基于圓錐微凸體的結合面法向剛度分形模型研究

蘭國生，孫 萬，譚文兵，張學良，溫淑花，陳永會

(太原科技大學 機械工程學院,太原 030024)

機械結構中存在著大量的結合面，結合面剛度是機械結構整體剛度的重要組成部分。結合面剛度對整機的靜態特性以及動態特性有著十分重要影響[1-2]。文獻[3]指出機床結合面的剛度約占機床總剛度的60%～80%，結合面引起的變形量約占機內靜變形量的85%～90%。為此，許多學者對機械結合面的剛度做了大量研究。張學良等[4]建立了球面與平面接觸的法向接觸剛度分形模型；蘭國生等[5]基于域擴展因子和改進W-M函數提出了結合面接觸分形模型；王潤瓊等[6]考慮了微凸體相互作用建立了結合面接觸剛度模型；陳永會等[7]提出了粗糙表面彈塑性接觸連續光滑指數函數模型，并在此基礎上研究了法向接觸剛度；劉偉強等[8]構建了橢圓拋物體形微凸體曲面彈性接觸模型;Adams等[9]研究了彈性圓錐與彈性半空間的接觸問題；許志倩等[10]建立了基于圓錐與平面接觸的三維粗糙表面接觸力學模型;田洪亮等[11]將圓錐微凸體應用在粗糙表面接觸分析中，建立了結合面法向剛度統計模型，該模型中的粗糙表面統計參數受取樣長度和測試儀器的分辨率的影響，不具有客觀唯一確定性。

以上研究工作大多基于球體與平面接觸的模型，研究粗糙表面接觸力學特性。然而結合面上微凸體理想化的模型與實際差別還是很大的，實際微凸體各自大小和形狀都不一樣，因此結合面上存在球形、橢球形、拋物體、圓錐體等各種形狀的微凸體，采用圓錐模擬微凸體可以為結合面進一步的研究提供基礎。因此，本文以圓錐體等效粗糙表面上的微凸體，并結合分形理論和改進的W-M函數，建立了結合面法向接觸剛度分形模型，并通過仿真分析了相關因素對結合面法向接觸剛度的影響。最后將本文模型與經典模型以及文獻[12]中試驗數據進行比較，驗證了本文模型的準確性。

1 粗糙表面的圓錐微凸體模型

1.1 粗糙表面建模

文獻[13]提出了可以更好模擬粗糙表面輪廓的改進W-M函數，微凸體的變形量δ可由其余弦函數的波峰和波谷的幅值表示，即

(1)

式中:G為分形粗糙度參數；D為粗糙表面分形維數(1

1.2 圓錐微凸體的受力與變形

相互接觸的粗糙表面可以簡化為一粗糙表面和一剛性平面相互接觸，一般粗糙表面上的微凸體可以等效為球形、柱形、錐形，球形模型比較常用，柱形模型與實際接觸情況不符，錐形比較接近實際[14]，因此本文用圓錐模擬粗糙表面上的微凸體。單個圓錐微凸體的變形量為δ，接觸半徑為r，半頂角為β，如圖1所示。

圖1 微凸體等效模型

如圖1所示，球形模型等效微凸體時，以余弦波曲率半徑為球形半徑。根據文獻[15]可知，由余弦波包裹微凸體，對應的微凸體中有空白致使等效微凸體的體積大于真實體積，為此本文與等效球形方法類似并適當減小余弦波所包裹的體積，以余弦波頂點和余弦波與剛性平面接觸的邊界兩點作等腰三角形(即為等效圓錐體的正視圖)，則圓錐微凸體的半頂角余切值可以表示為

(2)

式中，a為微凸體接觸面積a=πr2。

根據式(2)并取a=10-15m2,G=10-15～10-8m，D=1.1～1.9進行仿真，仿真結果如圖2所示。

圖2 D和G對cot(β)的影響(a=10-15 m2)

由圖2可得，圓錐微凸體的半頂角余切值隨著分形維數的增大而減小，隨著分形粗糙度參數的增大而增大。進而可知，對于相同接觸面積的不同微凸體，分形維數越小，分形粗糙度參數越大，微凸體越“扁平”；分形維數越大，分形粗糙度參數越小，微凸體越“尖銳”。

由圖1可得，圓錐微凸體變形量和接觸面積之間的關系為

(3)

由文獻[16]可得，圓錐微凸體在彈性階段所受載荷和接觸面積的關系為

(4)

式中:E為兩接觸材料的綜合彈性模量；E1和E2分別為兩接觸材料的彈性模量；υ1和υ2分別為兩接觸材料的泊松比。

由式(4)可得，圓錐微凸體在彈性階段所受的平均壓強為

pea=0.2Ecot(β)

(5)

將式(2)代入式(4)可結合分形參數D,G，即

(6)

根據剛度的定義，單個圓錐微凸體的法向剛度可以表示為

(7)

將式(3)和式(4)求導后代入式(7)可得

(8)

當圓錐微凸體發生塑性變形時所受總載荷為

pp=Ha

(9)

