基于動(dòng)力直接剛度法分析軸向變剛度鋼-混組合梁自振特性

孫琪凱，張 楠，劉 瀟，陶曉燕，王章明，龔怡明

(1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081；3.高速鐵路軌道技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

組合梁因其具有自重輕、承載力高、剛度大等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于工程中。特別是鋼-混凝土組合梁，能夠充分發(fā)揮鋼材抗拉和混凝土抗壓的材料特點(diǎn)。鋼-混組合梁的兩種材料通常采用柔性剪力鍵連接，用于傳遞兩者之間的剪力。由于剪力鍵是柔性的，混凝土板和鋼梁之間會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑移，這被稱為相互作用，使組合梁動(dòng)力分析時(shí)必須考慮滑移帶來的影響[1-4]。

鋼-混組合梁的研究已比較常見。Newmark等[4]是較早提出考慮鋼-混組合梁界面剪切滑移的學(xué)者。動(dòng)力研究方面，Girhammar等[5]采用直接平衡法推導(dǎo)了考慮界面上剪切滑移的鋼-混組合梁的運(yùn)動(dòng)平衡微分方程，得到了自振頻率解析解。后又進(jìn)一步推導(dǎo)了一般彈性支撐時(shí)，鋼-混組合梁動(dòng)力特性解析解[6]。侯忠明等[7-8]進(jìn)一步驗(yàn)證了鋼-混組合梁的振型正交性，并分析了其頻率折減系數(shù)和剛度折減系數(shù)。Huang等[9]進(jìn)一步討論了邊界條件為簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支的情況下，鋼-混組合梁自振特性隨剪力連接鍵剛度的變化規(guī)律。張?jiān)讫埖萚10]從能量法的角度推導(dǎo)了鋼-混組合梁的自振特性，分析了其自振頻率和振型與建立連接鍵之間的關(guān)系。從已有的研究來看，分析鋼-混組合梁動(dòng)力特性時(shí)，必須考慮鋼混結(jié)合面上剪切滑移的影響。

本文提出采用動(dòng)力直接剛度法分析鋼-混組合梁的自振特性。基于剪切滑移理論和Euler-Bernoulli梁理論，推導(dǎo)得到了6個(gè)自由度的動(dòng)力剛度矩陣。給出了一般彈性支撐時(shí)，自振特性求解過程。本文中計(jì)算模型的特點(diǎn)是：① 該模型采用了有限元計(jì)算原理，便于采用有限元計(jì)算軟件編程計(jì)算，提高計(jì)算效率；② 由于該模型推導(dǎo)過程中沒有引入近似位移場或力場，因此計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的；③ 該模型可用于分析一般彈性支撐的沿軸向變剛度的鋼-混組合梁。最后，通過對(duì)比室內(nèi)試驗(yàn)梁的理論分析、ANSYS FEA和試驗(yàn)測試結(jié)果以及已發(fā)表文章中數(shù)值模型結(jié)果，驗(yàn)證了文中有限元計(jì)算模型的適用性。

1 單元彎曲運(yùn)動(dòng)分析

1.1 基本假設(shè)

典型的軸向變剛度的鋼-混凝土組合梁結(jié)構(gòu)見圖1。假設(shè)鋼-混組合梁分別在L1、L2、L3范圍內(nèi)截面剛度為常值，即子梁截面不變且剪力連接鍵均勻分布。Ei、ρi、Ai、Iyi、Oi(i=c,s)分別為混凝土梁和鋼梁的彈性模量、密度、橫截面積、繞y軸慣性矩、截面形心。左側(cè)彈性支撐剛度為K1，右側(cè)為K2。以下公式推導(dǎo)中均以下標(biāo)s為鋼梁的參數(shù)，下標(biāo)c為混凝土梁的參數(shù)。

圖1 一般彈性支撐的軸向變剛度的鋼-混組合梁構(gòu)造圖

以下分析中，基本假設(shè)如下：

(1)本文中只研究平面內(nèi)組合梁的彎曲振動(dòng)，忽略平面外彎曲和軸向振動(dòng)。

(2)假設(shè)混凝土梁與鋼梁之間始終保持豎向密貼，不會(huì)發(fā)生掀起脫離。

(3)兩個(gè)子梁均按照Euler-Bernoulli梁考慮，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

