一次函數(shù)增減性的正用和逆用

劉家良

一次函數(shù)y = kx + b（k，b是常數(shù)，k ≠ 0），當(dāng)k > 0時，y隨x的增大而增大;當(dāng)k < 0時，y隨x的增大而減小. 正用和逆用一次函數(shù)的增減性，可解決如下四類問題.

一、由增減性求k的范圍

例1（2020·安徽）已知一次函數(shù)y = kx + 3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，且y隨x的增大而減小，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（ ）.

A.? （-1，2） B.? （1，-2） C.? （2，3） D.? （3，4）

解析：由一次函數(shù)y = kx + 3的函數(shù)值y隨x的增大而減小，得k < 0. 再將選項(xiàng)中各點(diǎn)坐標(biāo)代入y = kx + 3中，求得k值，從中篩選出符合條件的k值，找到點(diǎn)A的坐標(biāo).

∵一次函數(shù)y = kx + 3的函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k < 0.

將（-1，2），（1，-2），（2，3）（3，4）分別代入y = kx + 3中，則k分別為1，-5，0，[13]，

由k = -5 < 0，可知點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（1，-2）. 故應(yīng)選B.

說明：也可以求出直線y = kx + 3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），畫出示意圖，看選項(xiàng)中哪個點(diǎn)與（0，3）滿足x值增大而y值減小的條件.

二、由k的正、負(fù)性比較y的大小

例2（2020·廣州）y = -3x + 1的圖象過點(diǎn)（x1，y1），（x1 + 1，y2），（x1 + 2，y3），則（ ）.

A. y1 < y2 < y3 B. y3 < y2 < y1 C. y2 < y1 < y3 D. y3 < y1 < y2

解析：∵k = -3 < 0，∴y隨x的增大而減小，∵x1 < x1 + 1 < x1 + 2，∴y3 < y2 < y1. 故選B.

三、由k的正負(fù)性比較x的大小

例3（2020·江蘇·宿遷）已知一次函數(shù)y = 2x - 1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（x1，1），B（x2，3）兩點(diǎn)，則x1_______x2（填“>”“ < ”或“ = ”）.

解析：∵k = 2>0，∴y隨x的增大而增大，即x隨y的增大而增大，∵1 < 3，∴x1 < x2.

故填“ < ”.

四、由圖象上兩點(diǎn)坐標(biāo)求k的正負(fù)性

例4（2020·山東·東營）已知一次函數(shù)y = kx + b（k ≠ 0）的圖象經(jīng)過A（1，-1），B（-1，3）兩點(diǎn)，則[k] 0（填“>”或“ < ”）.

解析：橫坐標(biāo)從1到-1在減小，而相應(yīng)的縱坐標(biāo)從-1到3在增大，這表明y隨x的減小而增大，所以k < 0. 故填“ < ”.