一種半主動(dòng)負(fù)剛度動(dòng)力吸振器

邢昭陽, 申永軍,2, 邢海軍, 李向紅

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，石家莊 050043)

研究人員對(duì)動(dòng)力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)的研究已長達(dá)一個(gè)世紀(jì)之久，如今DVA已經(jīng)成為振動(dòng)控制領(lǐng)域比較常見的減振器件。傳統(tǒng)的DVA[1-3]能夠有效抑制主系統(tǒng)的窄帶響應(yīng)，但是對(duì)于低頻振動(dòng)和寬帶振動(dòng)的控制性能卻差強(qiáng)人意。在機(jī)械設(shè)備的啟停過程中，很多時(shí)候會(huì)在激勵(lì)頻帶內(nèi)出現(xiàn)多個(gè)共振峰，如果不能有效抑制這種共振響應(yīng)，可能對(duì)設(shè)備的精度和使用壽命造成嚴(yán)重影響。DVA按照對(duì)外界能源的輸入需求可以分為三大類：被動(dòng)式、半主動(dòng)式和主動(dòng)式，近些年來，學(xué)者們以低頻、寬帶、輕質(zhì)為設(shè)計(jì)理念，對(duì)三類DVA均進(jìn)行了大量研究。

由于被動(dòng)式DVA結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、使用成本低，被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際，學(xué)者們主要從結(jié)構(gòu)方面對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化與改進(jìn)。盡管已有許多關(guān)于拓寬被動(dòng)式動(dòng)力吸振器的有效吸振頻帶的研究，但它們對(duì)結(jié)構(gòu)在激勵(lì)頻帶內(nèi)具有多個(gè)共振峰的寬頻帶振動(dòng)的吸振效果依然不理想[4]。附加兩個(gè)或多個(gè)不同頻率的DVA可以拓寬系統(tǒng)的減振頻帶[5-7]，但是這會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的質(zhì)量增加。Shen將負(fù)剛度應(yīng)用到DVA中，發(fā)現(xiàn)負(fù)剛度DVA能夠有效抑制系統(tǒng)響應(yīng)，具有更寬的減振頻帶和更低的諧振頻率，但是由于負(fù)剛度的特性，系統(tǒng)在低頻區(qū)的響應(yīng)會(huì)被放大[8-10]。一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)，加入放大機(jī)構(gòu)如慣容[11-13]或杠桿元件[14-15]也可以獲得寬頻帶、輕量化的DVA。主動(dòng)式DVA能夠根據(jù)主系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即時(shí)調(diào)節(jié)DVA的參數(shù)[16-17]，使DVA能夠時(shí)刻處于抑制主系統(tǒng)振動(dòng)的最優(yōu)狀態(tài)。雖然主動(dòng)式DVA振動(dòng)性能優(yōu)越，但是由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、能耗大、使用成本過高，且有時(shí)可能會(huì)失穩(wěn)，在工程中的應(yīng)用受到較大限制[18]。

