頻譜泄漏校正的多頻實信號頻率估計算法

陳 鵬，趙少美，陳 欽，解志軍，陳曉輝，涂亞慶

(1.中國空氣動力研究與發展中心 空氣動力學國家重點實驗室，四川 綿陽 621000；2.中國空氣動力研究與發展中心 設備設計及測試技術研究所，四川 綿陽 621000；3.陸軍勤務學院 軍事物流系，重慶 401311)

多頻信號的頻率估計是數字信號處理中一個非常基礎但很重要的問題，廣泛應用于電力系統、儀器儀表裝置、測量以及無損檢測等領域[1-2]。例如，線性調頻連續波(linear frequency modulation continuous wave, LFMCW)雷達就是通過估計采樣信號頻率來測量目標距離，頻率估計精度直接關系著雷達的測距精度[3]。

根據對信號的不同處理方式，頻率估計算法一般可分為時域法和頻域法[4-5]。頻域法利用DFT(discrete fourier transform)法對信號進行頻譜分析，其抗噪性能好、計算速度快，因此得到了學者們更多的關注與研究[6-7]。

多頻實信號可理解為含有多個正頻率分量和多個對應負頻率分量的復信號，在對其進行頻譜分析時，頻率估計精度同時受所有負頻率頻譜泄漏和多個待估計正頻率頻譜間相互泄漏的影響[8]。為抑制頻譜泄漏的影響，文獻[9-10]利用各類窗函數提高了部分條件下的頻率估計精度，但加窗損失了信號能量，且為了追求窗函數性能，設計的窗函數越來越復雜，導致計算量偏大，對算法性能提升不明顯，整體效果不佳。針對多頻復信號，文獻[11]通過頻率調制和濾除非待估計頻率的方式實現了多頻復信號頻率估計，后續稱為DFE法；文獻[12-13]通過頻譜泄漏校正提高了頻率估計精度，后續稱為YA法；文獻[14]通過相減策略抑制了頻譜泄漏的影響，后續稱為CFH法。這三種算法通過不同的方式抑制了多頻信號中頻譜泄漏的影響，是現有的優秀算法。但在處理多頻實信號時，都將多頻實信號中的負頻率分量看作是獨立的頻率分量，摒棄了多頻實信號中正頻率分量和負頻率分量的對應關系，導致濾除信號中的負頻率成分不徹底，減弱了頻譜泄漏抑制能力，特別是在信號頻率低、頻率間隔近和中高信噪比條件下的頻率估計精度較低，有待進一步提高。

為抑制多頻實信號中負頻率頻譜泄漏和正頻率頻譜間相互泄漏的影響，提高頻率估計精度，在分析頻譜泄漏影響頻率估計原因的基礎上，提出了頻譜泄漏校正的頻率估計算法，并通過仿真實驗和實測實驗檢驗了所提算法的有效性和實際應用效果。

1 問題描述

本文以平穩多頻實信號為模型進行分析，采樣信號如式(1)所示。

n=0,1,…,N-1

(1)

不失一般性，對信號進行頻譜分析時，各頻率可表示為：

(2)

式中：km=[ωmN/2π]為第m分量頻譜最大值索引，[t]表示取最接近于t的整數；-0.5≤δm≤0.5表示第m分量的頻譜偏移量。

根據歐拉公式、結合式(2)，采樣信號可改寫為：

(3)

可以看出，多頻實信號含有多個正頻率分量、多個對應負頻率分量和噪聲成分。在對第m分量進行頻譜分析時，所有負頻率頻譜、其他非m分量的正頻率頻譜以及噪聲頻譜均會產生泄漏，疊加在第m分量正頻率頻譜上，影響頻率估計精度。為直觀理解這三者間的相互影響，對單頻實信號、多頻復信號和多頻實信號進行頻譜分析，如圖1所示。

圖1 單頻實信號、多頻復信號和多頻實信號頻譜

與單頻實信號相比，多頻實信號不僅受負頻率頻譜泄漏和噪聲的影響，同時還受其他非待估計正頻率及其對應負頻率頻譜泄漏的影響；與多頻復信號相比，多頻實信號受所有負頻率頻譜泄漏的影響。因此，對多頻實信號進行頻率估計時，既要考慮正頻率頻譜間泄漏的影響，還要考慮所有負頻率頻譜泄漏的影響，增加了頻率估計算法的設計難度。

2 算法流程

為抑制頻譜泄漏對多頻實信號頻率估計精度的影響，提出一種頻譜泄漏校正的頻率估計算法，旨在提高頻率估計精度，特別是在信號頻率低、頻率間隔近和中高信噪比條件下的估計精度。以下分別從算法思想、算法流程、與YA法對比三方面對所提算法進行介紹。

2.1 算法思想

算法的核心思想是：將多頻實信號頻譜轉換成待估計單頻正頻率頻譜，抑制所有負頻率頻譜和非待估計正頻率頻譜泄漏的影響，再對待估計單頻正頻率頻譜進行分析，同時經由迭代計算進一步提高頻率估計精度，從而得到各分量精確的頻率、幅值和初相位估計值。

