高中數學概念復習教學例習題設計研究以基本不等式求最值為例

李國強

摘 ?要：高中數學概念教學的新授課的目標側重于“為什么”“是什么”“有什么用”，而高中數學概念復習教學側重于知識的系統化，整體化，幫助學生在腦海中建立起一個完整的知識結構是高中數學概念教學復習的目標，同時通過例習題設計研究進一步掌握概念的內涵與外延。

關鍵詞：概念的內涵與外延 ?; 例習題設計 ; 基本不等式 ; 知識網絡

高中數學概念的意義及內涵與外延，數學概念構成及相關概念之間關系，通過概念復習教學，體會概念中所蘊含的思想方法，后續公式的研究，并通過例習題的研究，如一題多變，一題多解，多題一解，總結提煉解題方法，加強知識之間的融合貫通，揭示概念之間的相互聯系，從而提高學生的核心知識和核心素養。

一 高中數學概念的意義：

反映事物的本質屬性和特征的思維形式叫做概念，客觀世界的許許多多事物都有各種各樣的性質，事物間存在各式各樣的關系，各門學科都有它自己的研究對象，各門學科的概念總是反映事物某方面的本質屬性，數學研究的對象是現實世界的空間形式和數量關系，數學的概念是反映這些數學對象的本質屬性和特征的思維形式。數學概念的產生與發展的幾種不同的途徑，（1）從現實模型直接反映得來的，（2）從事物排列的次序抽象概括得來的，（3）有的數學概念是經過人們的思維加工，把客觀事物的屬性理想化、純粹化才得到的，（4）從數學內部的需要產生出來的等。

概念的外延和內涵，概念的外延和內涵是構成概念的兩個重要方面，外延亦稱外包，是指概念所反映的對象的總和，內涵亦稱內包，是指概念所反映的對象的特有屬性、本質屬性。概念的外延和內涵都是主觀對客觀的一種認識，它們分別與客觀對象的特有屬性、本質屬性是有區別的，概念的內涵和外延具有反比關系，即一個概念的內涵越大，內涵就越小;反之，內涵越小，外延就越大。

數學概念之間的關系：根據概念外延之間的關系可以將數學概念分為全同關系、從屬關系、交叉關系和全異關系，分別說明如下：

（1）概念的全同關系也叫做同一關系或重合關系，如果兩個概念的外延完全重合，那么這兩個概念具有全同關系，具有全同關系的兩個概念，它們的外延雖然完全重合，但是他們的內涵可以不同，如等腰三角形底邊上的高線、中線以及角平分線的外延都是同一條線段，而它們的內涵也各不相同。

（2）概念的從屬關系，外延較大的那個概念叫做屬概念，外延較小的那個概念叫做種概念，如直四棱柱，正四棱柱，長方體，數學中為了對某一概念加深認識、或者為了用較一般的概念來說明特殊概念，往往采取逐步增加概念的內涵，使概念的外延縮小的方法，從而得到一系列從屬關系的概念。例如，平行四邊形增加一個內角為直角這個性質后，就成了矩形。

二 高中數學概念復習的價值：

復習是知識的在學習，它是學生鞏固所學知識，構建科學的知識網絡，提高問題解決能力的重腰手段，因此復習是學生學習過程中必不可少的一個環節，高中數學的復習主要是對基礎知識，基本方法，基本技能的復習，而數學概念是基礎知識的基礎，脫離了概念，數學就成了無源之水，無本之木，所謂“合抱之木，始于毫木;九層之臺，起于壘土”高中的很多數學概念內涵豐富、外延廣泛，因此學生對數學概念的掌握很多情況下并不是一步到位的，需要有一個不斷反復的過程，所以，復習概念時，教學設計的重點應放在提升學生對數學概念的內涵與外延的理解上，要在概念的內涵與外延上設計問題，比如，新課程重視基本不等式的教學，它是培養學生數學思想，滲透數學方法的一個很好的素材。

三 高中數學概念復習的策略：

概念復習教學應把各知識點按一定的規律與方法加以整理，形成知識體系，要熟悉教材并精通教材，注意提煉重要例題和習題所反映的相關數學知識本質屬性以及蘊含的數學思維方法和思想精髓，并通過這類問題進行類比、引申、遷移、拓廣，提出新問題并加以解決，要把握變中不變，切實貫徹變于教材，源于教材的原則，發揮教材的擴張效應。

四 高中數學概念復習的步驟

在概念教學過程注重知識的建構及知識的體系的生成，多角度審視問題，重視對數學本質的認識，華羅庚先生認為創造性的成果來源于具有創造發現思維的能力的人，因此，他特別強調在學校數學教學中重視對學生發現探索能力的培養，培養學生的發現探索能力，復習課是可以有所作為的，在進行教學設計時，把數學教學定位于學生的發展，特別是學生數學思維及探索能力的發展，引導學生多角度思考問題，以此來激活學生的思維，培養學生的創造性思維能力。

五、例習題研究

六、問設計的反思與總結

設計的理念：概念教學復習時可以充分地以課本中的例習題為素材，根據學情適當的變形，引申發散來建構知識模塊，提煉通性通法，必要時引導學生一題多解和多題一解，以幫助學生對基礎知識的融會貫通，基本技能和思想方法得到充分訓練和培養

例習題設計理念：通過變式問題的設計，有助于學生深刻理解和認識概念，同時解決問題過程中探索與發現、猜想與驗證、有助于學生養成不斷回到概念中去，從基本概念出發思考問題解決為題的習慣，不斷加強對概念本質的認識，提高知識的遷移能力，形成從基本概念聯系中尋求解決問題的新思路，教材的例題習題也都是經過專家重重篩選的經典問題，無論是問題本身，還是解題方法與思想都具有一般性與典型性，即所謂通性通法。

七、鞏固練習

鞏固練習的設計是為了進一步使學生理解基本不等式的概念，掌握運用基本不等式求函數最值必須滿足的三個條件，以及運用基本不等式求最值的常見題型和使用基本不等式前的常見的變形方法，從而培養學生運用基本式解決數學問題的能力。

參考文獻

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