半主動(dòng)式DVA因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能耗低、穩(wěn)定性好而受到研究人員的關(guān)注。Koo將基于速度和位移的控制策略引入到DVA中[19]，相比于被動(dòng)式DVA大幅降低了主系統(tǒng)的振幅，但是系統(tǒng)的減振頻帶與固有頻率并沒有顯著改變。胡海巖等提出了一種半主動(dòng)式DVA[20-21]，研究發(fā)現(xiàn)通過追蹤外界激勵(lì)頻率調(diào)節(jié)分段線性剛度元件的間隙，能夠拓寬DVA的工作頻帶，具有較好的減振性能。Nagarajaiah等[22]利用短時(shí)傅里葉變換，根據(jù)激勵(lì)的主頻率相應(yīng)地改變DVA的剛度或阻尼[23]，實(shí)現(xiàn)了比最優(yōu)的被動(dòng)式DVA更好的減振效果。Gao等[24]研究了一種變質(zhì)量DVA，通過識(shí)別激勵(lì)頻率調(diào)節(jié)DVA的質(zhì)量，能夠在寬頻段內(nèi)有效抑制主系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。郎君等[25]將基于阻尼的開關(guān)控制策略應(yīng)用到Voigt型DVA中，數(shù)值仿真的結(jié)果表明相比于被動(dòng)式DVA，半主動(dòng)模型能夠顯著地提升系統(tǒng)的減振性能。在半主動(dòng)控制系統(tǒng)的優(yōu)化過程中，大多數(shù)學(xué)者選擇改變阻尼實(shí)現(xiàn)擬負(fù)剛度，或者直接改變系統(tǒng)的正剛度以提高控制效果，而一些研究表明，基于負(fù)剛度的半主動(dòng)控制同樣能夠提高系統(tǒng)的振動(dòng)控制性能。韓超[26]將可調(diào)式電磁負(fù)剛度裝置應(yīng)用到隔振系統(tǒng)中，能夠在不改變裝置結(jié)構(gòu)的前提下改變電流以調(diào)整負(fù)剛度的大小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該裝置能夠有效抑制系統(tǒng)共振峰值。郝巖[27]設(shè)計(jì)了一種分段式負(fù)剛度裝置并將其應(yīng)用到動(dòng)力吸振系統(tǒng)，盡管有效降低了主系統(tǒng)共振振幅，但是卻放大了低頻區(qū)間上的響應(yīng)。

為了改善負(fù)剛度在低頻區(qū)間上對(duì)DVA性能的負(fù)面影響，本文將基于頻率識(shí)別的控制策略應(yīng)用于郝巖提出的負(fù)剛度動(dòng)力吸振系統(tǒng)，通過短時(shí)傅里葉變換對(duì)外界激勵(lì)頻率進(jìn)行識(shí)別并相應(yīng)地改變系統(tǒng)的負(fù)剛度，能夠在整個(gè)頻率域上提高系統(tǒng)的振動(dòng)控制性能。

1 半主動(dòng)負(fù)剛度動(dòng)力吸振器

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

圖1所示為半主動(dòng)負(fù)剛度DVA模型，其中m1和m2、k1和k2分別代表主系統(tǒng)和DVA的質(zhì)量和剛度，k3為可調(diào)的接地負(fù)剛度裝置，其提供的負(fù)剛度數(shù)值可以連續(xù)變化，F(xiàn)0和ω分別表示激振力振幅和頻率，x1和x2分別代表主系統(tǒng)和DVA的位移。

圖1 半主動(dòng)負(fù)剛度動(dòng)力吸振器模型

根據(jù)牛頓第二定律可以得到該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

(1)

引入以下參數(shù)

式(1)可化為

(2)

1.2 負(fù)剛度對(duì)被動(dòng)式DVA性能的影響

本文旨在改善被動(dòng)式負(fù)剛度動(dòng)力吸振器(passive negative stiffness dynamic vibration absorber，PN-DVA)在低頻區(qū)域振動(dòng)加劇的問題。對(duì)于圖1所示的半主動(dòng)負(fù)剛度DVA，當(dāng)其接地負(fù)剛度k3確定后，該模型即轉(zhuǎn)化為圖2所示的PN-DVA，因此，有必要首先對(duì)被動(dòng)式負(fù)剛度動(dòng)力吸振器進(jìn)行分析。彭海波等以抑制主系統(tǒng)最大振幅為目標(biāo)，對(duì)圖2所示的PN-DVA進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了其主系統(tǒng)的振幅放大因子、最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)負(fù)剛度比。該模型主系統(tǒng)的振幅放大因子A1為

圖2 被動(dòng)式負(fù)剛度動(dòng)力吸振器

(3)

其中

頻率比ν、阻尼比ξ和負(fù)剛度比α的最優(yōu)值分別為

(4)