(4)子梁交界面上剪力全部由剪力鍵承擔(dān)，順橋向子梁間相對(duì)滑移量與剪力鍵承受的剪力成正比關(guān)系。

1.2 運(yùn)動(dòng)微分方程

圖2 鋼-混組合梁微元受力圖

分別列出兩個(gè)子梁水平方向上作用力平衡關(guān)系式，可導(dǎo)出鋼-混凝土結(jié)合面上剪力QL(x,t)與子梁軸力Ni(x,t)之間的關(guān)系。

(1)

由式(1)可得

QL(x,t)=Ksnδdx=Nc,x(x,t)dx=Ns,x(x,t)dx

(2)

由圖2分析可知鋼-混凝土子梁間縱向相對(duì)滑移量δ(x,t)由以下兩部分造成的：① 作用在兩個(gè)子梁中性軸上的軸力形成的力偶引起的組合梁微元重心軸法向連線的轉(zhuǎn)角θ(x,t)，這里可定義它為滑移轉(zhuǎn)角；② 混凝土板和鋼梁各自的彎曲轉(zhuǎn)角φ(x,t)=υ,x(x,t)。忽略鋼-混組合梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則有以下公式成立。

(EI)1θ,xx(x,t)=Ksnh2[θ(x,t)+υ,x(x,t)]

(3)

考慮作用在梁微元上力的平衡，可得到組合梁的運(yùn)動(dòng)方程。豎向作用力受力平衡導(dǎo)出第一個(gè)動(dòng)力平衡關(guān)系式：

Vc(x,t)+Vs(x,t)-[Vc(x,t)+Vc,x(x,t)dx+

(4)

對(duì)微元右側(cè)截面的中性軸力矩求和，可得到第二個(gè)平衡方程。

Mc(x,t)+Ms(x,t)+Nc(x,t)hc+Ns(x,t)hs+

Vc(x,t)dx+Vs(x,t)dx-{Mc(x,t)+

Mc,x(x,t)dx+Ms(x,t)+Ms,x(x,t)dx+

[Nc(x,t)+Nc,x(x,t)dx]hc+[Ns(x,t)+

(5)

式中:Mc(x,t)=EcIcυ,xx(x,t);Ms(x,t)=EsIsυ,xx(x,t)。

把式(2)代入式(5)，用所得方程除以dx，并忽略含有慣性力和作用荷載的二階矩項(xiàng)后，可得第二個(gè)平衡關(guān)系式為

(EI)2υ,xxx(x,t)-Ksnh2[θ(x,t)+

υ,x(x,t)]-[Vc(x,t)+Vs(x,t)]=0

(6)

式中:(EI)2=EcIc+EsIs為子梁抗彎剛度代數(shù)和。

把式(4)代入式(6)可得組合梁的豎向υ(x,t)的運(yùn)動(dòng)方程。

(EI)2υ,xxxx(x,t)-

(7)

聯(lián)立式(3)和式(7)可得鋼-混組合梁的豎向υ(x,t)的運(yùn)動(dòng)方程最終形式。

[υ,xxxx(x,t)+γυ,tt(x,t)]-

(8)

2 6 DOF單元?jiǎng)恿偠染仃?/h2>

若假定鋼-混組合梁的自振頻率為ω，初始相位角為φ，則可以假設(shè)

(9)

式中:φ(x)為鋼-混組合梁豎向υ(x,t)的振型函數(shù)，?(x)為鋼-混組合梁滑移轉(zhuǎn)角θ(x,t)的振型函數(shù)，其均不隨時(shí)間變化；sin(ωt+φ)為隨時(shí)間變化的振型幅值。

把式(9)代入式(8)，且考慮到sin(ωt+φ)?0，可得

[φ,xxxx(x)-γω2φ(x)]-

(10)

式(10)的特征方程為

(11)

φ(x)=A1sin(λ1x)+A2cos(λ1x)+A3sinh(λ2x)+

A4cosh(λ2x)+A5sinh(λ3x)+A6cosh(λ3x)

(12)

式中，Ai(i=1～6)為實(shí)常數(shù)，決定梁單元振動(dòng)的形狀。

把式(9)代入式(3)，且考慮到sin(ωt+φ)?0，可得

(13)

把式(9)代入式(7)，且考慮到sin(ωt+φ)?0，可得

φ,xxxx(x)+γ(1+β)ω2φ(x)-

(14)

由式(13)和式(14)可求得滑移轉(zhuǎn)角的振型函數(shù)?(x)與豎向振型函數(shù)φ(x)的關(guān)系。

(15)

(16)

鋼-混組合梁單元有6個(gè)位移邊界條件：(x=0,Le)兩端點(diǎn)豎向位移、彎曲角位移和滑移角位移。定義如下

(17)

