考慮關聯荷載驗證時變抗力的橋梁結構可靠度評估方法

金聰鶴, 錢永久, 徐望喜, 黃俊豪

(西南交通大學 土木工程學院，成都 610031)

橋梁結構在正常使用過程中，由于自然因素和荷載作用使得材料老化，構件疲勞、錯位或開裂。另有統計表明車輛最大荷重與交通量會隨著橋梁服役期齡增長而增加[1-2]，這些因素使得橋梁結構可靠性降低，對橋梁的安全服役造成隱患。由于資金和人力物力資源有限，不可能對每一座橋梁進行充分地維修或更換構件，可取的做法是：首先對在役橋梁進行安全性能評價，作為其后續管理、養護與加固的科學依據[3]。橋梁結構的安全性能評估需要在可靠度理論框架指導下進行[4]，例如我國在役規范中推薦的驗算點法[5]，或是基于結構承載力劣化的時變可靠度算法[6]。后者能夠評估退化結構在一定時間范圍的可靠性，具備廣泛的工程前景與重大社會經濟效益，成為了國內外十分關注的課題[7-8]。

另一方面，在役橋梁結構受到服役荷載的驗證作用。驗證荷載截斷了橋梁抗力的上尾分布，使得抗力的統計參數發生變化。服役歷史荷載的驗證作用會提高結構的可靠度指標[9]。高估或低估歷史荷載的驗證作用會使得既有橋梁時變可靠度計算結果不夠準確，對正確評估其安全性能不利。因此，橋梁可靠性分析需要準確考慮歷史荷載信息對當前抗力分布的影響。

Fujino等[10]提出了驗證荷載實驗：對既有結構施加預先確定大小的荷載以確定結構當前承載力，但結果往往趨于保守。Faber等考慮不同強度的歷史荷載作用于抗力退化的橋梁結構，討論了確保結構剩余使用壽命可靠度的最佳驗證荷載的比率。禹智濤基于驗證荷載實驗對抗力分布的更新作用，提出了基于串——并聯體系的橋梁結構多失效模式時變可靠度分析方法；索清輝等討論了歷史荷載驗證作用對橋梁可靠度提升的時效。樊學平等[11]通過分析橋梁結構健康監測數據，研究了基于驗證荷載信息和抗力退化模型的可靠度修正方法。李全旺等[12]基于Bayesian原理，采用車載歷史信息作為驗證荷載，提出了考慮劣化因素的結構時變抗力更新方法，并給出了顯示公式，相較于Stewart等[13]提出的基于單次歷史荷載重復驗證的MCS(monte carlo simulation)方法提升了計算效率，但并未考慮荷載隨機過程的相關性對更新后抗力分布函數的影響。

作用于橋梁的荷載作用通常表現出時間相關性[14-17]。趙丁蘇等[18]基于單人三向荷載的相關性強弱建立了步行頻率的傅里葉級數模型；李全旺等提出了服從正態分布荷載樣本考慮時間關聯性的迭代算法，并采用MCS計算了結構的時變可靠度。結果表明：不考慮歷史荷載的時間關聯性會低估結構的可靠性。因此，有必要提出一種簡潔可行的方法，在已有研究的基礎上，考慮荷載隨機過程時間相關性強弱對結構抗力更新的影響，基于此計算結構后繼服役期的時變可靠度，并討論其安全性。

1 時變可靠度計算方法

在考察期(0,T)內，橋梁結構在任意時刻的抗力R(t)可以表述為初始抗力R0乘以抗力衰減函數g(t)的連續隨機過程[19]；設這段內發生了n次荷載效應S1,S2,…,Sn，由于荷載效應的作用時間較短，因此考慮為脈沖型隨機過程，例如Poisson隨機過程或Bernoulli隨機過程，如圖1所示。其中t1,t2,…,tn為對應荷載效應的發生時刻；Si對應的時變抗力值為R(ti)，發生時刻ti服從(0,T)的均勻分布。則結構在(0,T)不失效的概率Pl(T)記為[20-21]：

