天棚半主動慣容隔振器動態特性研究

唐 鋒，王 勇,2，丁 虎, 陳立群

(1.上海大學 力學與工程科學學院，上海 200444；2.江蘇大學 汽車工程研究院，江蘇 鎮江 212013)

Smith[2]首次提出了慣容器的概念，慣容器是一種具有兩個相對自由運動端點的裝置，其產生的作用力與兩端的相對加速度成比例，該比例系數稱為慣質系數且單位為千克。慣容器具有質量放大作用，能夠提供比自身質量大的慣質效應，可以增加承載系統的慣性而不增加其承載質量。由于慣容器特有的力學特性，其已被廣泛運用于各種工程領域且被視為一種有效的減振裝置，如汽車懸架系統[3]，鐵道車輛懸架系統[4-5]，建筑橋梁減振系統[6-7]，動力吸振系統[8-9]與隔振系統[10]。

在隔振領域，Chen等[11]證明了慣容器可以使系統的固有頻率降低；Hu等[12]采用H∞與H2兩種方法優化了五種慣容隔振器的結構參數，研究表明慣容隔振器可以有效降低傳統線性隔振器的傳遞率峰值；Wang等[13]在此基礎上研究了八種慣容隔振器的隔振性能，定義了四個隔振性能評價指標對比得出一種最優結構。在上述研究中，通過增加附加彈簧以及改變慣容器、彈簧與阻尼器的布置形式，慣容隔振器可以有多種結構形式，最簡單易行的是三元件并聯式慣容隔振器，其所需結構元件較少且安裝方便，三元件并聯式慣容隔振器能進一步拓寬傳統線性隔振器的隔振頻帶，但高頻隔振性能顯著惡化，且慣質系數越大高頻隔振性能越差。Chen等[14]提出了理想天棚慣容器，其一端與承載質量相連另一端與慣性參考系相連，能改善被動慣容隔振系統在高頻的隔振性能。理想天棚慣容器無法通過被動結構形式實現，但可通過設計半主動慣容器并采取相應的半主動控制策略來實現。

半主動慣容器的慣質系數在工作過程中可進行調節，其結構實現形式有多種，如在滾珠絲杠式慣容器中安裝可控慣性飛輪[15]或改變液力式慣容器的管徑[16]，當工程結構裝置采用半主動慣容器后，其減振性能得到進一步提高[17-18]。王勇等[19]提出了相對加速度-相對速度(relative acceleration relative velocity,RARV)控制的半主動慣容隔振器，研究了三元件并聯式與串聯式半主動慣容隔振器的動態性能，結果表明并聯式隔振效果更好，且比被動慣容隔振器具有更好的隔振性能。隨后Wang等[20]針對并聯式半主動慣容器，又提出了相對加速度-絕對速度策略(relative acceleration absolute velocity, RAAV)，以更好地改善慣容隔振器的隔振性能。但采用這兩種控制策略后，半主動慣容隔振器的高頻隔振性能仍沒有得到顯著改善，為此本文采用基于絕對-相對加速度切換控制的天棚慣容控制策略，調節半主動慣容器的慣質系數在最大與最小值之間切換，來近似模擬理想天棚慣容器的力學特性，以提高慣容隔振器的高頻隔振性能。

本文研究的慣容隔振器采用最基本的三元件并聯式結構，分析天棚半主動慣容隔振器在基礎簡諧位移激勵下的動態特性，運用平均法求解系統的近似解析解，并用數值解進行驗證。定義四個隔振性能評價指標來評價半主動慣容隔振器的隔振性能，揭示可變慣質系數對系統隔振性能的影響規律，并與被動慣容隔振器、RARV與RAAV半主動慣容隔振器進行對比分析。

1 天棚半主動慣容隔振器

理想天棚慣容隔振器如圖1(a)所示，與其等價的天棚半主動慣容隔振器如圖1(b)所示。半主動慣容器的慣質系數為b且可進行調節，阻尼器的阻尼系數為c，彈簧剛度為k，x為質量m相對于靜態平衡位置的位移，外界激勵為基礎簡諧激勵且可用y=ymcos(ωt)表示。