式中，H為兩接觸材料中較軟材料的硬度。

由式(9)可得，圓錐微凸體在塑性階段所受的平均壓強為

(10)

圓錐微凸體由彈性狀態進入彈塑性狀態時，可設施加在圓錐微凸體上的壓強在臨界變形量處連續，即

pea=ppa

(11)

將式(5)、式(2)和式(10)代入式(11)可得，結合面微凸體臨界接觸面積為

(12)

式中:k=H/σy;φ=σy/E;σy為相互接觸材料中較軟材料的屈服強度;φ為塑性指數;k一般為2.8。

根據式(12)并選取結合面參數取值φ=0.7～2.5，G=10-15～10-8m，D=1.1～1.9，k=2.8進行仿真，仿真結果如圖3和圖4所示。

圖3 D和G對ac的影響(φ=1.5,k=2.8)

圖4 φ對ac的影響(D=1.6,G=10-12 m,k=2.8)

由圖3和圖4可得，結合面微凸體臨界接觸面積隨著分形維數和分形粗糙度參數的增大而增大，隨著塑性指數的增大而減小。

由文獻[17]可知接觸面積分布密度函數表達式為

0

(13)

式中，al為所有微凸體中最大接觸面積。

根據式(13)并取al=10-10m2,a=10-15m2，D=1.1～1.9進行仿真，仿真結果如圖5所示。

圖5 D對n(a)的影響(al=10-10 m2,a=10-15 m2)

由圖5可得，結合面接觸面積分布密度隨著分形維數的增大而增大。進而可知，對于結合面相同實際接觸面積區域內，分形維數越大，發生接觸變形的微凸體個數越多。

2 結合面的接觸模型

結合面上的實際接觸面積為

(14)

結合面的法向總載荷為

(15)

將式(6)、式(9)和式(13)代入式(15)可得

(16)

結合面的法向總剛度為

(17)

將式(8)和式(13)代入式(17)可得

(18)

將式(16)和式(18)無量綱化，

3 本文模型的數字仿真以及試驗對比

3.1 仿真計算

(a)D=1.1

(a)D=1.1

3.2 仿真結果分析

(a)D=1.1

圖和D對的影響(G*=10-10,φ=1.5)

(a)D=1.1

(a)D=1.1

綜上所有仿真結果進一步分析：

(1)當結合面實際接觸面積一定，分形維數小于1.5時，隨著分形維數的增大，相同接觸面積的圓錐微凸體的半頂角余切值明顯減小，致使所受彈性力減??；臨界接觸面積增大，致使處于塑性狀態微凸體(具有較小接觸面積)的數量占比略微增加，同時處于彈性狀態微凸體(具有較大接觸面積)的數量占比略微減少；此外，結合面相同實際接觸面積區域內發生接觸變形的微凸體個數略微增多。前兩者因素(致使結合面法向載荷相對減小)起主要作用，后一因素(致使結合面法向載荷相對增加)起次要作用，最終致使結合面法向載荷相對減小。同理，隨著分形維數的減小，結合面法向載荷相對增大。

(2)當結合面實際接觸面積一定，分形維數大于1.5時，隨著分形維數的增大，相同接觸面積的圓錐微凸體的半頂角余切值略微減小，致使所受彈性力減??；微凸體臨界接觸面積增大，致使處于塑性狀態微凸體(具有較小接觸面積)的數量占比明顯增加，同時處于彈性狀態微凸體(具有較大接觸面積)的數量占比明顯減少；此外，結合面相同實際接觸面積區域內發生接觸變形的微凸體個數明顯增多。這與分形維數小于1.5時的情況相反，前兩者因素(致使結合面法向載荷相對減小)起次要作用，后一因素(致使結合面法向載荷相對增加)起主要作用，最終致使結合面法向載荷相對增大。同理，隨著分形維數的減小，結合面法向載荷相對減小。

(3)當結合面實際接觸面積一定，分形粗糙度參數的增大時，相同接觸面積的圓錐微凸體的半頂角余切值增大，致使所受彈性力增大；微凸體臨界接觸面積增大，致使處于塑性狀態微凸體(具有較小接觸面積)的數量占比增加，同時處于彈性狀態微凸體(具有較大接觸面積)的數量占比減??；此外，結合面相同實際接觸面積區域內發生接觸變形的微凸體個數不變。第一因素(致使結合面法向載荷相對增大)起主要作用，第二因素(致使結合面法向載荷相對減小)起次要作用，最終致使結合面法向載荷相對增大。同理，當分形粗糙度參數的減小時，結合面法向載荷相對減小。

(4)當結合面實際接觸面積一定，分形維數的增大時，臨界接觸面積增大，致使處于彈性狀態微凸體的數量占比減少；結合面相同實際接觸面積區域內發生接觸變形的微凸體個數略微增多。前者因素(致使結合面法向接觸剛度相對減小)起次要作用，后一因素(致使結合面法向接觸剛度相對增加)起主要作用，最終致使結合面法向接觸剛度相對增大。同理，隨著分形維數的減小，結合面法向剛度相對減小。

