高中數學中導數解題教學策略

潘萬超

(福建省福州第十一中學 350001)

一、利用導數求解曲線切線問題

用導數求曲線的切線方程，是高考重點考查的知識點之一.以下針對導數法求切線方程的常見題型進行歸類分析，并提出幾點有效的教學策略.

1.已知切點求切線方程

策略一求導數→代切點→得斜率→切線方程

例1 曲線y=x3+11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是____.

解析f′(x)=3x2，則在點P(1,12)處切線的斜率k=f′(1)=3，故所求切線方程為y-12=3(x-1)，化簡得y=3x+9.令x=0，則y=9.

2.已知切線過某點求切線方程

策略二設切點→求導數→點斜式→代入已知點→切線方程

例2 已知曲線y=x3+11，求過點P(0,13)且與曲線相切的直線方程.

3.雙切點未知求公切線方程

策略三設兩個切點→求兩個導數→點斜式方程組→斜截式方程組→由斜率相等、縱截距相等得參數值→切線方程

例3 (2016新課標全國Ⅱ卷 理16)若直線y=kx+b是曲線C1：y=lnx+2的切線，也是曲線C2：y=ln(x+1)的切線，則b=____.

點評在求曲線的切線方程時，注意兩個“說法”，即“求曲線在點P處的切線方程”和“求曲線過點P的切線方程”，前者指明了以點P為切點，后者點P可能是切點，也可能是切線經過的某個已知點.學生解答此類問題有兩個易錯點：其一，審題不認真，未對點P的位置進行判斷，誤以為P一定是切點(比如例題2)；其二，當所給點不是切點時，無法利用導數的幾何意義進行聯系，不懂得預設切點坐標(比如例題3).因此，解決與導數的幾何意義有關的問題時，要提醒學生首先確定已知點是否為曲線的切點是正確求解的關鍵所在.

二、利用導數求解導數單調性問題

單調性問題是高中數學的重要知識點，有效利用導數判斷區間內函數的單調性，其本質就是判斷導數的正負問題，在實際的解答中，證明不等式f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在相應區間內恒成立，并且不恒為零.一般來說，首先需要明確函數的定義域，然后求出函數的導數，接著對導數的正負進行判斷得出相應的結論.如果題目中沒有明確x的范圍，需要先求解出定義域，在定義域內完成單調性的討論.

例4 設函數f(x)=emx+x2-mx.證明：函數f(x)在(-∞，0)上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增.

此題主要考查學生對導數概念、導數幾何意義的理解，根據函數的相關性質完成解題.面對含字母系數的函數單調性問題，策略之一是利用分類討論思想解題，需要根據函數求解導數，并且對其區間內的正負進行判斷.策略之二是對原函數f(x)進行二階求導，會收到意想不到的效果，避免了分類討論.

策略一利用分類討論思想

解析根據已知中函數f(x)得出f′(x)=m·emx+2x-m=m(emx-1)+2x.當m≥0時，x∈(-∞，0)時，emx-1≤0，f′(x)<0；當x∈(0，+∞)時，emx-1≥0，f′(x)>0；當m<0時，x∈(-∞，0)時，emx-1>0，f′(x)<0；當x∈(0，+∞)時，emx-1<0，f′(x)>0.因此，當x∈(-∞，0)時，函數f(x)單調遞減；當x∈(0，+∞)時，函數f(x)單調遞增.

策略二利用f(x)的二階導數

解f′(x)=m·emx+2x-m，注意到f′(0)=0，于是再求導得到f″(x)=m2emx+2.由于f″(x)>0，于是y=f′(x)為單調遞增函數，又f′(0)=0，所以當x∈(-∞，0)時，f′(x)<0；當x∈(0，+∞)時，f′(x)>0.即當x∈(-∞，0)時，函數f(x)單調遞減;當x∈(0，+∞)時，函數f(x)單調遞增.

點評利用導數判斷函數的單調性判斷時，如果函數解析式中含有參數，且參數對導數的正負判斷有影響，需要對參數進行相應的分類討論，進一步判斷導數的正負，這是通性通法.當然，如果能觀察出一階導數的零點根，可以借助二階導數判斷一階導數的符號，進而判斷原函數的單調性，也是重要的方法補充.

三、利用導數求解函數圖象問題

函數圖象是高考考查的重點內容，對學生推理能力和數形結合思想有著比較高的要求.需要學生明確導數和函數圖象之間的聯系，如導數正負對函數單調性的影響，導數絕對值大小對圖象走勢影響等.同時需要從導數圖象中提出相關的信息，導數正負值對應著函數單調性，圖象和x軸交點等.

例5 如圖中所示，一個正五角星的薄片，對稱軸和水面垂直，勻速從水面露出，假如五角星露出水面的時間為t，露出水面的面積是S(t)(S(0)=0)，那么導函數y=S′(t)的圖象大致為( ).

解析 策略一直接法

根據正五角星的形狀，開始面積增加的幅度成直線狀態，在某一時刻面積突然跳躍性地增大，此時S(t)的圖象上反應為斷點形狀，是一個分段函數的圖象，S′(t)也有類似變化，然后面積繼續增加，但增加的幅度變小，接著面積增加的幅度又變大，然后變小.只有A符合，故選A.

策略二排除法

考察最初零時刻和最后終點時刻，面積沒有變化，導數取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有減少，排除B；在正五角星兩肩位置露出水面時，面積改變為突變，圖象產生中斷，故排除D.

點評本題考查函數圖象、導數圖象、導數的實際意義，重點考查學生對函數圖象的識別能力，對導數的探究能力和應用能力.可以采用不同的教學策略幫助學生進行分析，比如可以將正五角星露出水面的過程分為四個階段分別分析.也可以利用排除法，考察初始點和終結點是否吻合，某個特殊變化過程是否吻合，從而做出正確的選擇.

導數是高中階段的重要知識內容，在高考中有著非常大比重，導數具有工具性特點，并且和其他知識點有著密切的關系，使得導數問題非常的多樣、復雜，面對導數問題常常無從下手.因此，結合相應的導數問題，對相關導數解題進行分析和探究，明確不同類型問題的解題思路，提高學生的解題能力，構建高效數學課堂.