圖1 荷載平穩隨機過程與抗力衰減示意圖

Pl(T)=P{Z>0,?t∈(0,T]}=P{R(t1)>

S1∩R(t2)>S2∩…∩R(tn)>Sn,t∈(0,T]}

(1)

其中Z表示結構的功能函數，表示為[22]：

Z=R-S

(2)

對于典型的適筋梁破壞，梁體的承載力主要由抗拉鋼筋銹蝕速率決定。Enright等基于實驗數據給出了抗力衰減函數g(t)的經驗公式：

(3)

式中:Ti表示銹蝕起始的時刻。假設荷載效應Si為彼此獨立且服從同一分布的隨機變量，累積分布函數FS(s)，聯立式(1)、(2)得：

(4)

荷載效應關于發生時刻T*的聯合密度函數：

(5)

聯立式(4)、(5)得[6]：

(6)

以平穩Poisson過程描述荷載效應，在(0,T)發生了n次荷載效應的概率為：

(7)

式中:λ為Poisson參數，表示荷載發生的頻率(1/a)。將式(6)代入式(7)，并注意到結構可靠的必要條件為荷載效應大于初始抗力的次數N(T)=0。整理得：

Pl(T)=

(8)

式中積分項n依據R(t)>max{S1,S2,…,Sn}取1?？紤]初始抗力R0的隨機性，設其概率密度函數為fR0(r)，則式(8)可寫為：

Pl(T)=

(9)

式(9)即Mori等提出的時變可靠度公式，被國際《在役結構評估規范》所推薦，并取得了廣泛應用。

(10)

式中,fR(r)表示T1時刻之前抗力的密度函數。然而，上式未能考慮結構承載力的劣化效應，因此會高估歷史荷載對時變抗力的驗證作用。李全旺等基于時變抗力與衰減函數完全線性相關的假設，提出了考慮橋梁承載能力劣化的驗后抗力密度函數計算公式：

(11)

式中:r0為初始抗力的樣本值；FS,i(s)表示(0,T1)內第i個時間區間(ti-1,ti](t0=0)最大荷載效應的累計分布函數，但在實際運用中采用了第一個統計區間的最大荷載效應累計分布函數FS,1(s)進行全局計算，為平穩隨機過程；且假設荷載效應之間彼此獨立。對李全旺等由S1迭代至S2的樣本進行統計，表明S2與S1同分布，同樣為平穩隨機過程，且僅適用于荷載效應服從同一正態分布的情形。

若考慮荷載過程為非平穩Poisson過程，則需要對不同時段的最大荷載效應的分布逐一統計，這顯著增加了MCS程序的計算量，但對T1時刻抗力的驗證作用意義不大。因此本文假設荷載過程為平穩Poisson過程。

Copula函數常用來描述隨機變量的相關性[24]，近年來在土木工程領域得到廣泛應用。宋帥等[25]基于不同Copula函數簇提出了描述橋墩、支座等構件的橋梁易損性分析方法；劉月飛基于最小信息準則(akaike information criterion)和Bayesian準則建立了橋梁結構串并聯體系聯合失效概率的混合Copula模型表達式；陳建兵等[26]基于vine Copula建模理論，研究了混凝土受壓本構關系中基本參數的相關性和最優邊緣參數分布；Liu等[27]基于結構監測應力應變數據，建立了考慮結構失效模式非線性關聯的Gaussian Copula分析方法。通過Copula函數構建多維隨機變量聯合分布函數，在隨機變量單調變換下，線性相關系數不具有不變性，符合荷載發生時刻不固定的特性。因此，本文基于Copula函數描述荷載效應的時間相關性。

第三章討論了二維隨機變量分別采用Gaussian Copula和t-Copula構造Copula函數的尾部相關性強弱。在此基礎上，構造相鄰荷載變量相關系數的對稱矩陣，采用n元Gaussian Copula或t-Copula生成與邊緣分布位置相關的隨機數行向量，再通過荷載S1的邊緣分布生成具備相關性的荷載樣本{s1,s2,…,sn}，依據MCS方法建立了驗后抗力樣本篩選方案。第四章以某鋼筋混凝土簡支梁橋為例，分析了關聯荷載過程對該橋20年的時變抗力R20的驗證作用，依據R20的驗證結果計算了結構后繼服役期的時變可靠度，最后依據關聯荷載驗證作用的可靠度結果分析了該橋梁在20～40年的可靠性，討論了考慮荷載時間相關性對橋梁后繼服役期安全性能評估的影響。

