一種半主動負剛度動力吸振器

邢昭陽, 申永軍,2, 邢海軍, 李向紅

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學 交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學 數理系，石家莊 050043)

研究人員對動力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)的研究已長達一個世紀之久，如今DVA已經成為振動控制領域比較常見的減振器件。傳統的DVA[1-3]能夠有效抑制主系統的窄帶響應，但是對于低頻振動和寬帶振動的控制性能卻差強人意。在機械設備的啟停過程中，很多時候會在激勵頻帶內出現多個共振峰，如果不能有效抑制這種共振響應，可能對設備的精度和使用壽命造成嚴重影響。DVA按照對外界能源的輸入需求可以分為三大類：被動式、半主動式和主動式，近些年來，學者們以低頻、寬帶、輕質為設計理念，對三類DVA均進行了大量研究。

由于被動式DVA結構簡單、使用成本低，被廣泛應用于工程實際，學者們主要從結構方面對其進行了優化與改進。盡管已有許多關于拓寬被動式動力吸振器的有效吸振頻帶的研究，但它們對結構在激勵頻帶內具有多個共振峰的寬頻帶振動的吸振效果依然不理想[4]。附加兩個或多個不同頻率的DVA可以拓寬系統的減振頻帶[5-7]，但是這會導致系統的質量增加。Shen將負剛度應用到DVA中，發現負剛度DVA能夠有效抑制系統響應，具有更寬的減振頻帶和更低的諧振頻率，但是由于負剛度的特性，系統在低頻區的響應會被放大[8-10]。一些學者發現，加入放大機構如慣容[11-13]或杠桿元件[14-15]也可以獲得寬頻帶、輕量化的DVA。主動式DVA能夠根據主系統的運動狀態即時調節DVA的參數[16-17]，使DVA能夠時刻處于抑制主系統振動的最優狀態。雖然主動式DVA振動性能優越，但是由于其結構復雜、能耗大、使用成本過高，且有時可能會失穩，在工程中的應用受到較大限制[18]。

半主動式DVA因其結構簡單、能耗低、穩定性好而受到研究人員的關注。Koo將基于速度和位移的控制策略引入到DVA中[19]，相比于被動式DVA大幅降低了主系統的振幅，但是系統的減振頻帶與固有頻率并沒有顯著改變。胡海巖等提出了一種半主動式DVA[20-21]，研究發現通過追蹤外界激勵頻率調節分段線性剛度元件的間隙，能夠拓寬DVA的工作頻帶，具有較好的減振性能。Nagarajaiah等[22]利用短時傅里葉變換，根據激勵的主頻率相應地改變DVA的剛度或阻尼[23]，實現了比最優的被動式DVA更好的減振效果。Gao等[24]研究了一種變質量DVA，通過識別激勵頻率調節DVA的質量，能夠在寬頻段內有效抑制主系統的振動響應。郎君等[25]將基于阻尼的開關控制策略應用到Voigt型DVA中，數值仿真的結果表明相比于被動式DVA，半主動模型能夠顯著地提升系統的減振性能。在半主動控制系統的優化過程中，大多數學者選擇改變阻尼實現擬負剛度，或者直接改變系統的正剛度以提高控制效果，而一些研究表明，基于負剛度的半主動控制同樣能夠提高系統的振動控制性能。韓超[26]將可調式電磁負剛度裝置應用到隔振系統中，能夠在不改變裝置結構的前提下改變電流以調整負剛度的大小，實驗結果表明該裝置能夠有效抑制系統共振峰值。郝巖[27]設計了一種分段式負剛度裝置并將其應用到動力吸振系統，盡管有效降低了主系統共振振幅，但是卻放大了低頻區間上的響應。

為了改善負剛度在低頻區間上對DVA性能的負面影響，本文將基于頻率識別的控制策略應用于郝巖提出的負剛度動力吸振系統，通過短時傅里葉變換對外界激勵頻率進行識別并相應地改變系統的負剛度，能夠在整個頻率域上提高系統的振動控制性能。

1 半主動負剛度動力吸振器

1.1 動力學模型

圖1所示為半主動負剛度DVA模型，其中m1和m2、k1和k2分別代表主系統和DVA的質量和剛度，k3為可調的接地負剛度裝置，其提供的負剛度數值可以連續變化，F0和ω分別表示激振力振幅和頻率，x1和x2分別代表主系統和DVA的位移。

圖1 半主動負剛度動力吸振器模型

根據牛頓第二定律可以得到該系統的動力學方程

(1)

引入以下參數

式(1)可化為

(2)