(a)理想天棚慣容隔振器

一種半主動液力式慣容器如圖2所示，其結構包括由缸體、活塞和緩沖塊構成的主體以及由軟管、電磁閥、兩種不同管徑的螺旋硬管構成的慣質系數調節裝置。油液經細長管從缸體的一個腔流向另一個腔時會產生慣性效應[21]，通過控制兩個電磁閥的開關調節油液流通的管道便可改變液力式慣容器的慣質系數。半主動慣容器在信號采集、信號傳輸、控制器計算和作動器執行過程中會有一定的調節響應時間[22]，時滯在一定情況下會惡化系統動態特性，但是選取適當的時滯反饋增益可以減小或消除時滯帶來的不利影響[23]。本文為簡化分析，考慮半主動液力式慣容器在調節慣質系數時是實時快速地調節，不考慮時滯的影響，建立天棚半主動慣容器在基礎簡諧位移激勵下的動力學方程

圖2 半主動液力式慣容器

mx″=-b(x″-y″)-k(x-y)-c(x′-y′)

(1)

天棚慣容控制策略采用基于絕對-相對加速度切換的控制策略，半主動慣容器的慣質系數調節如下

(2)

式中:bmax，bmin分別為可控制調節的最大與最小慣質系數。定義x-y=z，式(1)和式(2)可以化簡為

(3)

(4)

定義無量綱參數

(5)

對于弱非線性系統，可以認為系統的振動幅值和相位是緩慢變化的，即其對時間的導數是小量，又從式(4)可知系統是分段的，因此適合采用平均法[24]求解系統的近似解析解，首先假設解的形式為

z=zmcosφ

(6a)

z′=-zmωsinφ

(6b)

式中：φ=ωt+θ，將式(6a)和式(6b)對時間t進行求導，得到以下表達式

(7a)

(7b)

結合式(6b)和式(7a)，結合式(3)和式(7b)分別得到

(8a)

(8b)

其中

cosφ-2ζωωnzmsinφ-ω2ymcos(φ-θ)

(9)

通過式(8a)和式(8b)可以得到廣義振幅zm和相位θ的表達式

(10)

根據平均法思想，慢變量振幅和相位可以通過將式(10)右側在一個周期內積分得到

(11)

將式(6a)代入式(4)得到

(12a)

(12b)

其中

(13)

(14)

2 動態響應求解

式(11)中可控慣質比δ的積分區間與相位β有關。定義相位β的取值區間為[0, 2π)，當相位β分別在四個象限取值時，cosφ和cos(φ-β)曲線的相對位置如圖3所示。

(a)β∈(0, π/2)

根據cosφ和cos(φ-β)的符號變化情況，可控慣質比δ的積分區間可以分為八種情況，以此可得穩態解的幅值和相位。根據式(11)和八種情況下的可控慣質比δ的積分區間，天棚半主動慣容隔振器的幅頻特征方程如下

(I)0<β<π/2

(15)

(II)π/2<β<π

(16)

(III)π<β<3π/2

(17)

(IV)3π/2<β<2π

(18)

(V)β=0

δ=δmax

(19)

(VI)β=π/2

(20)

(VII)β=π

δ=δmin

(21)

(VIII)β=3π/2

(22)

本文中基礎簡諧激勵振幅ym= 0.02 m，天棚半主動慣容隔振器結構參數如表1所示。

表1 天棚半主動慣容隔振器結構參數

為驗證平均法得到的近似解析解的精確性，將其與數值解結果對比，天棚半主動慣容隔振器的相對位移的解析解和數值解結果對比如圖4所示。數值結果通過結合式(3)與式(12a)，運用定步長的4階龍格庫塔方法得到。從圖中可以看出解析解與數值解基本吻合，從而可以得出解析解是精確可靠的。

