基于動力直接剛度法分析軸向變剛度鋼-混組合梁自振特性

孫琪凱，張 楠，劉 瀟，陶曉燕，王章明，龔怡明

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081；3.高速鐵路軌道技術國家重點實驗室，北京 100081)

組合梁因其具有自重輕、承載力高、剛度大等優點而被廣泛應用于工程中。特別是鋼-混凝土組合梁，能夠充分發揮鋼材抗拉和混凝土抗壓的材料特點。鋼-混組合梁的兩種材料通常采用柔性剪力鍵連接，用于傳遞兩者之間的剪力。由于剪力鍵是柔性的，混凝土板和鋼梁之間會產生相對滑移，這被稱為相互作用，使組合梁動力分析時必須考慮滑移帶來的影響[1-4]。

鋼-混組合梁的研究已比較常見。Newmark等[4]是較早提出考慮鋼-混組合梁界面剪切滑移的學者。動力研究方面，Girhammar等[5]采用直接平衡法推導了考慮界面上剪切滑移的鋼-混組合梁的運動平衡微分方程，得到了自振頻率解析解。后又進一步推導了一般彈性支撐時，鋼-混組合梁動力特性解析解[6]。侯忠明等[7-8]進一步驗證了鋼-混組合梁的振型正交性，并分析了其頻率折減系數和剛度折減系數。Huang等[9]進一步討論了邊界條件為簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支的情況下，鋼-混組合梁自振特性隨剪力連接鍵剛度的變化規律。張云龍等[10]從能量法的角度推導了鋼-混組合梁的自振特性，分析了其自振頻率和振型與建立連接鍵之間的關系。從已有的研究來看，分析鋼-混組合梁動力特性時，必須考慮鋼混結合面上剪切滑移的影響。

本文提出采用動力直接剛度法分析鋼-混組合梁的自振特性。基于剪切滑移理論和Euler-Bernoulli梁理論，推導得到了6個自由度的動力剛度矩陣。給出了一般彈性支撐時，自振特性求解過程。本文中計算模型的特點是：① 該模型采用了有限元計算原理，便于采用有限元計算軟件編程計算，提高計算效率；② 由于該模型推導過程中沒有引入近似位移場或力場，因此計算結果是準確的；③ 該模型可用于分析一般彈性支撐的沿軸向變剛度的鋼-混組合梁。最后，通過對比室內試驗梁的理論分析、ANSYS FEA和試驗測試結果以及已發表文章中數值模型結果，驗證了文中有限元計算模型的適用性。

1 單元彎曲運動分析

1.1 基本假設

典型的軸向變剛度的鋼-混凝土組合梁結構見圖1。假設鋼-混組合梁分別在L1、L2、L3范圍內截面剛度為常值，即子梁截面不變且剪力連接鍵均勻分布。Ei、ρi、Ai、Iyi、Oi(i=c,s)分別為混凝土梁和鋼梁的彈性模量、密度、橫截面積、繞y軸慣性矩、截面形心。左側彈性支撐剛度為K1，右側為K2。以下公式推導中均以下標s為鋼梁的參數，下標c為混凝土梁的參數。

圖1 一般彈性支撐的軸向變剛度的鋼-混組合梁構造圖

以下分析中，基本假設如下：

(1)本文中只研究平面內組合梁的彎曲振動，忽略平面外彎曲和軸向振動。

(2)假設混凝土梁與鋼梁之間始終保持豎向密貼，不會發生掀起脫離。

(3)兩個子梁均按照Euler-Bernoulli梁考慮，忽略剪切變形和轉動慣量。

(4)子梁交界面上剪力全部由剪力鍵承擔，順橋向子梁間相對滑移量與剪力鍵承受的剪力成正比關系。

1.2 運動微分方程

圖2 鋼-混組合梁微元受力圖

分別列出兩個子梁水平方向上作用力平衡關系式，可導出鋼-混凝土結合面上剪力QL(x,t)與子梁軸力Ni(x,t)之間的關系。

(1)

由式(1)可得

QL(x,t)=Ksnδdx=Nc,x(x,t)dx=Ns,x(x,t)dx

(2)

由圖2分析可知鋼-混凝土子梁間縱向相對滑移量δ(x,t)由以下兩部分造成的：① 作用在兩個子梁中性軸上的軸力形成的力偶引起的組合梁微元重心軸法向連線的轉角θ(x,t)，這里可定義它為滑移轉角；② 混凝土板和鋼梁各自的彎曲轉角φ(x,t)=υ,x(x,t)。忽略鋼-混組合梁的轉動慣量則有以下公式成立。

(EI)1θ,xx(x,t)=Ksnh2[θ(x,t)+υ,x(x,t)]

(3)

考慮作用在梁微元上力的平衡，可得到組合梁的運動方程。豎向作用力受力平衡導出第一個動力平衡關系式：

Vc(x,t)+Vs(x,t)-[Vc(x,t)+Vc,x(x,t)dx+

(4)