1.2 負剛度對被動式DVA性能的影響

本文旨在改善被動式負剛度動力吸振器(passive negative stiffness dynamic vibration absorber，PN-DVA)在低頻區域振動加劇的問題。對于圖1所示的半主動負剛度DVA，當其接地負剛度k3確定后，該模型即轉化為圖2所示的PN-DVA，因此，有必要首先對被動式負剛度動力吸振器進行分析。彭海波等以抑制主系統最大振幅為目標，對圖2所示的PN-DVA進行了參數優化設計，得到了其主系統的振幅放大因子、最優頻率比、最優阻尼比和最優負剛度比。該模型主系統的振幅放大因子A1為

圖2 被動式負剛度動力吸振器

(3)

其中

頻率比ν、阻尼比ξ和負剛度比α的最優值分別為

(4)

圖3給出了PN-DVA與傳統模型在簡諧激勵下的減振性能對比。在低頻區域和共振區域內，負剛度的存在與否對DVA的性能產生了完全相反的影響：在低頻區域內，不含負剛度的傳統模型減振效果好；在共振區域附近，PN-DVA的減振性能更好。因此，如果可以隨著外界激勵頻率的變化相應地改變負剛度k3的數值，就可以進一步提高負剛度DVA的減振性能。

圖3 不同模型的減振性能對比

1.3 on-off控制策略

由于在低頻區和共振區內，負剛度對DVA的性能影響截然不同，本文提出一種開關(on-off)負剛度控制策略，其形式為

(5)

接下來具體討論on狀態下的負剛度取值以及on-off狀態切換的臨界頻率。由于接地負剛度裝置并不會影響系統的承載能力，因此在保證系統穩定的前提下，負剛度的最大值即為該系統的最優負剛度。為了最大限度地降低吸振系統的固有頻率，應該使PN-DVA中的負剛度值盡可能取最大，因此，在本文模型中負剛度k3的最大值為

k3max=k2αopt

(6)

選取主系統參數m1=40 kg、k1=1 600 N/m、質量比μ=0.1，則由式(4)可以得到νopt=1.408 5，ξopt=0.356 2，αopt=-0.705 9，在負剛度不同時，本文模型主系統的幅頻響應曲線如圖4所示。

圖4 不同負剛度時減振性能對比

從圖4中可以看出隨著負剛度數值從k3max降低到0的過程中，在左側低頻區域內，當k3=0時本文模型的減振性能達到最優；在共振區域內，當k3=k3max時能夠更好地抑制主系統振動；在高頻區域內，負剛度數值的改變對減振性能的影響很小。因此，根據激勵頻率的變化使負剛度k3在0與k3max之間進行切換，可以使本文模型的減振性能達到最優。

k3=0和k3=k3max時主系統的幅頻曲線如圖5所示，M和N點是兩條幅頻曲線的交點，從圖中可以很明顯得出結論：當外界激勵與主系統的頻率之比滿足λ<λM和λ>λN時，在負剛度k3=0的情況下動力吸振器的減振性能更好；當λM<λ<λN時，在負剛度數值k3=k3max的情況下動力吸振器的共振峰值更低，具有更好的減振效果。

圖5 主系統幅頻響應曲線

M點與N點處的頻率比λM和λN可以令k3=0和k3=k3max時的振幅放大因子相等得到，即

A1|k3=0=A1|k3=k3max

(7)

由f=ω/2π和λ=ω/ω1可以得到外界激勵頻率f與歸一化的頻率比λ的關系

f=λω1/2π

(8)

于是本文提出的開關(on-off)控制策略為

(9)

為了闡述該控制策略具體的實現方式，圖6給出了系統的工作原理圖。受到激勵源作用的主系統會產生振動，附著于主系統上的位移傳感器會將主系統的振動情況傳遞給數據采集儀，隨后數據處理模塊會將采集到的信號進行時頻分析并將信號的主頻率與系統的臨界頻率(M、N兩點的頻率)比較，最后根據on-off控制策略利用控制器實現負剛度的切換。

圖6 系統工作原理圖

2 時頻分析

1.3節中提出的on-off控制策略，其關鍵在于主系統振動過程中能夠及時地識別外界激勵頻率。在實際工程中，許多激勵信號嚴格來說都是非平穩的，短時傅里葉變換能夠揭示信號頻率隨時間的分布規律，其基本思想是將一個時間信號分解為若干個小的時間段(假設每一時間段內的信號是平穩的)，然后利用傅里葉變換對每個時間段進行分析，確定信號在每個時間段內的頻率。使用短時傅里葉變換對信號進行時頻分析的步驟如下：

步驟1將激勵信號x(τ)與一個窗函數h(τ-t)相乘

(10)

