基于深度學(xué)習(xí)的單自由度機械臂定位可靠性估計

鮑 丹，侯保林

(南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 210094)

隨著機器人技術(shù)的發(fā)展，機械臂被廣泛應(yīng)用于工業(yè)制造、航天航空、醫(yī)學(xué)治療和軍事等各個領(lǐng)域，比如物流系統(tǒng)中用于搬運、包裝的機械手；航空航天的空間自由漂浮機械臂；火炮自動裝填系統(tǒng)中的彈藥傳輸機械臂。機械臂定位可靠性是動作可靠性的一種，它表示機構(gòu)在規(guī)定的實用條件下，在規(guī)定的使用期內(nèi)，為實現(xiàn)其規(guī)定功能，而使其性能保持在允許值范圍內(nèi)，能精確、及時、協(xié)調(diào)地達到目標位置的能力。但是，由于受工作環(huán)境的影響，在運動過程中的機械臂系統(tǒng)受到不確定性參數(shù)和外部擾動等因素的影響，使其定位可靠性的估計很困難。因此，研究機械臂在參數(shù)不確定以及存在外部隨機擾動的情況下的定位可靠性具有重要意義。

國內(nèi)外目前也有大量對系統(tǒng)中存在不確定性參數(shù)的可靠性問題研究。例如，Rao等[1]使用概率方法對機械手運動學(xué)和動力學(xué)進行建模，在此基礎(chǔ)上提出計算可靠性的方法；Kang等[2]基于概率多橢球凸集混合模型，提出了在參數(shù)不確定或載荷不確定情況下結(jié)構(gòu)安全可靠度指標的數(shù)學(xué)定義；姜潮等[3]針對系統(tǒng)中既有概率變量又有區(qū)間變量的混合不確定問題提出了一種概率-區(qū)間混合結(jié)構(gòu)可靠性的高效計算方法；孟廣偉等[4]提出了借助降維方法將功能函數(shù)利用泰勒展開，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的前4階中心距，利用四階矩法分別獲得失效概率上界和下界；邱濤等[5]針對機械結(jié)構(gòu)中既有隨機變量又有區(qū)間變量的混合可靠性問題，提出一種基于二參數(shù)的混合可靠性分析算法。上述文獻的方法是基于功能函數(shù)可用顯式數(shù)學(xué)方程表達，當(dāng)系統(tǒng)受到隨機擾動的影響，復(fù)雜性增加，顯式方程難以獲得時，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是可取的選擇。例如文獻[6]建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替位置分量的動力學(xué)模型，結(jié)果表明該方法能較好地滿足計算精度的要求；朱堅民等[7]針對機床滑動結(jié)合面動態(tài)特性參數(shù)不確定的問題，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對參數(shù)進行優(yōu)化辨識；高學(xué)星等[8]構(gòu)建了基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代理模型以提高計算效率，實現(xiàn)彈藥協(xié)調(diào)器動作可靠性估計。

具有單隱層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)足以表示任何一個函數(shù)，但是當(dāng)函數(shù)的非線性特別強時，則需要非常多的隱層單元，不僅大大降低計算效率，更有可能無法正確地學(xué)習(xí)和泛化。針對非線性復(fù)雜系統(tǒng)，使用更深的網(wǎng)絡(luò)模型能夠減少隱層單元數(shù)量，并且可以減少泛化誤差[9]。因此，文章提出了一種基于深度學(xué)習(xí)多隱層結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合LM(levenberg-marquardt)算法，用于估計機械臂的定位可靠性。在ADAMS中建立機械臂系統(tǒng)的不確定模型，區(qū)間不確定參數(shù)在一次動作過程中可視為定值，通過實驗數(shù)據(jù)結(jié)合參數(shù)辨識的方法辨識出幾組實驗的參數(shù)，同時驗證單自由度機械臂仿真模型的準確性；在模型中加載外部隨機擾動，對區(qū)間不確定性參數(shù)進行拉丁超立方采樣，將每一組參數(shù)帶入模型，獲得機械臂在運動中的定位誤差，從而得到樣本數(shù)據(jù)；然后構(gòu)造基于LM算法的深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型，基于此模型估計機械臂定位可靠性。最后通過多組實驗數(shù)據(jù)分析表明文章提出的定位可靠性估計方法具有高效性和有效性。