2 基于Copula隨機數矩陣的驗后抗力更新方法

設荷載過程S1,S2,…,Sn的聯合分布函數為FS1,S2,…Sn(s1,s2,…sn)，則式(11)可以寫為：

(12)

FS1,S2,…Sn(s1,s2,…sn)=

C(FS1(s1),FS2(s2),…FSn(sn))

(13)

(14)

然而，構造一個n維隨機變量的Copula函數非常復雜，通過式(14)進行積分進而獲得fR1(r)的精確解是不現實的。因此需借助計算機軟件，采用MCS方法建立R1樣本值r1的篩選機制，進而獲得fR1(r)的統計參數。

圖2所示為兩個服從相同正態分布N～(1 000,2002)的二維隨機變量Y1和Y2的t-Copula函數和Gaussian Copula函數的概率密度函數圖。其中線性相關系數ρ(Y1,Y2)分別為0.9和0.7。學生t-分布是分析下尾數據關聯性的重要統計工具[28]，當自由度df，學生t-分布轉化為標準正態分布。近年來，荷載效應下尾分布敏感性受到學界越來越多重視[29]。df越小，抗力尾部敏感性越大，結果相較于Gaussian Copula差異越顯著。本節中t-Copula的自由度df分別取1和10。

(a)t-Copula, df=1, ρ(Y1,Y2)=0.7

描述隨機變量相關性的參數很多，例如Kendall秩相關系數、Spearman秩相關系數等。荷載過程的時間相關性通常采用線性相關(Pearson相關)描述。若n維隨機變量的線性相關系數矩陣A已知，可由Copula函數生成一個n維隨機數矩陣，其每一行代表一個取自[0,1]上均勻分布的樣本，表示n個隨機變量分別處于自身邊緣分布中的位置。例如在圖2(c)的二維t-Copula中，對Y2的核分布估計取0.5，則t-Copula函數在Y2=0.5處垂直于“Y2核分布估計”軸的切面在xOz面上的投影即為Y1取值[0,1]的概率密度。當ρ(Y1,Y2)增大(圖2(b)、2(d))或df減小(圖2(a))時，Y1取值為0.5的概率增大，這是基于Copula函數構造的n維Copula隨機數矩陣工作的原理。此外，t-Copula相較于Gaussian Copula存在較厚的尾部，能更好地描述隨機變量之間的下尾部相關性。

根據Sklar定理，n維隨機變量的聯合分布函數可以分解為n個邊緣分布和一個n元Copula函數，因此服從正態分布的n維隨機變量的聯合分布函數應當為一個n元Gaussian Copula，但仍可采用t-Copula或其它Copula來描述。反之，Copula函數的邊緣分布函數形式亦不受限制。因此，采用Copula函數描述隨機變量之間的關聯性時，可以假設它們的邊緣分布服從類型相同的分布。

設任意兩個荷載隨機變量Si和Sj(j>i)的Pearson相關系數為ρ(Si,Sj)，Toriumi等描述了風荷載關于時間和空間的相關性，其中時間相關系數采用指數衰減模型進行計算：

ρ(Si,Sj)=exp[-m(tj-ti)]

(15)

式中:m為Pearson相關系數參數，m越大，荷載之間的時間相關性越弱。t的單位為年(a)。荷載效應的類型不同，分布規律也不同。車載效應往往表現為多峰分布，例如GPD(generalized pareto distribution)分布或廣義極值分布；而風荷載的分布類型與其作用的結構和受力構件相關，呈現非正態分布特性。根據上文分析，采用Copula函數構造隨機數矩陣，基于平穩隨機過程，可以假設荷載效應服從同一正態分布。雖然不夠準確，但不妨礙討論荷載過程關聯性強弱對fR1(r)評估結果的影響。

借助Matlab程序可以構造Gaussian Copula等5類Copula函數。本文分兩種情況來討論生成歷史荷載樣本的方法，并給出基于MCS實驗的驗后抗力參數統計具體步驟。