式中:窗函數選擇漢寧窗，t是窗口中心時間，τ是信號的運行時間。

(11)

(12)

步驟3計算信號的主頻率

通過短時傅里葉變換得到信號在t時刻的瞬時頻率ωi

ωi={ω|P(ti,ω)=max{P(ti,ω)}}

(13)

由于短時傅里葉變換的窗函數受到Heisenberg測不準原理的限制，不能夠同時使時間和頻率分辨率達到最優。在m(m=20)個步長內對測得的瞬時頻率取平均值，可以從一定程度上減小這種偏差，最終得到信號的主頻率ωd

(14)

現以一個非平穩信號為例，對其進行時頻分析。如圖7所示，構造了最大振幅為10 N的非平穩隨機力激勵信號，它由5 000個數據點組成，時間歷程為50 s，在5～15 s，20～30 s，35～45 s內頻率分別為3 Hz，6 Hz和9 Hz，其余時間段內激勵為零。通過短時傅里葉變換對該信號進行分析(窗函數采用漢寧窗)，得到其時頻分布三維圖和等高線圖分別如圖8(a)和8(b)所示。

圖7 非平穩信號

由圖8(a)和圖8(b)可以看出激勵信號明顯存在三種頻率分量，其能量主要集中于3 Hz，6 Hz和9 Hz，各自對應的時間分布在5～15 s，20～30 s，35～45 s內，與圖7中構造的非平穩激勵信號特征高度吻合。圖9給出了更具體的時頻分布規律，從圖中可以看出由短時傅里葉變換得到的信號主頻率與實際頻率較為吻合，在時間分布上的偏差也很小。因此，本文模型對于負剛度的on-off控制，可以通過短時傅里葉變換實現。

(a)三維圖

圖9 非平穩信號的時間頻率分布圖

3 數值仿真與模型對比

3.1 數值仿真

對于1.3節中提出的on-off負剛度控制策略，倘若外界激勵頻率的變化不會觸發開關狀態的切換，系統的負剛度值也不會發生變化，在此期間內模型實際上是一個被動式DVA。因此，根據式(3)和式(9)可以得到主系統的幅頻響應曲線的解析解。選取計算時間500 s，利用四階榮格庫塔法可以得到主系統響應的數值解，選取穩態響應的最大值并進行歸一化處理，從而得到主系統的幅頻響應曲線。系統響應的數值解與解析解曲線如圖10所示，圖中解析解由實線表示，數值解由圓圈表示，解析解與數值解高度吻合，說明本文提出動力吸振器能夠達到理論分析的減振性能。

圖10 解析解與數值解對比

3.2 與其它模型對比

3.2.1 簡諧激勵下的響應對比

為了驗證本文提出的動力吸振器的減振性能，在主系統受到簡諧激勵時，將本文模型與Den Hartog提出的Voigt型DVA和 Shen提出的PN-DVA和半主動控制Voigt模型(semi-active voigt DVA，SV-DVA)[25]進行了對比。選取質量比μ=0.1，各個模型在最優參數下的幅頻曲線如圖11所示。通過對比發現本文模型不僅拓寬了DVA的減振頻帶，衰減了共振區域的振幅，而且有效抑制了主系統在低頻區間內的響應。雖然在主系統固有頻率附近SV-DVA模型的振動響應更小，但是本節模型能夠在整個頻率域上降低系統的最大振幅。

圖11 與其它動力吸振器對比

3.2.2 非平穩激勵下的響應對比

在實際生產過程中，系統所受的激勵一般是非平穩的，因此有必要進一步對非平穩激勵下的主系統響應進行研究。在圖7中的非平穩激勵作用下得到了本文模型與其它兩種模型的主系統響應曲線，如圖12所示，圖12(a)為主系統的實際位移曲線，圖12(b)為主系統位移響應的包絡線。

從圖12中可以看出，本文提出的基于開關控制的負剛度DVA在低頻段比PN-DVA減振性能更好；在共振頻段附近與傳統的Voigt模型相比具有明顯的優勢；在高頻段也能夠達到比其它兩種模型更好的振動控制效果。因此，本文模型在能夠在整個頻率域內有效抑制主系統的振動幅值。

(a)位移響應曲線

4 結 論

提出了一種基于開關(on-off)控制的半主動負剛度動力吸振器模型，可以根據外界激勵頻率的變化控制負剛度在on與off兩種狀態之間進行切換。本文模型集合了傳統模型與被動負剛度模型的優點，克服了被動負剛度模型在低頻區域內加劇系統振動的缺陷，在簡諧激勵和非平穩激勵作用下均表現出良好的減振性能，能夠在整個頻率域內有效抑制系統振動。