圖4 天棚半主動慣容隔振器相對位移數值解與解析解對比 (δmax=1, δmin=0.5)

3 隔振性能分析

令質量m的位移幅值為xm，絕對位移傳遞率Ta定義如下

(23)

定義四個隔振性能評價指標來評價系統的隔振性能：絕對位移峰值xmp為系統共振時的振幅，是系統可以達到的最大位移；絕對位移傳遞率峰值Tap為全頻域絕對位移傳遞率的最大值；隔振頻帶ω0為絕對位移幅值xm小于基礎簡諧位移激勵幅值zm的頻帶范圍，隔振器在隔振頻帶內才對振動起隔離作用；高頻帶絕對位移傳遞率Talim為激勵頻率遠大于系統的固有頻率時絕對位移xm與激勵幅值zm的比值，描述的是隔振器的高頻隔振性能。

需要注意的是在計算四個隔振性能評價指標前首先要求解相位β，不同慣質比下相位β的取值如圖5所示。在求解幾個性能評價指標時，當β在區間(3π/2,2π)時應當選擇式(18)，同理當β在區間(π,3π/2)時應當選擇式(17)。

(a)δmax=1

天棚半主動慣容隔振器的四個隔振性能評價指標推導過程如下所示：

絕對位移x由以下公式求得

x=y+z=xmcos(ωt+γ)

(24)

(25)

(26)

絕對位移峰值和絕對位移傳遞率峰值所對應的β取值范圍在(3π/2, 2π)，故將式(18)兩邊對激勵頻率進行求導，得到

(27)

cos2θ+sin2θ=1

(28)

由絕對位移峰值導數為0，對式(23)求導得到

(29)

結合式(18)，(25)，(27)～(29)可以求得絕對位移x的最大振幅，即絕對位移峰值xmp。

則絕對位移傳遞率峰值為

(30)

對于隔振頻帶，有

xm=ym

(31)

代入式(25)可以得到

(32)

式(32)結合式(18)可得隔振頻率ω0。

對于高頻帶絕對位移傳遞率，所對應的β取值范圍為(π,3π/2)，由式(17)可以得到當頻率趨于無窮大時相對位移振幅的極限值

(33)

(34)

(35)

將式(33)～(35)結合式(14)和式(23)可得高頻帶絕對位移的傳遞率Talim

(36)

當最小慣質比δmin與最大慣質比δmax取不同值時，天棚半主動慣容隔振器的絕對位移與絕對位移傳遞率分別如圖6與圖7所示。

圖6 δmax= 1，δmin取不同值時，天棚半主動慣容隔振器絕對位移與絕對位移傳遞率

圖7 δmin= 0.05，δmax取不同值時，天棚半主動慣容隔振器絕對位移與絕對位移傳遞率

從圖6可以看出當最大慣質比δmax固定時，隨著最小慣質比δmin增加，絕對位移峰值和絕對位移傳遞率峰值減小，高頻帶的絕對位移幅值和絕對位移傳遞率增大，隔振頻帶稍有擴大。圖7顯示當最小慣質比δmin固定時，隨著最大慣質比δmax增加，絕對位移峰值和絕對位移傳遞率峰值降低，隔振頻帶擴大，高頻帶絕對位移傳遞率無明顯變化。

4 隔振性能對比研究

為了明確天棚半主動慣容隔振器的優勢，將其分別與被動慣容隔振器，RARV、RAAV半主動慣容隔振器進行對比。在對比時，天棚半主動慣容隔振器的最大慣質比δmax= 1，被動慣容隔振器的慣質比δ與天棚半主動慣容隔振器的最小慣質比δmin相等；在與RARV、RAAV半主動慣容隔振器對比時，取相同的δmax與δmin。

4.1 與被動慣容隔振器對比

選取天棚半主動慣容隔振器的最大慣質比δmax= 1，最小慣質比δmin= 0.05，被動慣容隔振器的慣質比δ分別取1和0.05，其絕對位移與絕對位移傳遞率對比如圖8所示。