2.1 Gaussian Copula和t-Copula函數

由于Matlab可以直接構造n元Gaussian Copula或t-Copula函數，因此可以直接由Pearson相關系數矩陣A生成n維隨機數矩陣。為方便Monte Carlo運算，本文將n維隨機數矩陣的行數設為1。首先，依據式(15)計算出相鄰荷載的線性相關系數并構造系數矩陣A，采用family值為“Gaussian”或“t”的Copularnd函數構造隨機數行向量，再通過norminv函數，根據S1的邊緣分布生成一行關聯荷載樣本值。驗后抗力參數統計方法如下：

步驟1對于考察期為(0,T1)的結構，生成一個Poisson隨機數，參數為λT1。

步驟2根據初始抗力R0的分布，隨機生成一個樣本值r0。

步驟3在(0,T1)生成n個服從均勻分布的時間點t1,t2,…,tn，表示驗證荷載的發生時間，其中n=λT1，且0

步驟4根據式(14)計算相鄰驗證荷載之間的Pearson相關系數ρij=ρ(Si,Sj)。

步驟5生成n階Pearson相關系數對稱矩陣A，形如下式：

(16)

步驟6通過步驟5產生的Pearson相關系數矩陣A生成行數為1、列數為n的Gaussian Copula或t-Copula隨機數行向量。

步驟7通過步驟6生成的Copula隨機數行向量和荷載S1的邊緣分布，產生一組具備相關性的驗證荷載樣本{s1,s2,...,sn}。

步驟8若對任意i=1,2,…,n均有r0·g(ti)>si成立，這表明結構在(0,T1)可靠，計算rT1=r0·g(T1)；否則表示結構在考察期失效，舍去此rT1并返回步驟1。

步驟9重復步驟1～8Q次，從得到的q次實驗結果中統計rT1的均值和方差。當Q足夠大時，rT1的均值和方差即fR1(r)的統計參數，且有Pl(T1)=q/Q。

根據上述步驟，可以基于關聯荷載過程得到T1時刻更新后的抗力分布，以及結構在(0,T1)的時變可靠度。

2.2 Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula函數

注意到，采用本文提出的Copula隨機數矩陣法，默認了荷載發生的次數n≥2。因此若Poisson隨機數的參數較小時，需要在MCS程序中考慮n=0或n=1的情況，不再贅述。

3 實例分析

某II類環境條件鋼筋混凝土簡支梁橋，雙向四車道設計，橫斷面如圖3所示。主梁為T型梁，計算跨度20 m，截面尺寸如圖4所示。混凝土強度等級C40，鋼筋等級HRB335，安全等級二級。本文只考慮主梁純彎狀態適筋破壞的失效模式，可采用式(2)描述其功能函數。時變抗力R(t)以主梁跨中截面的抗彎承載力表示，對于施加于梁上的正應力產生的荷載效應S同樣以跨中截面彎矩計。若為建筑、水工或其他復雜橋梁結構，則需要采用非線性功能函數描述結構的功能狀態，或建立多失效模式的串并聯模型。

圖3 橋梁半橫斷面圖(cm)

圖4 主梁尺寸與配筋(mm)

依據文獻[30]進行抗彎承載力復核，可得到T梁的初始正截面抗彎承載力M0=6 050 kN·m；梁體自重產生的跨中彎矩為Mq=1 064 kN·m；從而得到結構除去梁體自重的初始狀態承載力為μ(R0)≈5 000 kN·m。據統計，當地每年一遇(λ=1(1/a))的最大荷載效應Si與R0的比值為3∶5，另設置一對照組為3∶10。鋼筋混凝土梁抗彎承載力服從對數正態分布，變異系數0.15；最大荷載效應服從正態分布，變異系數0.2，抗力衰減函數取為g(t)=10.005t。設Ti=0，T1=20a，T=40a。首先采用本文方法對20年的時變抗力R20進行歷史荷載驗證，并基于驗后R20信息對該橋梁20～40年的后繼服役期結構可靠度進行評估。所有MCS次數Q均為100萬次；t-Copula自由度參數df分別取1、2、5、10和20。