圖3給出了PN-DVA與傳統(tǒng)模型在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的減振性能對(duì)比。在低頻區(qū)域和共振區(qū)域內(nèi)，負(fù)剛度的存在與否對(duì)DVA的性能產(chǎn)生了完全相反的影響：在低頻區(qū)域內(nèi)，不含負(fù)剛度的傳統(tǒng)模型減振效果好；在共振區(qū)域附近，PN-DVA的減振性能更好。因此，如果可以隨著外界激勵(lì)頻率的變化相應(yīng)地改變負(fù)剛度k3的數(shù)值，就可以進(jìn)一步提高負(fù)剛度DVA的減振性能。

圖3 不同模型的減振性能對(duì)比

1.3 on-off控制策略

由于在低頻區(qū)和共振區(qū)內(nèi)，負(fù)剛度對(duì)DVA的性能影響截然不同，本文提出一種開關(guān)(on-off)負(fù)剛度控制策略，其形式為

(5)

接下來具體討論on狀態(tài)下的負(fù)剛度取值以及on-off狀態(tài)切換的臨界頻率。由于接地負(fù)剛度裝置并不會(huì)影響系統(tǒng)的承載能力，因此在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，負(fù)剛度的最大值即為該系統(tǒng)的最優(yōu)負(fù)剛度。為了最大限度地降低吸振系統(tǒng)的固有頻率，應(yīng)該使PN-DVA中的負(fù)剛度值盡可能取最大，因此，在本文模型中負(fù)剛度k3的最大值為

k3max=k2αopt

(6)

選取主系統(tǒng)參數(shù)m1=40 kg、k1=1 600 N/m、質(zhì)量比μ=0.1，則由式(4)可以得到νopt=1.408 5，ξopt=0.356 2，αopt=-0.705 9，在負(fù)剛度不同時(shí)，本文模型主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 不同負(fù)剛度時(shí)減振性能對(duì)比

從圖4中可以看出隨著負(fù)剛度數(shù)值從k3max降低到0的過程中，在左側(cè)低頻區(qū)域內(nèi)，當(dāng)k3=0時(shí)本文模型的減振性能達(dá)到最優(yōu)；在共振區(qū)域內(nèi)，當(dāng)k3=k3max時(shí)能夠更好地抑制主系統(tǒng)振動(dòng)；在高頻區(qū)域內(nèi)，負(fù)剛度數(shù)值的改變對(duì)減振性能的影響很小。因此，根據(jù)激勵(lì)頻率的變化使負(fù)剛度k3在0與k3max之間進(jìn)行切換，可以使本文模型的減振性能達(dá)到最優(yōu)。

k3=0和k3=k3max時(shí)主系統(tǒng)的幅頻曲線如圖5所示，M和N點(diǎn)是兩條幅頻曲線的交點(diǎn)，從圖中可以很明顯得出結(jié)論：當(dāng)外界激勵(lì)與主系統(tǒng)的頻率之比滿足λ<λM和λ>λN時(shí)，在負(fù)剛度k3=0的情況下動(dòng)力吸振器的減振性能更好；當(dāng)λM<λ<λN時(shí)，在負(fù)剛度數(shù)值k3=k3max的情況下動(dòng)力吸振器的共振峰值更低，具有更好的減振效果。

圖5 主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線

M點(diǎn)與N點(diǎn)處的頻率比λM和λN可以令k3=0和k3=k3max時(shí)的振幅放大因子相等得到，即

A1|k3=0=A1|k3=k3max

(7)

由f=ω/2π和λ=ω/ω1可以得到外界激勵(lì)頻率f與歸一化的頻率比λ的關(guān)系

f=λω1/2π

(8)

于是本文提出的開關(guān)(on-off)控制策略為

(9)

