸上的兩個齒輪，一擋嚙合力不僅對軸的x=a處產生軸向或橫向位移，也會由于軸的變形對x=c處產生相應的位移，所以，兩個擋位齒輪之間的振動總是耦合的。

假設在x=a處受到橫向動態集中力Fsinωt，通過振型疊加法可得x=c和x=a處橫向位移比值為[17]

(12)

同理，當x=a處受到軸向動態集中力Fsinωt，可得到x=c和x=a處軸向位移比值為

(13)

式(12)、式(13)的位移比值只與軸的長度和兩擋齒輪在軸上相對位置有關，與受力大小無關。變速器工作在一擋時，一擋齒輪副的嚙合力遠大于空載的二擋齒輪副，因此一擋嚙合力將對二擋齒輪造成較大位移，而二擋嚙合力對一擋齒輪副的影響可忽略。

為了保證空套齒輪3與齒輪2的穩定嚙合，齒輪3在輸出軸上的裝配存在軸向限位，同時還要保證空轉自由，所以為非緊固裝配，因此齒輪3軸向振動過程中與輸出軸之間有接觸力。則一擋狀態下齒輪系統非線性動力學振動方程為式(14)。

其中：min為變速器輸入軸集中質量；mc為變速器輸出軸和滑套總質量；m3，m4分別為齒輪3，4的質量；ri(i=1,2,3,4)為齒輪i的基圓半徑；Iin為驅動電機與變速器輸入軸總轉動慣量；I3，I4分別為齒輪3，4的轉動慣量；Ic為變速器輸出軸和滑套的總轉動慣量；Tm為電機驅動扭矩；Tf為負載扭矩。

(14)

Tp1為滾針軸承處產生的滾動摩擦力矩，其表達式為

(15)

式(15)中，μ1為滾動摩擦因數，根據國家標準GB/T 309—2000《滾動軸承 滾針》，帶保持架的滾針軸承滾動摩擦因數為0.002～0.003；Fn為滾針軸承所受載荷；dg為滾針軸承公稱內徑，這里取40 mm。

Tp2為齒輪3與輸出軸軸向接觸產生的滑動摩擦扭矩，其表達式為

Tp2=μ2Fcrs=μ2kc(x3-χx·x4)rs

(16)

式中：μ2為滑動摩擦因數，取值0.08；Fc為齒輪3與輸出軸軸向接觸正壓力；rs為平均接觸半徑，取值25 mm。

(17)

嚙合阻尼可寫成ch1=2ξω0me1和ch2=2ξωn2me2。

(18)

(19)

(20)

(21)

間隙函數無量綱化為

(22)

將式(22)代入式(14)，得到無量綱方程式為

(23)

2 齒輪非線性動力學振動特性分析

現階段研究大多是基于齒輪系統恒定負載不同轉速下的非線性振動特性研究，然而這種方法并不適用于車輛AMT齒輪系統，因為車輛在平直路面勻速行駛時，驅動電機轉速不同，變速器所受負載力矩也隨之變化，兩者之間的理論關系式為

(24)

式中：m為整車整備質量；f為路面滾動阻力系數；CD為空氣阻力系數；A為車輛迎風面積；ωm為電機轉速；rw為輪胎半徑；ηt為傳動系機械傳動效率；ig1為一擋變速比；i0為主減速器速比。而電機驅動力矩為Tm=Tf/(ig1i0)。

表1 齒輪系統基本參數

2.1 承載齒輪副穩態振動特性分析

承載齒輪即一擋齒輪副的扭轉振動影響車輛的行駛穩定性與平順性，齒輪副橫向嚙合誤差振動能夠反映齒輪副的扭轉振動情況。變速器輸入軸兩齒輪與驅動電機轉速一致，已知齒輪1齒數z1，則無量綱嚙合頻率與電機轉速關系為

ω=ωh1/ω0=ωmz1/ω0

(25)

選用的純電動車驅動電機峰值轉速10 000 r/min，對應的無量綱嚙合頻率ω<0.9，令阻尼比ξ=0.08，仿真得到的一擋橫向動態嚙合誤差最大位移關于無量綱嚙合頻率的分岔圖如圖3所示。其中圖3(a)為全局分岔圖，當ω<0.09時，一擋齒輪副多處于單倍周期運動狀態，傳動穩定，振動有規律；當ω=0.09～0.165 4時，出現多倍周期與單倍周期更替現象，雖然系統振動狀態不斷變化，但總體上作周期穩定性運動；ω從0.165 4變至0.167 3，系統由單倍周期運動狀態跳變為非連續的多倍周期運動狀態或混沌狀態，如圖3(b)，這種現象為擦邊分岔，下文會對其產生原因與特性進行分析；ω=0.252 8時系統達到最大振動位移，隨后，ω=0.254 6～0.388 4時系統進入混沌狀態，混沌狀態下振動無規律，此時齒輪運動不穩定會產生較大的噪聲；隨著齒輪轉速升高，系統時而周期運動，時而進入混沌；ω=0.76～0.78時，系統出現叉形分岔現象，如圖3(c)所示，形如“叉子”一樣，單倍周期連續地分岔為兩倍周期或再分岔為多倍周期；高轉速范圍ω>0.8時，系統處于單倍周期狀態，傳動穩定。

