基于多目標遺傳算法的爬壁小車底板優化

王棟，鄒玉靜，孫宇軒，馬本嘯

(青島科技大學 機電工程學院， 山東 青島 266061)

0 引言

為實現爬壁小車的優化設計，需對小車的底板進行輕量化設計。輕量化研究，就是在保證結構模型強度和安全性能的前提下，盡量減小其質量，從而提高整體的動力性能。陳臻[1]對實驗過程中的動力響應特性進行了數值仿真，依據實驗數據對結構進行輕量化設計。王芳[2]在結構上運用有限元對運輸車的輕量化設計進行了研究。這些傳統的結構優化方法大多只是局限于對模型進行靜力學分析和預應力模態仿真分析。劉杰等[3]對電動車懸架進行了多目標的仿真優化研究，但采用的是傳統多目標優化方法。傳統多目標優化方法多是把多目標優化問題轉換為單一目標優化問題，然后使用數學規劃法來解決問題[4]。開發多種定量分析法，要求工程師對結構的性能深刻理解，選擇最適合的加權值。傳統的優化手段僅能取得單一的優化解，工程師通常帶有很大主觀性，會根據產品不同的性能要求以及自身喜好來進行方案選擇。因此對于解決多目標優化問題，傳統方法有較大缺陷，所以眾多學者希望通過不斷開發各種智能算法來彌補傳統方法的不足，以解決傳統方法無法解決的問題。多目標遺傳算法具有良好的全局搜索能力，可以有效克服傳統方法的缺陷，因而被廣泛使用。

遺傳算法(genetic algorithm)[5]是解決優化問題的有效方法。該算法由霍蘭教授等人提出，算法靈感來源于生物界中的自然選擇和生物遺傳學規律。與傳統搜索方式的區別在于，遺傳算法是利用人工進化原理隨機搜索設計空間，將設計空間中每個個體假定為問題域中可能解，對個體以字符串的形式進行編碼，方便模擬遺傳選擇和自然淘汰的進化過程，隨后進行大量的遺傳、交叉和變異等活動。個體的優劣通過目標適應度函數來進行評價，應用優勝劣汰和適者生存的自然法則，使群體水平得到不斷提高，隨后從中選出最優個體，得到問題的最優解。

1 爬壁小車底板優化設計流程

通過Solidwork建立爬壁小車底板參數化三維模型(圖1)，并對模型中需要優化的尺寸參數進行設置。將建模軟件與有限元分析軟件ANSYS Workbench進行關聯后，所建模型的尺寸參數將直接影響有限元分析軟件中模型的形狀，即可實現只需修改Solidworks模型中的參數，有限元分析軟件中模型(圖2)參數也會隨之修改的目標[6]。

圖1 爬壁小車模型

圖2 有限元模型

根據設計要求和實際環境，對原始設計參數值進行參數范圍的確定，然后采用中心復合試驗設計(central composite design)的方法獲取試驗點。對所選取的試驗點進行有限元求解，得到整體模型的最大應力、最大變形量、一階固有頻率和質量的數值結果，并將結果利用最小二乘法進行擬合，建立最大應力、最大變形量、一階固有頻率和質量與設計變量的響應面模型。以底板的最大變形量和最大應力設置為上限、一階固有頻率合理區間和質量最小為目標函數，尺寸參數為設計變量，建立多目標優化數學模型，使用多目標遺傳算法進行求解模型，求解出滿足設計要求的最優解。優化設計流程如圖3所示。

圖3 優化設計流程圖

2 輸入輸出參數的設定

將底板的主要尺寸設定為設計變量。底板厚度FD1、邊長H1分別定義為P14和P17，并對輸入變量設定取值范圍，參數變化范圍如表1所示。

表1 設計變量及取值范圍 單位：mm

目標輸出變量為：底板的質量、最大等效應力、最大總應變、一階固有頻率，分別對其進行參數化定義為P16、P17、P19、P20，設置如圖4所示。

圖4 輸入輸出參數設置

3 實驗樣點計算

試驗點的選擇在構建響應面過程中非常重要，響應面模型構造精度也取決于合理試驗點的選取。BOX等提到中心復合設計(central composite design)思想是將一階部分不斷返回應用于二階設計中[7]，不同設計變量的取值范圍，形成了決策空間，該空間包含了優化所需的若干設計點。因此，本試驗利用中心復合設計法來得到試驗點。試驗點設置完畢后，接著對試驗點進行計算，生成的設計點如圖5所示。