為了闡述該控制策略具體的實(shí)現(xiàn)方式，圖6給出了系統(tǒng)的工作原理圖。受到激勵(lì)源作用的主系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，附著于主系統(tǒng)上的位移傳感器會(huì)將主系統(tǒng)的振動(dòng)情況傳遞給數(shù)據(jù)采集儀，隨后數(shù)據(jù)處理模塊會(huì)將采集到的信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析并將信號(hào)的主頻率與系統(tǒng)的臨界頻率(M、N兩點(diǎn)的頻率)比較，最后根據(jù)on-off控制策略利用控制器實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度的切換。

圖6 系統(tǒng)工作原理圖

2 時(shí)頻分析

1.3節(jié)中提出的on-off控制策略，其關(guān)鍵在于主系統(tǒng)振動(dòng)過程中能夠及時(shí)地識(shí)別外界激勵(lì)頻率。在實(shí)際工程中，許多激勵(lì)信號(hào)嚴(yán)格來說都是非平穩(wěn)的，短時(shí)傅里葉變換能夠揭示信號(hào)頻率隨時(shí)間的分布規(guī)律，其基本思想是將一個(gè)時(shí)間信號(hào)分解為若干個(gè)小的時(shí)間段(假設(shè)每一時(shí)間段內(nèi)的信號(hào)是平穩(wěn)的)，然后利用傅里葉變換對(duì)每個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分析，確定信號(hào)在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的頻率。使用短時(shí)傅里葉變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析的步驟如下：

步驟1將激勵(lì)信號(hào)x(τ)與一個(gè)窗函數(shù)h(τ-t)相乘

(10)

式中:窗函數(shù)選擇漢寧窗，t是窗口中心時(shí)間，τ是信號(hào)的運(yùn)行時(shí)間。

(11)

(12)

步驟3計(jì)算信號(hào)的主頻率

通過短時(shí)傅里葉變換得到信號(hào)在t時(shí)刻的瞬時(shí)頻率ωi

ωi={ω|P(ti,ω)=max{P(ti,ω)}}

(13)

由于短時(shí)傅里葉變換的窗函數(shù)受到Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理的限制，不能夠同時(shí)使時(shí)間和頻率分辨率達(dá)到最優(yōu)。在m(m=20)個(gè)步長內(nèi)對(duì)測(cè)得的瞬時(shí)頻率取平均值，可以從一定程度上減小這種偏差，最終得到信號(hào)的主頻率ωd

(14)

現(xiàn)以一個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)為例，對(duì)其進(jìn)行時(shí)頻分析。如圖7所示，構(gòu)造了最大振幅為10 N的非平穩(wěn)隨機(jī)力激勵(lì)信號(hào)，它由5 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組成，時(shí)間歷程為50 s，在5～15 s，20～30 s，35～45 s內(nèi)頻率分別為3 Hz，6 Hz和9 Hz，其余時(shí)間段內(nèi)激勵(lì)為零。通過短時(shí)傅里葉變換對(duì)該信號(hào)進(jìn)行分析(窗函數(shù)采用漢寧窗)，得到其時(shí)頻分布三維圖和等高線圖分別如圖8(a)和8(b)所示。

圖7 非平穩(wěn)信號(hào)

由圖8(a)和圖8(b)可以看出激勵(lì)信號(hào)明顯存在三種頻率分量，其能量主要集中于3 Hz，6 Hz和9 Hz，各自對(duì)應(yīng)的時(shí)間分布在5～15 s，20～30 s，35～45 s內(nèi)，與圖7中構(gòu)造的非平穩(wěn)激勵(lì)信號(hào)特征高度吻合。圖9給出了更具體的時(shí)頻分布規(guī)律，從圖中可以看出由短時(shí)傅里葉變換得到的信號(hào)主頻率與實(shí)際頻率較為吻合，在時(shí)間分布上的偏差也很小。因此，本文模型對(duì)于負(fù)剛度的on-off控制，可以通過短時(shí)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)。