式中，ui(i=1～6)分別為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)處的豎向位移、彎曲角位移和滑移角位移的幅值。

鋼-混組合梁單元有6個(gè)力邊界條件：(x=0,Le)兩端點(diǎn)的剪力、子梁彎矩代數(shù)和、滑移產(chǎn)生的彎矩。定義如下

(18)

把式(12)、(15)和(16)代入位移邊界條件ui(i=1～6)中得

ue=Nea

(19)

(20)

把式(12)、(15)和(16)代入力邊界條件Pi(i=1～6)中得

Pe=Mea

(21)

Me=(EI)2·

(22)

由式(19)和(21)可得

(23)

求解鋼-混組合梁自振頻率時(shí)，按照與靜力直接剛度法相同的過程，組裝結(jié)構(gòu)體系的總體動(dòng)力矩陣，建立整個(gè)體系的剛度方程，即

Pg=Kgug

(24)

式中:Pg、Kg和ug分別為整體力行列式、整體動(dòng)力剛度矩陣、整體位移行列式。

3 邊界條件

工程應(yīng)用中，一般梁的支撐方式可為簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支等四種。對(duì)于簡支的情況，更一般的為彈性支撐(如圖1)。

(1)一般彈性支撐條件，左側(cè)支撐剛度為K1，右側(cè)為K2。則支撐位置x=0,L處，具有如下力和位移邊界條件

(25)

式中，若為一般簡支，則φ(0)=φ(L)=0。

(2)固支-自由邊界條件，支撐位置x=0,L處，具有如下力和位移邊界條件

(26)

(3)固支-一般彈性邊界條件，左側(cè)為固支，右側(cè)支撐剛度為K2，支撐位置x=0,L處，具有如下力和位移邊界條件

(27)

式中，右側(cè)若為一般簡支，則φ(L)=0。

(4)固支-固支邊界條件，支撐位置x=0,L處，具有如下力和位移邊界條件

(28)

根據(jù)實(shí)際支撐情況，把上述邊界條件代入總體動(dòng)力方程式(24)，去除總體動(dòng)力矩陣Kg中位移為0的行和列，生成新的總體剛度矩陣KN。又位移項(xiàng)不全為0，所以|KN|=0，行列式中未知量λ1，λ2，λ3均是關(guān)于自振頻率ω的函數(shù)。求解該行列式，即可得到一般彈性支撐時(shí)的軸向變剛度的鋼-混組合梁的固有頻率。由于該頻率方程為超越方程，故可采用Newton-Raphson法求解，可得到無窮多個(gè)固有頻率。

4 算例分析

4.1 算例1-室內(nèi)試驗(yàn)

本節(jié)的目的是通過對(duì)比2個(gè)室內(nèi)簡支鋼-混組合梁的自振頻率的理論計(jì)算(文中方法)、ANSYS FEA 和試驗(yàn)測試結(jié)果，驗(yàn)證本文中的有限元計(jì)算模型可應(yīng)用于分析軸向變剛度的鋼-混組合梁的自振特性，且具有較高精度。

室內(nèi)試驗(yàn)?zāi)Ｐ土汗灿?jì)2個(gè)——模型梁1和模型梁2，其均為工字形斷面，結(jié)構(gòu)尺寸相同，剪力鍵直徑均為φ22 mm，僅剪力鍵布置不同。梁長8 500 mm，跨徑8 000 mm；混凝土板采用C30混凝土，厚300 mm，寬1 700 mm；工字鋼梁的鋼材采用Q345qE，鋼板N1、N2、N3、N4的鋼板厚度均為28 mm。模型1剪力鍵312個(gè)；模型2剪力鍵168個(gè)。模型構(gòu)造及剪力鍵布置見圖3。

圖3 模型梁構(gòu)造圖(mm)

理論計(jì)算時(shí)，把模型梁1劃分為10個(gè)區(qū)段即(0.25+8×1+0.25)m，各區(qū)段內(nèi)滑移剛度為(3×3 585+4×2 420+3×3 585)MPa；模型梁2劃分為12個(gè)區(qū)段即(0.25+1+8×0.75+1+0.25)m，各區(qū)段內(nèi)滑移剛度為(3×2 204+2×1 291+2×461+2×1 291+3×2 204)MPa。ANSYS FEA和文中理論計(jì)算時(shí)，模型梁1、2的邊界條件為

(29)

模型梁1和模型梁2頻率測試過程見圖4，測試結(jié)果見圖5。

圖4 測試過程

(a)模型梁1(20.00 Hz)