算法思想如圖2所示，具體流程如下。

圖2 算法思想

(1)利用FFT(fast fourier transform)法對采樣信號進行預處理，得到各分量準確的頻譜索引，并構造所有負頻率頻譜和非待估計正頻率頻譜。

(2)采用相減策略，對頻譜泄漏進行校正，將采樣信號頻譜和構造的頻譜相減，得到待估計單頻正頻率頻譜。

(3)對待估計單頻正頻率頻譜進行分析，得到較精確的頻譜偏移量和復幅值，重新構造所有負頻率頻譜和非待估計正頻率頻譜，再進行頻譜泄漏校正，通過迭代計算得到各分量精確的參數估計值。

2.2 算法流程

根據算法思想，設計的具體算法流程如下。

首先利用FFT法對采樣信號進行預處理，求取信號頻譜索引。

(4)

ki=f(Y(k)),i=1,2,…,M

(5)

式中：符號f(t)表示求函數t極大值中最大M個極值的索引，ki表示第i分量的索引。

頻譜法具有很強的抗噪性，受噪聲影響相對較小，因此設計算法時，為方便公式推導，忽略噪聲成分。針對無噪采樣信號，對第i分量分析。首先在索引ki兩邊插值，間隔為0.5，可得到插值點頻譜。

(6)

其次通過相減策略，實現頻譜泄漏校正。

(7)

然后采用針對單頻復信號設計的AM算法[15]，對經頻譜泄漏校正后的待估計單頻正頻率頻譜進行分析。

(8)

得到頻譜偏移量后，利用式(9)求解抑制了頻譜泄漏影響的復幅值。

(9)

最后通過迭代計算式(6)～(9)，得到每個分量的頻譜偏移量和復幅值，從而利用式(2)和式(10)得到各分量精確的頻率、幅值和初相位估計值。

(10)

綜上分析，算法的具體流程如表1所示。

表1 算法流程

2.3 與YA法對比

為抑制多頻復信號中頻譜泄漏的影響，文獻[12-13]提出了對頻譜泄漏進行校正的YA法。所提算法和YA法運用了相似的頻譜泄漏校正思路，但兩個算法針對的信號模型不同，具體算法步驟有所不同。與YA法相比，所提算法具有兩個優勢：

(1)多頻實信號中正頻率分量和負頻率分量是對應的，所提算法可確保對應正負頻率的絕對值相等，從而保證了頻率估計精度。而YA法在處理多頻實信號時，將含有M個正頻率分量和對應M個負頻率分量的多頻實信號直接看作是含有2M個獨立頻率分量的多頻復信號，分別估計信號正頻率和負頻率，摒除了二者之間的對應關系，使得正頻率和負頻率絕對值之間存在偏差，降低了頻率估計精度。

(2)為盡可能地抑制頻譜泄漏影響，得到精確的參數估計值，需要在頻率估計的基礎上，進行幅值和初相位估計，并進行迭代計算。由式(3)可知，對應正負頻率分量的幅值相等、初相位大小相等方向相反，所提算法遵循了多頻實信號中正頻率分量和負頻率分量相對應的關系，保證了計算的幅值和初相位是準確的。而YA法摒棄了正負頻率間的對應關系，不僅正負頻率間存在偏差，在此基礎上計算的幅值和初相位也存在偏差，進一步降低了多頻實信號的參數估計精度。

所提算法、YA法以及其他現有優秀算法的參數估計性能，將在下一節進行對比分析。

3 性能分析

所提算法屬于迭代類算法，算法的計算量是評價算法性能的一個指標。下面，分別從迭代次數和算法復雜度兩方面進行分析。

3.1 不同迭代次數

首先在不同迭代次數下進行仿真，分析所提算法的收斂條件。仿真時，設迭代次數為1、2、4和6，SNR=40 dB，結果如圖3所示。

圖3 不同迭代次數的頻率估計結果

經由1次迭代計算，算法的估計效果較差，迭代次數為2時，算法的估計性能得到了提升，但與CRLB仍有很大的偏差。在全頻率變化范圍內，4次和6次迭代具有相當的估計性能，考慮算法計算量、即算法實時性，后續實驗均采用4次迭代計算。

同時，也可以看出，采用4次迭代時，所提算法能夠準確地分辨出相差3個頻譜間隔(2π/N為一個頻譜間隔)的頻率分量。當信號的頻率分量超過3個頻譜間隔后，正頻率頻譜間的相互泄漏對所提算法的頻率估計精度影響非常小。

3.2 算法復雜度

分析算法的計算復雜度時，均省略簡單步驟，只統計計算量較大步驟，且將所有復數計算轉換為實數計算。對所提算法、DFE法、YA法以及CFH法[14]均取4次迭代計算，統計結果如表2所示。