(a)三維圖

圖9 非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)間頻率分布圖

3 數(shù)值仿真與模型對(duì)比

3.1 數(shù)值仿真

對(duì)于1.3節(jié)中提出的on-off負(fù)剛度控制策略，倘若外界激勵(lì)頻率的變化不會(huì)觸發(fā)開關(guān)狀態(tài)的切換，系統(tǒng)的負(fù)剛度值也不會(huì)發(fā)生變化，在此期間內(nèi)模型實(shí)際上是一個(gè)被動(dòng)式DVA。因此，根據(jù)式(3)和式(9)可以得到主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線的解析解。選取計(jì)算時(shí)間500 s，利用四階榮格庫塔法可以得到主系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解，選取穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的最大值并進(jìn)行歸一化處理，從而得到主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解與解析解曲線如圖10所示，圖中解析解由實(shí)線表示，數(shù)值解由圓圈表示，解析解與數(shù)值解高度吻合，說明本文提出動(dòng)力吸振器能夠達(dá)到理論分析的減振性能。

圖10 解析解與數(shù)值解對(duì)比

3.2 與其它模型對(duì)比

3.2.1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)對(duì)比

為了驗(yàn)證本文提出的動(dòng)力吸振器的減振性能，在主系統(tǒng)受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，將本文模型與Den Hartog提出的Voigt型DVA和 Shen提出的PN-DVA和半主動(dòng)控制Voigt模型(semi-active voigt DVA，SV-DVA)[25]進(jìn)行了對(duì)比。選取質(zhì)量比μ=0.1，各個(gè)模型在最優(yōu)參數(shù)下的幅頻曲線如圖11所示。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)本文模型不僅拓寬了DVA的減振頻帶，衰減了共振區(qū)域的振幅，而且有效抑制了主系統(tǒng)在低頻區(qū)間內(nèi)的響應(yīng)。雖然在主系統(tǒng)固有頻率附近SV-DVA模型的振動(dòng)響應(yīng)更小，但是本節(jié)模型能夠在整個(gè)頻率域上降低系統(tǒng)的最大振幅。

圖11 與其它動(dòng)力吸振器對(duì)比

3.2.2 非平穩(wěn)激勵(lì)下的響應(yīng)對(duì)比

在實(shí)際生產(chǎn)過程中，系統(tǒng)所受的激勵(lì)一般是非平穩(wěn)的，因此有必要進(jìn)一步對(duì)非平穩(wěn)激勵(lì)下的主系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行研究。在圖7中的非平穩(wěn)激勵(lì)作用下得到了本文模型與其它兩種模型的主系統(tǒng)響應(yīng)曲線，如圖12所示，圖12(a)為主系統(tǒng)的實(shí)際位移曲線，圖12(b)為主系統(tǒng)位移響應(yīng)的包絡(luò)線。

從圖12中可以看出，本文提出的基于開關(guān)控制的負(fù)剛度DVA在低頻段比PN-DVA減振性能更好；在共振頻段附近與傳統(tǒng)的Voigt模型相比具有明顯的優(yōu)勢(shì)；在高頻段也能夠達(dá)到比其它兩種模型更好的振動(dòng)控制效果。因此，本文模型在能夠在整個(gè)頻率域內(nèi)有效抑制主系統(tǒng)的振動(dòng)幅值。

(a)位移響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

提出了一種基于開關(guān)(on-off)控制的半主動(dòng)負(fù)剛度動(dòng)力吸振器模型，可以根據(jù)外界激勵(lì)頻率的變化控制負(fù)剛度在on與off兩種狀態(tài)之間進(jìn)行切換。本文模型集合了傳統(tǒng)模型與被動(dòng)負(fù)剛度模型的優(yōu)點(diǎn)，克服了被動(dòng)負(fù)剛度模型在低頻區(qū)域內(nèi)加劇系統(tǒng)振動(dòng)的缺陷，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和非平穩(wěn)激勵(lì)作用下均表現(xiàn)出良好的減振性能，能夠在整個(gè)頻率域內(nèi)有效抑制系統(tǒng)振動(dòng)。