1 單自由度機械臂模型建立

1.1 單自由度機械臂不確定性參數(shù)分析

文章研究的單自由度機械臂是以某火炮的彈藥傳輸機械臂為原型。單自由度機械臂由電機、控制器、減速箱、機械臂、氣彈簧、臺架、負載以及振動臺組成，主要實現(xiàn)機械臂末端負載的準確定位。控制器與上位機進行數(shù)據(jù)交換，通過電流控制電機的轉(zhuǎn)矩，電機輸出轉(zhuǎn)矩經(jīng)過行星齒輪減速箱實現(xiàn)單自由度機械臂的繞軸運動，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。氣彈簧用于平衡機械臂的重力矩，減小電機的負載。

圖1 單自由度機械臂的結(jié)構(gòu)示意圖

單自由度機械臂系統(tǒng)中包含眾多參數(shù)，其中某些參數(shù)是可以通過計算或測量的方式獲得，如等效轉(zhuǎn)動慣量，機械臂物理尺寸；某些參數(shù)是不確定的，在估計單自由度機械臂的定位可靠性的時候，考慮工作時間段中外部環(huán)境的變化(例如溫度，氣壓等)和零件的磨損變形，這類參數(shù)在長時間工作中是變化的，只能確定其變化的范圍。對于文章研究的機械臂系統(tǒng)而言，這類區(qū)間不確定性參數(shù)包括：減速箱傳動效率η，氣彈簧的初始壓力p和氣體的多變指數(shù)n。

(1)減速箱傳動效率η；由于齒輪間的潤滑條件和長時間的使用等因素使減速箱的傳動效率受到影響，將這些因素對整個傳動系統(tǒng)性能的影響等效在減速箱傳動效率η上。

(2)氣彈簧的初始壓力p；氣彈簧的初始壓力隨著外部環(huán)境的變化而變化，在此氣彈簧的初始壓力被視為變化的區(qū)間不確定參數(shù)。

(3)氣體的多變指數(shù)n；氣彈簧的伸縮桿在運動過程中，氣體的多變指數(shù)受外部環(huán)境溫度影響，是變化的不確定性參數(shù)。

1.2 單自由度機械臂不確定性建模

在仿真軟件ADAMS中建立了單自由度機械臂的動力學(xué)模型和控制模型。模型的控制采用PID控制，PID控制器由比例單元(P)、積分單元(I)和微分單元(D)組成，結(jié)構(gòu)和算法簡單，應(yīng)用廣泛，工業(yè)過程控制中95%以上的控制回路都具有PID結(jié)構(gòu)。在建模過程中，對三個不確定性參數(shù)進行參數(shù)化區(qū)間建模。并采用MATLAB程序控制參數(shù)化仿真，即在改變不確定性參數(shù)的取值，自動進行仿真，得到相應(yīng)參數(shù)下的機械臂角位移變化曲線，以便后面參數(shù)辨識過程中的大量仿真的自動進行。

根據(jù)實際經(jīng)驗、器材說明書以及相關(guān)文獻[10]，確定三個區(qū)間不確定參數(shù)的變化區(qū)間分別為：減速箱傳動效率η為[0.58,0.63]；氣彈簧的初始壓力p為[0.46,0.52]，單位MPa；氣體的多變指數(shù)n為[1.08,1.26]。

1.3 參數(shù)辨識與模型驗證

系統(tǒng)的三個區(qū)間不確定性參數(shù)在長時間內(nèi)是變化的，但在機械臂一次動作定位過程中，由于時間極短可近似看作是定值。利用實驗數(shù)據(jù)對系統(tǒng)參數(shù)進行辨識，同時驗證ADAMS動力學(xué)模型的準確性。圖2為測試過程的圖片。在無負載情況下進行三次機械臂的重復(fù)性定位測試，以20°為目標定位位置，得到圖3 所示的三組機械臂角位移變化曲線。在加載負載的情況下進行三次機械臂的重復(fù)性定位測試，仍以20°為目標定位位置，得到圖4所示的三組機械臂角位移變化曲線。