(a)

圖4表示ω=0.165 4時一擋齒輪副的振動特性，從時間歷程圖可看出Uy1振動具有周期性，圖4(b)中相圖軌跡單周閉環，結合圖4(c)中軌跡線與龐加萊截面交點集唯一，則可說明一擋齒輪副是處于單倍周期運動狀態，圖4(d)表明振動曲線包含一個頻率成分。

(a)時間歷程圖

而圖5所示為當ω=0.167 3時，Uy1振幅大小不穩定，相圖為雜亂多環軌跡，龐加萊截面交點集連續且FFT頻譜圖中包含連續的頻率成分，以上都可表明此時一擋齒輪副處于混沌狀態。

(a)時間歷程圖

ω由0.165 4～0.167 3，僅發生了很小的變化，但系統的運動狀態卻發生了質的改變，這是非線性系統不同于線性系統的特性，其原因在于碰撞或沖擊等非光滑因素影響。如圖6(a)所示，擦邊分岔前Uy1>1，因此齒輪副始終為正向齒面嚙合不分離，即主動齒輪推動從動齒輪轉動，系統沒有碰撞沖擊現象，傳動穩定。

擦邊分岔發生時，如圖6(b)所示，AB段從|Uy1|<1變至Uy1<-1，輪齒從脫嚙到反向齒背碰撞，即從動齒輪推動主動齒輪旋轉；然后，BC段齒背脫嚙；CD段|Uy1|<1變至Uy1>1，輪齒由脫嚙到正向齒面碰撞。整個振動過程正向齒面和負向齒背碰撞沖擊交替進行，即發生了雙邊沖擊[18]，且較擦邊分岔前振幅明顯增大。因此，齒輪達到一定轉速時，不能維持穩定嚙合狀態，就會發生碰撞和沖擊現象，進而導致系統失穩，在此轉速點工作時，變速器就會產生較強的振動與噪聲，也會影響車輛行駛的穩定性。

(a)擦邊分岔前ω=0.165 4

2.2 空載齒輪副穩態振動特性分析

車輛行駛過程中，空載齒輪扭轉方向的拍擊振動會引起變速箱的噪聲，影響乘車駕駛的舒適性。

動態規劃算法[12]采用數值方法求解系統控制問題,對控制系統模型進行離散化.動態規劃算法通過當前時刻控制變量和狀態量求解離散化數學模型.在液壓混合動力車輛系統中,當系統配置、部件參數和驅動循環被定義時,燃油經濟性主要依賴于兩個動力源的協調來推動系統.采用動態規劃算法的目的是找出最佳功率分流因子u,使發動機燃料消耗Δmf最小化.選擇液壓蓄能器作為模型狀態變量，最優控制主要是控制發動機的節氣門開度以及泵的液壓泵排量.駕駛循環中消耗的總燃料質量最小化的優化問題，可以認為是離散時間最優控制問題,其表達式[12]為

二擋橫向動態誤差Uy2最大位移量能夠反映空載齒輪的扭轉振動劇烈程度。空載齒輪的振動很大程度受承載齒輪的運動狀態影響，當一擋齒輪系統為周期運動狀態或混沌時，混沌狀態下二擋齒輪的扭振就會較為劇烈。

若是一擋齒輪都處于單倍周期運動狀態，例如ω=0.04、ω=0.08和ω=0.158，關于二擋齒輪Uy2的振動特性如圖7所示。圖7(a)表明，二擋齒輪都處于單倍周期運動狀態，其中，ω=0.158時二擋處于準周期狀態；圖7(b)表明，隨著嚙合頻率ω增大，Uy2的最大位移隨之增大，分別為0.518 2、0.645 8和0.793 1，相應的振動曲線峰峰值也增大。因此，一擋齒輪為單倍周期運動時，驅動電機轉速越高，齒輪嚙合頻率越大，二擋齒輪周期運動的穩定性會變差，其扭轉振動越劇烈。