圖8 天棚半主動與被動慣容隔振器的絕對位移與絕對位移傳遞率對比

從圖8可以看出天棚半主動慣容隔振器的絕對位移共振峰值和隔振頻率更接近慣質比與其最大慣質比δmax相等的被動慣容隔振器，高頻帶絕對位移傳遞率更接近慣質比與其最小慣質比δmin相等的被動慣容隔振器。

圖9比較了天棚半主動慣容隔振器和被動慣容隔振器的四個隔振性能評價指標。圖9(a)為絕對位移峰值的對比圖，圖9(b)為絕對位移傳遞率峰值的對比圖，當天棚半主動慣容隔振器的最大慣質比δmax= 1，最小慣質比δmin和被動慣容隔振器的慣質系數δ一同改變時，隨著δmin的增加，兩者的絕對位移峰值和絕對位移傳遞率不斷減小，差值逐漸變小；圖9(c)為隔振頻率的對比圖，隨著最小慣質系數δmin和被動慣容隔振器的慣質系數δ的增加，兩者的隔振頻帶均擴大，但天棚半主動慣容隔振器的隔振頻帶變化很小；圖9(d)為高頻帶絕對位移傳遞率對比圖，兩者吻合，變化呈增長趨勢。

(a)絕對位移峰值xmp

4.2 與其他兩種半主動慣容隔振器對比

本節以δmax= 1，δmin= 0.05為例，比較三種半主動慣容隔振器的隔振性能。從圖10可以看出三種半主動慣容隔振器的隔振頻帶是比較接近的；對于高頻帶絕對位移傳遞率，天棚半主動慣容隔振器較另外兩種策略而言具有明顯優勢。

圖10 三種半主動慣容隔振器的絕對位移和絕對位移傳遞率對比圖

從圖11可以看出，當最大慣質比δmax為固定值時，隨著最小慣質比δmin的減小，天棚半主動慣容隔振器的高頻帶絕對位移傳遞率也減小。整體上看，天棚半主動慣容隔振器的絕對位移峰值以及絕對位移傳遞率峰值高于RARV與RAAV半主動慣容隔振器，隔振頻率介于二者之間且更接近隔振頻率較低的RAAV半主動慣容隔振器，在高頻帶的絕對位移傳遞率明顯低于其他兩種半主動慣容隔振器。所以想要改善系統在高頻的隔振性能，應選擇使用天棚半主動慣容隔振器。

(a)絕對位移峰值xmp

5 結 論

本文根據天棚慣容器的力學特性，提出了基于絕對-相對加速度切換控制的天棚慣容控制以達到近似天棚慣容器的效果方法，研究了可變慣質系數對系統隔振性能的影響規律。通過與被動慣容隔振器、RARV與RAAV半主動慣容隔振器進行對比分析，展現了本結構在高頻隔振性能上的優勢。研究結果如下：

(1)提出了天棚慣容控制策略，該控制策略下系統為分段動力學系統，使用平均方法解得其動態響應，數值結果驗證表明，采用平均法求得的近似解析解可以代表實際的動態響應。

(2)天棚半主動慣容隔振器的低頻隔振性能(絕對位移峰值，絕對位移傳遞率峰值和隔振頻帶)與最大慣質系數相關，高頻隔振性能(高頻帶絕對位移傳遞率)與最小慣質系數更為相關。

(3)天棚半主動慣容隔振器在高頻的隔振性能與δ=δmin的被動慣容隔振器一致。三種半主動慣容隔振器中，天棚半主動慣容隔振器的高頻隔振性能最佳，當其最小慣質系數δmin趨近于0時，其高頻傳遞率趨于0。

(4)天棚半主動慣容隔振器的隔振頻帶較被動慣容隔振器、RARV半主動慣容隔振器更寬，接近RAAV半主動慣容隔振器；高頻帶絕對位移傳遞率普遍低于其他三者。但絕對位移峰值和絕對位移傳遞率峰值僅低于被動隔振器，高于RARV與RAAV半主動慣容隔振器。