對微元右側截面的中性軸力矩求和，可得到第二個平衡方程。

Mc(x,t)+Ms(x,t)+Nc(x,t)hc+Ns(x,t)hs+

Vc(x,t)dx+Vs(x,t)dx-{Mc(x,t)+

Mc,x(x,t)dx+Ms(x,t)+Ms,x(x,t)dx+

[Nc(x,t)+Nc,x(x,t)dx]hc+[Ns(x,t)+

(5)

式中:Mc(x,t)=EcIcυ,xx(x,t);Ms(x,t)=EsIsυ,xx(x,t)。

把式(2)代入式(5)，用所得方程除以dx，并忽略含有慣性力和作用荷載的二階矩項后，可得第二個平衡關系式為

(EI)2υ,xxx(x,t)-Ksnh2[θ(x,t)+

υ,x(x,t)]-[Vc(x,t)+Vs(x,t)]=0

(6)

式中:(EI)2=EcIc+EsIs為子梁抗彎剛度代數和。

把式(4)代入式(6)可得組合梁的豎向υ(x,t)的運動方程。

(EI)2υ,xxxx(x,t)-

(7)

聯立式(3)和式(7)可得鋼-混組合梁的豎向υ(x,t)的運動方程最終形式。

[υ,xxxx(x,t)+γυ,tt(x,t)]-

(8)

2 6 DOF單元動力剛度矩陣

若假定鋼-混組合梁的自振頻率為ω，初始相位角為φ，則可以假設

(9)

式中:φ(x)為鋼-混組合梁豎向υ(x,t)的振型函數，?(x)為鋼-混組合梁滑移轉角θ(x,t)的振型函數，其均不隨時間變化；sin(ωt+φ)為隨時間變化的振型幅值。

把式(9)代入式(8)，且考慮到sin(ωt+φ)?0，可得

[φ,xxxx(x)-γω2φ(x)]-

(10)

式(10)的特征方程為

(11)

φ(x)=A1sin(λ1x)+A2cos(λ1x)+A3sinh(λ2x)+

A4cosh(λ2x)+A5sinh(λ3x)+A6cosh(λ3x)

(12)

式中，Ai(i=1～6)為實常數，決定梁單元振動的形狀。

把式(9)代入式(3)，且考慮到sin(ωt+φ)?0，可得

(13)

把式(9)代入式(7)，且考慮到sin(ωt+φ)?0，可得

φ,xxxx(x)+γ(1+β)ω2φ(x)-

(14)

由式(13)和式(14)可求得滑移轉角的振型函數?(x)與豎向振型函數φ(x)的關系。

(15)

(16)

鋼-混組合梁單元有6個位移邊界條件：(x=0,Le)兩端點豎向位移、彎曲角位移和滑移角位移。定義如下

(17)

式中，ui(i=1～6)分別為節點坐標處的豎向位移、彎曲角位移和滑移角位移的幅值。

鋼-混組合梁單元有6個力邊界條件：(x=0,Le)兩端點的剪力、子梁彎矩代數和、滑移產生的彎矩。定義如下

(18)

把式(12)、(15)和(16)代入位移邊界條件ui(i=1～6)中得

ue=Nea

(19)

(20)

把式(12)、(15)和(16)代入力邊界條件Pi(i=1～6)中得

Pe=Mea

(21)

Me=(EI)2·

(22)

由式(19)和(21)可得

(23)

求解鋼-混組合梁自振頻率時，按照與靜力直接剛度法相同的過程，組裝結構體系的總體動力矩陣，建立整個體系的剛度方程，即

Pg=Kgug

(24)

式中:Pg、Kg和ug分別為整體力行列式、整體動力剛度矩陣、整體位移行列式。

3 邊界條件

工程應用中，一般梁的支撐方式可為簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支等四種。對于簡支的情況，更一般的為彈性支撐(如圖1)。

(1)一般彈性支撐條件，左側支撐剛度為K1，右側為K2。則支撐位置x=0,L處，具有如下力和位移邊界條件

(25)

式中，若為一般簡支，則φ(0)=φ(L)=0。

(2)固支-自由邊界條件，支撐位置x=0,L處，具有如下力和位移邊界條件

(26)

(3)固支-一般彈性邊界條件，左側為固支，右側支撐剛度為K2，支撐位置x=0,L處，具有如下力和位移邊界條件

(27)

式中，右側若為一般簡支，則φ(L)=0。

(4)固支-固支邊界條件，支撐位置x=0,L處，具有如下力和位移邊界條件

(28)

根據實際支撐情況，把上述邊界條件代入總體動力方程式(24)，去除總體動力矩陣Kg中位移為0的行和列，生成新的總體剛度矩陣KN。又位移項不全為0，所以|KN|=0，行列式中未知量λ1，λ2，λ3均是關于自振頻率ω的函數。求解該行列式，即可得到一般彈性支撐時的軸向變剛度的鋼-混組合梁的固有頻率。由于該頻率方程為超越方程，故可采用Newton-Raphson法求解，可得到無窮多個固有頻率。

4 算例分析

4.1 算例1-室內試驗

本節的目的是通過對比2個室內簡支鋼-混組合梁的自振頻率的理論計算(文中方法)、ANSYS FEA 和試驗測試結果，驗證本文中的有限元計算模型可應用于分析軸向變剛度的鋼-混組合梁的自振特性，且具有較高精度。