(5)當結合面實際接觸面積一定，分形粗糙度參數的增大時，臨界接觸面積增大，處于彈性狀態微凸體的數量占比減??；結合面相同實際接觸面積區域內發生接觸變形的微凸體個數不變。前者因素致使結合面法向法向接觸剛度相對減小。同理，隨著分形維數的減小，結合面法向剛度相對增大。

3.3 試驗驗證

參考文獻[12]和文獻[19]中粗糙表面接觸力學試驗的基礎特性參數均是通過施加一定的外載荷、動態激勵等外部作用，經過傳感器轉化成數字信號，最后通過模擬測試確定結合面的動力學特性，同時固定結合面間的最大靜壓強小于3 MPa且盡量保證壓力在兩試件接觸的結合面上均勻分布，以便保障試驗數據的有效性。粗糙表面分形參數均是采用結構函數法計算獲得的。參文獻[12]中的試驗樣本材料均為鑄鐵，試樣材料的硬度、彈性模量和泊松比分別為H=220 MPa,E1=E2=100 GPa,υ1=υ2=0.25；文獻[19]中的試驗樣本材料均為灰鑄鐵，試樣材料特性參數為H=231 MPa,E1=E2=130 GPa,υ1=υ2=0.25。試樣表面輪廓分形參數見表1，各個試樣采用不同加工方法組成不同結合面，文獻[12]中結合面的名義接觸面積均為Aa=10 000 mm2，文獻[19]中結合面的名義接觸面積均為Aa=11 200 mm2，結合面間無潤滑，其等效接觸表面分形參數見表2。文獻[12]試驗簡圖如圖14，詳細試驗方法為：通過四個螺栓對結合面施加靜態預緊力(可以使用扭矩扳手將負載調整到指定值)，并通過沖擊錘在上部件的表面上激發激振力。三軸加速度傳感器固定在下部件上，用橡膠繩將試樣懸掛，以防止底座的激振響應影響測試。應用了多點激勵方法，并從固定的三軸加速度傳感器收集了響應信號，通過模擬測試確定加工的結合面的動力學特性，其中通過將模擬結果擬合到第一和第二共振頻率的試驗值中來識別結合面的接觸剛度。文獻[19]試驗簡圖如圖15，詳細試驗方法為：首先將滑塊安裝在導軌的測試臺上，并通過扭矩扳手將負載螺栓調整到一定的法向負載，將彈性橡膠墊圈安裝在螺栓下方，以避免螺栓剛度對結合面剛度的影響。安裝加速度傳感器后，通過沖擊錘將激振力施加到組裝好的滑塊上，同時數據采集系統將收集到的響應信號發送到CutPro軟件，然后可以從軟件的頻率響應分析中獲取FRF數據。最后可以通過一組彈簧阻尼器來模擬結合面的動態特性來確定結合面的剛度參數。根據表2順序分別將三組試驗數據記為試驗數據1、試驗數據2、試驗數據3。本文模型是以圓錐等效粗糙表面上的微凸體，文獻[12]中的模型是以球等效粗糙表面上的微凸體，記為JZZ模型。將上述參數代入本文模型和JZZ理論模型與試驗數據1、2、3對比，對比結果如圖15～18所示。

圖14 文獻[12]試驗示意圖

圖15 文獻[19]試驗示意圖

表1 不同試樣的分形參數值

表2 接觸表面的等效分形參數值

圖16 不同模型與試驗數據1比較

圖17 不同模型與試驗數據2比較

由圖15～18可見，本文模型與試驗數據基本吻合，證明了本文模型的正確性，相比與JZZ模型，本文模型的精確性得到了一定的提高。粗糙表面接觸剛度與表面粗糙度有關，然而表面粗糙度是由加工方法產生的，因此加工方法對粗糙表面接觸特性有著直接的影響。特征分形參數D和G是表面多尺度相似測量與絕對測量的統一，因而它既具有分形測量多尺度性的特點，也保留了常規粗糙度參數直觀和簡明的優點。本文理論模型計算值偏離試驗值的主要原因在于:本文模型忽略微凸體之間的相互作用以及形變時材料強化作用；微凸體的變形方式可以分為塑性、彈塑性和彈性這三個狀態，在本文中為簡化問題只考慮塑性與彈性這兩個狀態。

圖18 不同模型與試驗數據3比較

4 結 論

(1)將粗糙表面上的微凸體等效為圓錐體，結合分形理論和改進的W-M函數，建立了結合面法向接觸剛度分形模型。

(2)結合面無量綱法向接觸載荷隨著無量綱接觸面積、無量綱分形粗糙度參數和材料塑性指數的增大而增大；隨著粗糙面分形維數的增大先減小后增大，且在分形維數等于1.5附近時達到最小值。

(3)結合面無量綱法向接觸剛度隨著無量綱法向接觸載荷和材料塑性指數的增大而增大；隨著粗糙面分形維數的增大先增大后減小，且在分形維數等于1.6附近時達到最大值;隨著無量綱分形粗糙度參數的增大而減小。

(4)本文模型理論預測值與試驗數據趨勢相同，驗證了本文理論模型的準確性，可用于相關的理論分析與預測。