3.1R20驗證結果

若不經歷史荷載驗證，通過計算分別得到μ(R20)=4 500 kN·m和σ(R20)=675 kN·m。表1和表2分別給出了m取不同值時，采用Gaussian Copula和df=1的t-Copula進行MCS的R20驗證結果。

表1 Gaussian Copula的R20驗證結果

表2 t-Copula的R20驗證結果(df=1)

表1中，對照組1采用王草提出的MCS方法，即將荷載效應視為彼此獨立的隨機變量進行驗證荷載實驗；實驗組12和對照組2將m值設置的很大，以至于荷載過程的關聯性弱到可以忽略不計。通過對比實驗組12和對照組1的結果，可以看出R20的驗證結果十分接近，均值約為4 710 kNm，這表明了本文方法的正確性。對比實驗組1～12，結果表明：隨著m值不斷增大，荷載過程的關聯性逐漸減弱，R20的驗后均值不斷增大，方差逐漸減小，這表明荷載過程的關聯性與其對結構抗力的驗證作用成反比。荷載時間相關性越弱，驗證作用越明顯，但結構的失效概率越大；對照組2結果表明：驗證荷載強度較低時，更新后的R20均值方差與理論衰減的情形相比幾乎沒有變化，因此在考慮歷史荷載的驗證作用時不宜選擇太過保守的荷載強度。綜上，采用Gaussian Copula進行時變抗力的參數估計時，本文提出的驗證方法可以很好地考慮荷載關聯性強弱對驗后橋梁抗力結果的影響。

由于自由度相對較小，t-Copula尾部強相關性特征較為明顯。當m值相等時，采用t-Copula函數構造隨機數行向量進行MCS實驗，對R20的驗證作用應當比采用Gaussian Copula的要弱。對比表1和表2的數據可以證明這一點。例如當m=20時，df=1的t-Copula的驗后抗力均值比Gaussian Copula減小了94.84 kN·m，相當于μ(R20)的2.1%；驗后標準差增加了36.12 kN·m，相當于σ(R20)的5.4%。這意味著在df∈[1,∞)的整個區間，當m≤20，驗后抗力的均值和標準差變化范圍不會超過理論值的2.1%和5.4%。因此，df的取值在進行t-Copula時變抗力參數評估時不宜取得過大，否則可直接采用Gaussian Copula；也不宜小于1，例如當df=0.01時，m=10的驗后均值和標準差分別為4 565.91 kN·m和629.83 kN·m，接近df=1時m=0.1的情形，失去參考意義。

圖5、圖6和圖7分別給出了驗后R20均值、標準差和0—20年時變可靠度Pl(20)的比較。由圖可知，當m值相同時，t-Copula的驗后抗力均值較小，標準差較大，20年的可靠度較高。t-Copula的自由度越大，驗證效果越顯著，但結構通過歷史荷載驗證的概率越低；由于t-Copula和Gaussian Copula都有對稱的尾部，因此當m逐漸增大時，荷載過程的下尾部時間關聯性降低，因此驗證作用得到增強，結構失效風險也增大。t-Copula函數相較于Gaussian Copula函數的驗證作用較弱，結果偏于保守；當df增大時，驗證結果逐漸接近Gaussian Copula。df=10至20的增量與df=20至Gaussian(df→∞)的增量十分接近。因此，采用t-Copula進行基于歷史荷載的抗力驗證實驗，自由度參數df的建議取值范圍介于1～20。

圖5 R20驗后均值對比

圖6 R20驗后標準差對比

圖7 Pl(20)對比

3.2 時變可靠度計算結果

采用第3章提出的抗力更新方法進行時變可靠度的MCS：在總計Q次實驗中，記錄對任意i=1,2,…,n都有r0·g(ti)>si的次數為q，當Q足夠大時，Pl(T)=q/Q。若考慮荷載過程為彼此獨立的隨機變量，可以通過式(9)直接進行計算，或采用上述方式并將m設置得很大。多次實驗表明：當m值超過100時，不論采用t-Copula還是Gaussian Copula構造隨機數行向量，采用式(9)和Q>50萬次以上數值模擬得出的可靠度結果誤差很小，因此本文取m=2 000代替式(9)進行基于獨立平穩荷載過程的時變可靠度計算。