圖2 測試照片

圖3 無負載時角位移變化測試結(jié)果

圖4 有負載時角位移變化測試結(jié)果

文章的辨識問題可看成一個優(yōu)化問題來解決，即在控制條件與測試過程中的控制參數(shù)一致的情況下，當(dāng)減速箱傳動效率、氣彈簧的初始壓力和氣體的多變指數(shù)在區(qū)間中變化時，在區(qū)間內(nèi)找到一組最優(yōu)的參數(shù)，使得仿真得到的機械臂角位移曲線與測試所得的角位移曲線相似度最高。以時間序列曲線相似度為優(yōu)化目標，文章采用動態(tài)時間規(guī)整(DTW)[11]計算仿真曲線與測試曲線的相似度來評價辨識結(jié)果。尋優(yōu)過程采用粒子群優(yōu)化算法，粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization, PSO)以其實現(xiàn)簡單、精度高、收斂快等優(yōu)點被廣泛運用，它是從隨機解出發(fā)，通過迭代尋找最優(yōu)解，并通過適應(yīng)度值來評價解的優(yōu)劣[12]。PSO參數(shù)包括種群規(guī)模m、最大迭代次數(shù)N、慣性權(quán)重、學(xué)習(xí)因子c1和c2，粒子位置和速度的范圍。優(yōu)化問題的自變量值即為粒子的位置，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個極值(個體極值和群體極值)，再根據(jù)以下公式來更新位置和速度直到滿足結(jié)束條件。其中x表示粒子的位置，v表示粒子的速度；d表示不確定參數(shù)的個數(shù)；pid表示個體極值，pgd表示群體極值；r1和r2為[0,1]范圍內(nèi)的均勻隨機數(shù)，k為迭代次數(shù)。

vid(k+1)=wvid(k)+c1r1(pid-xid(k))+

c2r2(pgd-xid(k))

(1)

xid(k+1)=xid(k)+vid(k+1)

(2)

粒子群算法的流程圖如圖5所示，具體步驟為：

圖5 PSO算法流程圖

(1)初始化粒子群的位置和速度，設(shè)置種群規(guī)模、最大迭代次數(shù)，慣性權(quán)重，學(xué)習(xí)因子等參數(shù)。

(2)計算每個粒子的適應(yīng)度值(此處的適應(yīng)度值為時間序列曲線相似度)。

(3)將每個粒子的適應(yīng)度值與個體極值進行比較，更新個體極值；將每個粒子的適應(yīng)度值與群體極值進行比較，更新群體極值。

(4)根據(jù)式(1)和式(2)更新粒子的位置和速度。

(5)如果滿足結(jié)束條件(達到精度或者達到最大迭代次數(shù))則退出，否則返回步驟(2)。

由于實際系統(tǒng)待辨識的參數(shù)是難以測量的，文章利用仿真模型實驗來確定此方法的辨識精度，再利用測試數(shù)據(jù)對單自由度機械臂的參數(shù)進行辨識，來驗證仿真模型的準確性。表1給出了辨識結(jié)果。其中，通過仿真模型，粒子群算法對三個待辨識參數(shù)辨識結(jié)果的平均相對誤差分別為0.54%、2.48%和0.61%，可見辨識精度較高，滿足實際需求。對于圖3中的無負載情況下的3組測試數(shù)據(jù)，通過辨識的方法分別得到3個待辨識參數(shù)的辨識值；對于圖4中的有負載情況下的3組測試數(shù)據(jù)，通過辨識方法分別得到3個待辨識參數(shù)的辨識值，且辨識值均與理論值相符。將有無負載情況下的第二組辨識結(jié)果帶入仿真模型，計算得出機械臂角位移辨識結(jié)果與測試數(shù)據(jù)進行對比，如圖6所示，從圖中可以看出，兩組對比的相似度均很高，表明辨識結(jié)果是合理的，并且仿真模型是準確的。

表1 辨識結(jié)果

(a)無負載情況

與測試過程一樣，在三個位置采用正弦波疊加原理加載隨機外部擾動，振動臺由三個振動柱構(gòu)成，每個振動柱加載隨機正弦波位移擾動。在仿真模型中，正弦波的頻率均為1 Hz，幅值在區(qū)間[0,30]中隨機取值，單位mm;相位在區(qū)間[0,180]中隨機取值,單位為度。當(dāng)幅值分別為7 mm、18 mm和30 mm,相位取值分別為45°、90°和180°時，三個振動柱加載的位移擾動如圖7所示。

圖7 隨機擾動信號

在三個不確定參數(shù)的區(qū)間內(nèi)進行拉丁超立方采樣10 000組，將每一組參數(shù)帶入仿真模型，機械臂在隨機外部擾動中實現(xiàn)定位，從而獲得機械臂定位誤差。不確定性參數(shù)作為訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入，機械臂定位誤差作為其訓(xùn)練的期望值。