室內試驗模型梁共計2個——模型梁1和模型梁2，其均為工字形斷面，結構尺寸相同，剪力鍵直徑均為φ22 mm，僅剪力鍵布置不同。梁長8 500 mm，跨徑8 000 mm；混凝土板采用C30混凝土，厚300 mm，寬1 700 mm；工字鋼梁的鋼材采用Q345qE，鋼板N1、N2、N3、N4的鋼板厚度均為28 mm。模型1剪力鍵312個；模型2剪力鍵168個。模型構造及剪力鍵布置見圖3。

圖3 模型梁構造圖(mm)

理論計算時，把模型梁1劃分為10個區段即(0.25+8×1+0.25)m，各區段內滑移剛度為(3×3 585+4×2 420+3×3 585)MPa；模型梁2劃分為12個區段即(0.25+1+8×0.75+1+0.25)m，各區段內滑移剛度為(3×2 204+2×1 291+2×461+2×1 291+3×2 204)MPa。ANSYS FEA和文中理論計算時，模型梁1、2的邊界條件為

(29)

模型梁1和模型梁2頻率測試過程見圖4，測試結果見圖5。

圖4 測試過程

(a)模型梁1(20.00 Hz)

應用ANSYS軟件建立鋼-混組合梁的三維數值模型。模型中混凝土板采用SOLID65單元，工字鋼梁的各鋼板采用SHELL63單元，剪力鍵采用COMBIN39三維彈簧單元，豎向耦合但縱橫向不耦合，為彈性約束。計算結果見圖6。

(a)模型梁1(21.71 Hz)

根據本文的式(24)采用Matlab編制有限元計算程序，計算這2榀簡支鋼-混組合梁的一階豎向自振頻率。計算結果與ANSYS數值模擬計算、實測結果進行對比分析，結果見表1。括號內數值為計算值與ANSYS值的誤差，(f理論-fANSYS)/fANSYS×100%。

由表1可得：

表1 豎向一階自振頻率對比表

(1)本文模型計算結果、ANSYS FEA結果和實測結果三者基本吻合，文中計算模型誤差最大為1.6%。說明本文提出的有限元計算模型可用于分析軸向變剛度鋼-混組合梁自振特性且具有較高的精度。

(2)本文模型計算結果、ANSYS FEA結果和實測結果三者之間存在一定的誤差。產生這種誤差的原因主要有兩個方面：① 本文模型、ANSYS FEA均沒有考慮混凝土板和鋼梁之間的粘結力作用；② 計算時，剪力鍵的等效剛度與實際剪切剛度之間存在誤差。

4.2 算例2-已有文獻分析結果對比

Huang等[9]基于Euler-Bernoulli梁理論，給出了簡支-簡支(S-S)、固支-簡支(C-S)、固支-自由(C-F)和固支-固支(C-C)等四種邊界條件(圖7)下鋼-混組合梁的解析解，并做了算例驗證。本節的目的是通過與Huang等的自振頻率計算結果進行對比，驗證文中有限元計算模型可適用于常見的四種邊界條件。

(a)簡支-簡支

分析模型的梁長為4 m，各層截面和材料特性見圖8。層間建立連接鍵的剛度為K=50 MPa。四種邊界條件下，本文計算模型、Huang等計算模型和ANSYS FEA計算模型的一階自振頻率計算結果見表2。括號內數值為計算值與實測值的誤差，(f數值-fANSYS)/f數值×100%。

圖8 算例2組合梁的尺寸和材料特性

表2 不同計算方法的豎向一階自振頻率對比表

由表2可得：

(1)本文模型計算結果與同樣基于Euler-Bernoulli梁理論的Huang等計算結果基本一致。說明本文提出的有限元計算模型可適用于分析具有常見的四種邊界條件的鋼-混組合梁的自振特性。

(2)本文模型計算結果與ANSYS FEA計算結果相比，計算誤差最大為-1.65%。說明文中計算模型具有較高的計算精度。

5 結 論

通過以上分析，結論如下：

(1)考慮子梁間剪切滑移，基于Euler-Bernoulli梁理論推導了鋼-混組合梁的6自由度動力剛度矩陣，用于分析其自振特性。

(2)通過室內試驗、ANSYS FEA與文中提出的計算模型對比，發現文中有限元模型的計算誤差約為1.6%。說明了該模型可用于分析軸向變剛度鋼-混組合梁自振特性且具有較高的精度。

(3)通過與已發表文章的計算模型對比，得出與ANSYS FEA相比，文中有限元模型的計算誤差約為-2.0%。說明了該模型可適用于分析具有常見的四種邊界條件的鋼-混組合梁的自振特性且具有較高的精度。

(4)文中算例1中的2榀簡支鋼-混組合梁文中有限元模型計算、ANSYS FEA和實測結果均表明鋼-混組合梁自振頻率隨剪力連接鍵的抗剪剛度降低而降低，說明組合梁的界面相對滑移不可忽視。