應(yīng)用ANSYS軟件建立鋼-混組合梁的三維數(shù)值模型。模型中混凝土板采用SOLID65單元，工字鋼梁的各鋼板采用SHELL63單元，剪力鍵采用COMBIN39三維彈簧單元，豎向耦合但縱橫向不耦合，為彈性約束。計(jì)算結(jié)果見圖6。

(a)模型梁1(21.71 Hz)

根據(jù)本文的式(24)采用Matlab編制有限元計(jì)算程序，計(jì)算這2榀簡支鋼-混組合梁的一階豎向自振頻率。計(jì)算結(jié)果與ANSYS數(shù)值模擬計(jì)算、實(shí)測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果見表1。括號(hào)內(nèi)數(shù)值為計(jì)算值與ANSYS值的誤差，(f理論-fANSYS)/fANSYS×100%。

由表1可得：

表1 豎向一階自振頻率對(duì)比表

(1)本文模型計(jì)算結(jié)果、ANSYS FEA結(jié)果和實(shí)測結(jié)果三者基本吻合，文中計(jì)算模型誤差最大為1.6%。說明本文提出的有限元計(jì)算模型可用于分析軸向變剛度鋼-混組合梁自振特性且具有較高的精度。

(2)本文模型計(jì)算結(jié)果、ANSYS FEA結(jié)果和實(shí)測結(jié)果三者之間存在一定的誤差。產(chǎn)生這種誤差的原因主要有兩個(gè)方面：① 本文模型、ANSYS FEA均沒有考慮混凝土板和鋼梁之間的粘結(jié)力作用；② 計(jì)算時(shí)，剪力鍵的等效剛度與實(shí)際剪切剛度之間存在誤差。

4.2 算例2-已有文獻(xiàn)分析結(jié)果對(duì)比

Huang等[9]基于Euler-Bernoulli梁理論，給出了簡支-簡支(S-S)、固支-簡支(C-S)、固支-自由(C-F)和固支-固支(C-C)等四種邊界條件(圖7)下鋼-混組合梁的解析解，并做了算例驗(yàn)證。本節(jié)的目的是通過與Huang等的自振頻率計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證文中有限元計(jì)算模型可適用于常見的四種邊界條件。

(a)簡支-簡支

分析模型的梁長為4 m，各層截面和材料特性見圖8。層間建立連接鍵的剛度為K=50 MPa。四種邊界條件下，本文計(jì)算模型、Huang等計(jì)算模型和ANSYS FEA計(jì)算模型的一階自振頻率計(jì)算結(jié)果見表2。括號(hào)內(nèi)數(shù)值為計(jì)算值與實(shí)測值的誤差，(f數(shù)值-fANSYS)/f數(shù)值×100%。

圖8 算例2組合梁的尺寸和材料特性

表2 不同計(jì)算方法的豎向一階自振頻率對(duì)比表

由表2可得：

(1)本文模型計(jì)算結(jié)果與同樣基于Euler-Bernoulli梁理論的Huang等計(jì)算結(jié)果基本一致。說明本文提出的有限元計(jì)算模型可適用于分析具有常見的四種邊界條件的鋼-混組合梁的自振特性。

(2)本文模型計(jì)算結(jié)果與ANSYS FEA計(jì)算結(jié)果相比，計(jì)算誤差最大為-1.65%。說明文中計(jì)算模型具有較高的計(jì)算精度。

5 結(jié) 論

通過以上分析，結(jié)論如下：

(1)考慮子梁間剪切滑移，基于Euler-Bernoulli梁理論推導(dǎo)了鋼-混組合梁的6自由度動(dòng)力剛度矩陣，用于分析其自振特性。

(2)通過室內(nèi)試驗(yàn)、ANSYS FEA與文中提出的計(jì)算模型對(duì)比，發(fā)現(xiàn)文中有限元模型的計(jì)算誤差約為1.6%。說明了該模型可用于分析軸向變剛度鋼-混組合梁自振特性且具有較高的精度。

(3)通過與已發(fā)表文章的計(jì)算模型對(duì)比，得出與ANSYS FEA相比，文中有限元模型的計(jì)算誤差約為-2.0%。說明了該模型可適用于分析具有常見的四種邊界條件的鋼-混組合梁的自振特性且具有較高的精度。

(4)文中算例1中的2榀簡支鋼-混組合梁文中有限元模型計(jì)算、ANSYS FEA和實(shí)測結(jié)果均表明鋼-混組合梁自振頻率隨剪力連接鍵的抗剪剛度降低而降低，說明組合梁的界面相對(duì)滑移不可忽視。