(a)相圖

2.3 結構參數對齒輪非線性扭轉振動影響

圖3中一擋齒輪橫向動態嚙合誤差Uy1的最大位移值出現在ω=0.252 8點處，此時一擋承載齒輪處于混沌狀態，較大的扭轉振動會降低傳動穩定性和平順性，可通過選取合適的齒輪結構參數來減小最大振動位移。

2.3.1 阻尼比

令ω=0.252 8，阻尼比ξ從0.03變化至0.17，變速器齒輪系統其他參數不變，仿真得到Uy1關于阻尼比變化的分岔圖如圖8所示。對于全局分岔圖可將阻尼比變化步長選大一些，觀察Uy1最大位移變化趨勢，而后針對局部再細化步長，從而節省時間成本。從圖8(a)來看，ξ<0.085時Uy1振動較為劇烈，最大位移值較大，而ξ>0.09時Uy1最大位移值明顯減小。將ξ=0.085～0.09局部范圍細化如圖8(b)所示。阻尼比ξ>0.085 23時就能夠明顯減小一擋橫向動態嚙合誤差的最大振動位移。

(a)全局

令阻尼比ξ=0.12，其他參數不變，一擋橫向動態誤差關于無量綱頻率的分岔圖如圖9所示。整體來看相較于ξ=0.08，Uy1的最大位移值普遍較小；當ω<0.165 4時，隨著轉速升高也能保持單倍周期運動的穩定性；但ω>0.8時系統處于混沌狀態，不再作周期運動。所以適當增大承載齒輪副阻尼比能夠抑制齒輪扭轉振動振幅，但會使高轉速范圍的齒輪系統運動狀態復雜化。

圖9 ξ=0.12時一擋齒輪副關于無量綱嚙合頻率ω的分岔圖

2.3.2 嚙合剛度

令一擋齒輪的平均嚙合剛度k01由1.5×108～6.1×108變化，阻尼比固定為ξ=0.08，嚙合頻率ω=0.252 8，其余參數不變，則Uy1關于嚙合剛度k01的分岔圖如圖10所示。k01<2.3×108N/m時，Uy1最大振動位移值普遍較小，k01>2.3×108N/m時，隨一擋平均嚙合剛度增大，Uy1最大位移值逐漸減小。通常，變速器用齒輪為了保證齒輪疲勞強度，會采用合金鋼等高性能材料或進行熱處理，因此齒輪剛度較大。

圖10 一擋齒輪副關于嚙合剛度k01的分岔圖

表2 不同系統參數下的Uy1振動位移極大值

圖11 ξ=0.12時一擋齒輪副關于無量綱嚙合頻率ω的分岔圖

整體來看，不論哪一轉速區，增大阻尼比或增大一擋齒輪嚙合剛度都會增大扭振點頻率，即提高最大扭振發生時的轉速。在低速區，原始Uy1位移極大值為4.41，增大阻尼比或增大嚙合剛度都能夠大幅減小位移極大值。在中速區，原始Uy1位移極大值為3.26，增大阻尼比后該值為2.35，有大幅減小；但增大嚙合剛度后該值反而略有升高，為3.34。在高速區，增大阻尼比或增大嚙合剛度都能夠大幅減小位移極值。

因此，為減小齒輪最大扭振點的振動幅值，應當選取大嚙合阻尼比和大嚙合剛度。根據國標GB 3480—1983，齒輪的平均嚙合剛度與齒輪的基本參數、齒輪材料和齒輪的加工工藝有關，所以可以通過優化變速器齒輪系統的結構設計參數來減弱變速器傳動過程中的振動和噪聲。

3 結 論

(1)本文基于電機直連無離合器無同步器的兩擋AMT齒輪系統結構，考慮齒輪時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒側間隙、靜態傳遞誤差以及軸承支撐剛度等因素，考慮了同軸齒輪的振動耦合情況，同時也考慮了車輛在不同車速下的行駛阻力不同的情況，建立“彎-扭-軸”耦合的齒輪非線性動力學模型。

(2)變速器工作在一擋時，不同轉速下，承載齒輪的扭轉振動狀態會出現叉形分岔、擦邊分岔、混沌等現象，其中齒輪傳動過程中輪齒碰撞和雙邊沖擊是導致擦邊分岔現象的原因。當承載齒輪都為單倍周期運動狀態時，轉速越大，空載齒輪振動越劇烈。

(3)通過分析齒輪不同的結構參數對承載齒輪扭轉振動的影響，可知選取大阻尼比和大嚙合剛度有利于減小齒輪最大扭振點的振幅，從而提高傳動過程的平順性。

總而言之，純電動車兩擋AMT變速器齒輪系統的設計除了考慮整車動力性指標外，還應該考慮齒輪非線性扭轉振動對車輛行駛平順性和舒適性的影響。