表2 計算復雜度分析

4 仿真驗證

為檢驗所提算法的有效性，利用MATLAB軟件在不同條件下，以2個分量的多頻實信號為例進行頻率估計實驗，并與上述算法，以及克拉美羅下限(cramer-rao lower bound，CRLB)[16]進行對比分析。

克拉美羅下限是統計信號的無偏估計下限，常作為算法參數估計精度的檢驗標準，多頻實信號的頻率估計下限為：

(11)

(12)

式中：L表示每組實驗的計算次數。

4.1 無噪聲

經前文分析可知，頻域法受頻譜泄漏和噪聲的影響。因此，在無噪聲環境下，可檢驗各算法的頻譜泄漏抑制能力，結果如圖4所示。

圖4 無噪聲條件下的頻率估計結果

DFE法、YA法和CFH法分別通過頻率調制、頻譜泄漏校正和相減策略抑制了頻譜泄漏的影響，且頻譜泄漏抑制能力逐漸增強。但在處理多頻實信號時，這幾種算法均將信號中的負頻率分量視為獨立的復信號，忽略了正負頻率分量間的對應關系。所提算法考慮了這之間的對應關系，提升了頻譜泄漏抑制能力，強于其他幾種算法。

4.2 不同頻率間隔

為檢驗所提算法在不同頻率間隔下的頻率估計性能，設SNR=30 dB，結果如圖5所示。

圖5 不同頻率間隔下的頻率估計結果

隨著頻率分量間隔增加，信號第1分量正頻率和對應負頻率的影響不變，第2分量正頻率和負頻率頻譜泄漏減少，各算法的頻率估計結果逐漸變好。所提算法的頻率估計精度優于DFE法、YA法和CFH法，具有更好的頻譜泄漏抑制能力，特別是在頻率間隔近時的優勢更加明顯。

4.3 不同頻率

圖6 不同頻率下的頻率估計結果

固定頻率分量間隔后，改變信號頻率就是改變負頻率頻譜泄漏的影響。隨著信號頻率增加，負頻率頻譜泄漏的影響降低，各算法的頻率估計精度有所提高。所提算法具有更好的頻率估計精度，最靠近CRLB，特別是信號頻率較低、負頻率頻譜泄漏更嚴重時，優勢更加明顯。

4.4 不同信噪比

圖7 不同信噪比下的頻率估計結果

在低信噪比條件下，所選算法具有相當的頻率估計精度。隨著信噪比逐漸增加，頻譜泄漏的影響逐漸加強，DFE法、YA法和CFH法分別逐漸趨于飽和，而所提算法頻率估計結果的均方誤差一直靠近CRLB，優于其他幾種算法，提高了中高信噪比條件下的頻率估計精度。

5 實驗驗證

為檢驗所提算法的應用效果，利用LFMCW雷達實驗平臺進行了測距實驗，實驗現場如圖8所示。

圖8 測距實驗現場

據LFMCW雷達測距原理，測量距離可由下式計算。

(13)

式中：R、fs、C、T、B分別表示測量距離、采樣頻率、電磁波傳播速度、調頻周期和調頻帶寬。

實驗時，設鋸齒波為調制波，信號中心頻率24 GHz，采樣頻率350 kHz，調頻帶寬465 MHz，調頻周期2 ms，測距范圍以1 m的步長從5 m增加到10 m，利用DEVONL80手持激光測距儀和田島L-50U玻璃纖維標尺來測量實際距離。同時，選用所提算法、YA法和CFH法進行對比，結果如表3所示。

表3 測距結果

所提算法的平均絕對誤差為0.038 m，YA法和CFH法的平均絕對誤差分別為0.052 m和0.053 m。所提算法的測量結果比YA法和CFH法的測量結果更接近實際距離，算法估計精度與仿真實驗結果一致。相比于YA法和CFH法，采用所提算法可改善LFMCW雷達的測距效果。

6 結 論

為抑制多頻實信號中負頻率頻譜泄漏和正頻率頻譜間相互泄漏的影響，提高信號頻率估計精度，提出一種頻譜泄漏校正的頻率估計算法。該算法通過對信號進行頻譜分析，構造所有負頻率和正頻率插值點頻譜，同時通過相減策略抑制了頻譜泄漏的影響，校正了待估計正頻率頻譜，并經迭代計算得到了各分量精確的頻率、幅值和初相位估計值。

在不同條件下仿真結果表明，針對多頻實信號，特別是在低頻或中高信噪比條件下，即負頻率頻譜泄漏嚴重時，或者是信號頻率間隔較近，即正頻率頻譜間相互泄漏嚴重時，所提算法均有效地抑制了頻譜泄漏的影響，具有很高的頻率估計精度，其頻率估計值的均方誤差更靠近克拉美羅下限，優于現有的優秀算法。并在LFMCW雷達實驗平臺進行了測距實驗，驗證了所提算法的實際應用效果，優于YA法和CFH法。