2 深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立

2.1 深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

進行可靠性計算時，需要大量的數(shù)據(jù)，通過實驗獲得大量數(shù)據(jù)是耗時耗力不可取的。并且在文章所研究的機械臂系統(tǒng)中，存在著多個區(qū)間不確定參數(shù)，所以文章采用了基于深度學(xué)習(xí)的代理模型來分析機械臂系統(tǒng)的可靠性。深度學(xué)習(xí)是機器學(xué)習(xí)的一種方法，它大量借鑒了我們關(guān)于人腦、統(tǒng)計學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的相關(guān)知識[13]。深度前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也稱多層感知機，是典型的深度學(xué)習(xí)模型，主要包含輸入層，隱含層和輸出層，如圖8所示。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量的神經(jīng)元連接而成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其中“M-P模型”是一直沿用至今的神經(jīng)元模型。在這個模型中，每個神經(jīng)元接收到前一層所有神經(jīng)元傳遞過來的輸入信號，這些信號通過權(quán)重的連接進行傳遞，再經(jīng)過偏置，然后通過“激活函數(shù)”處理產(chǎn)生神經(jīng)元的輸出，并傳遞到下一層神經(jīng)元。

圖8 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)

圖9 M-P神經(jīng)元模型

(3)

(4)

(5)

根據(jù)文章有三個輸入，一個輸出，采用含三個隱含層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，則W(1)為4×3的矩陣，b(1)為4×1的矩陣，W(2)為3×4的矩陣，b(2)為3×1的矩陣，W(3)為3×3的矩陣，b(3)為3×1的矩陣，W(4)為1×3的矩陣，b(4)為1×1的矩陣。

2.2 基于Levenberg-Marquardt算法的模型

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程就是根據(jù)輸出與期望輸出之間的誤差來調(diào)整神經(jīng)元之間的權(quán)值以及閾值，使得預(yù)測輸出與期望輸出最接近。文章采用LM算法[15-16]來更新權(quán)值和閾值。LM算法是介于梯度下降法和高斯牛頓法的一種非線性算法，在遠離最優(yōu)解的時候，它具有梯度下降法的全局搜索特性，在接近最優(yōu)解的時候，LM算法具有高斯牛頓法的局部快速收斂性。LM算法的權(quán)值和閾值更新準則為：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，下標k和k+1分別表示當(dāng)前迭代和下一迭代，Jk是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出誤差相對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的雅可比矩陣，Ek是由目標系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出誤差組成的誤差向量。第l層權(quán)值和閾值的雅可比矩陣可由公式(8)和(9)得到。μ是LM算法中的超參數(shù)，當(dāng)μ值很小的時候，LM算法近似于高斯-牛頓法，當(dāng)μ值很大的時候，LM算法近似于梯度下降法。這里μ采用自適應(yīng)算法。

設(shè)置神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)參數(shù)：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有三個隱含層，第一層含有4個神經(jīng)元、第二層和第三層分別含有3個神經(jīng)元；采用正態(tài)概率分布法采樣初始化權(quán)重和閾值，平均值為0，標準方差為前一層的節(jié)點數(shù)的開方；最大迭代次數(shù)為1 000次。

采用LM算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，得到模型預(yù)測結(jié)果，并與單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果進行對比，圖10為單隱層結(jié)構(gòu)且含有10個神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測誤差，單隱層結(jié)構(gòu)且含30個神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測誤差以及文章提出的多隱層結(jié)構(gòu)且含10個神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測誤差對比圖，它們的平均預(yù)測誤差分別為0.107 5、0.092 0和0.051 7。當(dāng)神經(jīng)元數(shù)目相同時，多隱層結(jié)構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度比單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度高兩倍。此外，由圖11可得，基于LM算法的深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型收斂速度更快。因此，文章的機械臂定位可靠性分析是基于LM算法的深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

圖10 不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測誤差對比圖

圖11 不同算法下模型的收斂速度

3 定位可靠性分析方法與結(jié)果

3.1 定位可靠性的分析方法

定位可靠性是動作可靠性的一種，它表示機構(gòu)在規(guī)定的實用條件下，在規(guī)定的使用期內(nèi)，為實現(xiàn)其規(guī)定功能，而使其性能保持在允許值范圍內(nèi)，能精確、及時、協(xié)調(diào)地達到目標位置的能力。定位可靠性取決于系統(tǒng)的物理參數(shù)、幾何參數(shù)、邊界條件和外部載荷等，設(shè)這些因素為系統(tǒng)的隨機變量X=(x1,x2,…,xn)，每一組隨機變量經(jīng)過系統(tǒng)得到對應(yīng)的定位誤差，即定位誤差Y是隨機變量的函數(shù)。