圖8～圖11分別給出了不同m值時采用t-Copula函數和Gaussian Copula函數構造隨機數行向量的結構時變可靠度評估結果，驗證了李全旺等的結論。后繼服役期的結構抗力R20的參數分別以表1和表2的驗證結果為準，并假設后繼服役期作用于結構的年荷載效應最大值的均值和變異系數也分別為3 000 kN·m和0.2。其中時變失效概率Pf(T)=1-Pl(T)；可靠度指標β為Pl(T)服從標準正態分布的反函數值，其中后繼服役期的可靠度和時變失效概率起始時間為第20年。由圖可知，不論采用df=1的t-Copula還是Gaussian Copula，m越小、荷載過程關聯性越強，則結構在后繼服役期的可靠度越高，結構越偏于安全。另外，不同m值對應的可靠度和失效概率在重新評估后的短時期較為接近，當采用Gaussian Copula函數時甚至存在明顯的交叉點，如圖9和圖11所示。在本文中，這一時期約為抗力更新后的1—2年。在交叉點之前，荷載關聯性越弱，結構可靠度反而越高。這表明：對于成功服役了T1的既有橋梁結構：(0,T1)的歷史驗證荷載發生時間分布越偏于離散，表明荷載過程的時間關聯性越弱，越趨于彼此獨立，驗證作用越顯著，因此結構在T1時刻采用驗后抗力計算的時變可靠度越高。但后繼服役期由于抗力衰減程度和荷載效應的分布一致，可靠度由同一時期的荷載關聯性所決定。比較圖8和圖9，當m值相同時Gaussian Copula的可靠度衰減程度明顯快于df=1的t-Copula。因此需要格外注意T1時刻抗力更新的結果。驗證荷載時間離散程度越大，T1時刻抗力驗證作用越顯著，后繼服役期橋梁結構可靠度衰減越快，安全性越差，需要在未來1—2年采取適當的加固和維修措施。

圖8 t-Copula構造行向量的橋梁時變可靠度指標(df=1)

圖9 Gaussian Copula構造行向量的橋梁時變可靠度指標

圖10 t-Copula構造行向量的橋梁時變失效概率(df=1)

圖11 Gaussian Copula構造行向量的橋梁時變失效概率

4 結 論

本文基于橋梁結構時變可靠度理論，采用Copula函數構造隨機數矩陣的方法，編寫MCS可靠度程序，討論了服從平穩Poisson過程的荷載時間關聯性強弱對結構劣化抗力更新結果的影響，并對某鋼筋混凝土簡支梁橋進行了可靠度計算。得出了以下結論：

(1)歷史驗證荷載的時間關聯性會降低時變抗力的驗證效果：荷載過程的時間關聯性越強，驗后抗力的均值提升和標準差降低效果約不顯著。采用t-Copula函數生成隨機矩陣的驗證效果低于Gaussian Copula。

(2)對既有橋梁結構，歷史驗證荷載發生時間分布越偏于離散，表明荷載過程越趨于彼此獨立，對時變抗力的驗證效果越明顯，橋梁在后繼服役期的可靠度下降趨勢也越顯著。因此，歷史荷載強度和發生頻率相同時，荷載過程的時間離散程度越高，對橋梁結構在后繼服役期的安全性能評價越不利。有必要格外關注既有橋梁抗力重新評估后1—2年內的荷載狀況，必要時對結構采取加固和維修措施。

(3)歷史荷載強度會影響當前時刻橋梁抗力的評價結果。算例中，采用正態分布描述荷載過程時，將一年一遇的荷載均值從結構初始抗力的30%提高到60%時，驗后抗力R20的均值提高了約4.7%，標準差降低了約15%，但可靠度降低了0.22，增加了結構失效的風險。因此，在役結構進行可靠度評估時需采用合理的歷史驗證荷載強度。

(4)采用本文提出的MCS方法，當采用t-Copula函數生成隨機數矩陣時，自由度參數df的取值區間建議介于1～20。