Y=g(X)=g(x1,x2,…,xn)

(10)

在正常運動的系統(tǒng)中，如果任一定位誤差超過某一臨界狀態(tài)將不能滿足設(shè)計指標，這一臨界位置稱為系統(tǒng)的極限狀態(tài)。對于機械臂定位可靠性問題，極限狀態(tài)函數(shù)可表示為

f(X)=Y0-Y

(11)

式中：Y為隨機變量X下的定位誤差，Y0為要求的誤差范圍。動作是否可靠可以通過f(X)來判斷。如果能將f(X)表示為X的明確數(shù)學(xué)表達式，則稱之為顯式極限狀態(tài)函數(shù)，否則稱為隱式極限狀態(tài)函數(shù)。在實際工程中，難以獲得不確定參數(shù)的概率密度分布；另外，由于存在外部隨機擾動，使得機械臂的定位誤差極限狀態(tài)函數(shù)f(X)很難用明確的數(shù)學(xué)表達式來表示；并且，可靠性分析需要進行成千上萬次不停隨機變量下的模擬計算，從時間上來說也是不現(xiàn)實的。文章采用上述基于深度學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型進行定位可靠性估計。

定位可靠性計算流程如圖12所示。前處理模塊主要完成機構(gòu)動力學(xué)模型不確定性參數(shù)辨識和模型驗證，對區(qū)間不確定參數(shù)采樣，并產(chǎn)生隨機擾動，帶入動力學(xué)模型來獲取用于訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)模型的樣本點。機械臂的定位誤差作為訓(xùn)練樣本的輸出。由于涉及大量的重復(fù)仿真操作，整個流程采用腳本程序自動完成，主要包括的步驟有調(diào)用MATLAB自動修改ADAMS參數(shù)文件，打開動力學(xué)軟件完成參數(shù)賦值并進行仿真，保存仿真結(jié)果。中間處理模塊主要以區(qū)間不確定參數(shù)為輸入，定位誤差作為輸出建立深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。后處理模塊完成對基于深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的大量仿真結(jié)果進行統(tǒng)計，利用蒙特卡洛算法最終計算出定位可靠性。

圖12 基于深度學(xué)習(xí)模型和蒙特卡洛的定位可靠性計算流程

3.2 定位可靠性的估計結(jié)果

根據(jù)3.1的定位可靠性計算流程，進行可靠度的估計。在一次動作過程中，機械臂從初始位置0°運動到定位位置，設(shè)置20°為目標角位移，定位誤差為機械臂協(xié)調(diào)的定位角度與目標位置的角度之差。通過深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，模擬106組數(shù)據(jù)。采用蒙特卡洛算法得到定位誤差絕對值的概率密度分布以及定位誤差絕對值的累積概率分布，如圖13和圖14所示。該機械臂的定位誤差精度指標為0.5°，仿真可得機械臂的定位誤差絕對值不超過0.5°的概率是84.12%，即機械臂的定位可靠性為84.12%。最后在不同的環(huán)境溫度中進行了100組實驗，得到100組機械臂的定位誤差，如圖15所示。對100組定位誤差進行分析，可得機械臂的定位誤差概率為82.05%。仿真結(jié)果與實驗結(jié)果很接近，且仿真所得誤差絕對值的累計概率分布與實驗測試所得的誤差絕對值累計概率密度曲線重合度很高，如圖14所示。

圖13 定位誤差絕對值概率密度分布

圖14 定位誤差絕對值累計概率分布

圖15 100組實驗的定位誤差

4 結(jié) 論

文章建立了單自由度機械臂的動力學(xué)模型和控制模型，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)辨識系統(tǒng)中的參數(shù)并驗證了仿真模型的準確性；針對系統(tǒng)中存在區(qū)間不確定參數(shù)以及隨機擾動的因素，使得系統(tǒng)復(fù)雜性和非線性急劇上升，提出了一種基于深度學(xué)習(xí)結(jié)合Levenberg-Marquardt算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來估計定位可靠性；對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行Monte-Carlo仿真分析后，求解了定位誤差的概率分布，機械臂的定位可靠性估計值為84.12%。最后通過100組實驗的數(shù)據(jù)分析，表明文章提出的方法具有可行性，這為復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性估計提供了借鑒。