圖5 中心復合法設計點

4 更新響應面

響應面能夠直觀反映出輸入參數與輸出參數的關系[8]。計算出所抽取的每個樣點的響應結果，并通過完全二階多項式響應面模型擬合出響應面。響應面結果只具有參考作用。為了直觀反映輸入與輸出關系，采用3D輸出，選擇兩個設計變量作為圖形的x軸和y軸，并選擇一個輸出目標作為z軸。設計輸入變量P14和P17與底板的質量、最大等效應力、最大總應變以及一階模態頻率的3D響應關系如圖6-圖9所示。

圖6 P14-P17與質量的響應

圖7 P14-P17與最大等效應力響應

圖8 P14-P17與最大總應變的響應

圖9 P14-P17與一階模態頻率的響應

5 敏感度分析

結構優化時需要對影響較大的變量進行分析，本爬壁小車底板結構尺寸中底板厚度FD1和邊長H1即設計變量P14和P17對結構的性能影響程度不同。敏感度分析法是比較有效的分析法[9-10]，敏感度可用來快速直觀評價模型的參數對模型結果的影響。設計目標與設計變量為函數關系，假設設計目標用函數f表示，設計變量用x表示，即f=G(xi)。設計變量xi變化、設計目標f變化以及靈敏度之間數學關系為

(1)

對本模型小車底板的靈敏度進行分析時，底板的剛度對底板厚度的靈敏度為

[K]m×m{D}m×1={F}m×1

(2)

式中：m為自由度；[K]m×m為總剛度矩陣；{D}m×1為結構位移向量；{F}m×1為載荷向量。

對式(2)關于設計變量x求導，得:

(3)

(4)

整理后得結構位移向量{D}m×1對底板厚度設計變量x的靈敏度計算公式：

(5)

靈敏度圖不僅可揭示各設計變量與輸出目標之間的敏感度關系，而且對于確定其合理的參數變化范圍以及從這些參數的變化范圍中尋求最佳設計值有重要的參考作用。底板的質量、最大等效應力、最大總應變以及一階模態頻率4個目標函數與底板厚度FD1和邊長H1即輸入變量P14和P17敏感程度，如圖10所示(本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者)。

圖10 敏感度柱狀圖

由圖10中可以看出，底板厚度FD1和邊長H1即輸入變量P14和P17對質量和一階頻率是正相關，對最大等效應力和最大總應變是負相關，設計變量P14底板厚度對4個目標的影響都較大，且影響要遠遠大于設計變量P17底板邊長。

6 生成最優設計點

在多目標優化的優化過程中，各個優化目標難以同時滿足，還會產生許多解，即Pareto解。對于這些Pareto解，不同解的優劣性還需要考慮設計者實際設計需求，最終選擇正確且可靠的優化解。MOGA算法原理是通過“Pareto最優個體”對種群里所有的個體依次進行排序，并根據排列的次序從上一代群體中挑選出具有優良特性的個體使其遺傳到下一代群體中。這樣排在前面的Pareto最優個體就有更大的可能性把自己的特征遺傳到下一代的群體。通過一定周期的遺傳選擇和淘汰過程，最終可以快速地找到多目標優化問題的Pareto最優的參數，可以避免周期較長的試驗過程，優化效率也得到了提升。

先對輸入和輸出變量進行邊界約束，如圖11所示。將零部件的最大變形量和最大應力設置為上限、一階固有頻率合理區間和質量最小設置為目標函數。

圖11 變量邊界約束設置

再進行Optiomization選項操作，選擇多目標遺傳算法(MOGA)進行尋優求解，如圖12所示。

圖12 多目標遺傳算法設計

從眾多樣本點選出目標函數的最優解，最后得到3組最佳候選點，如圖13所示。

圖13 候選設計點

將第一組候選點認定為最佳設計點，將最佳設計點輸入參數重新帶入有限元模型求解出優化后各項輸出參數值。對獲得的設計變量優化值，需要進行適當圓整，模型優化前后輸入參數數值對比，如表2所示。

表2 修正參數 單位：mm

7 優化結果目標值對比

輸出變量質量、最大等效應力、最大總應變、一階模態頻率優化前后對比結果如表3所示。從表3中可以看出：優化后，最大等效應力增加到70.979MPa，但仍遠遠小于材料的屈服強度276MPa；而最大總應變僅增加了0.493 9mm；一階模態頻率減少了13.6%，仍遠遠大于激振頻率；但質量減少了29.5%，從輕量化的設計角度看，達到了優化目的。

表3 目標值對比

8 結語

由于爬壁小車底板質量具有較大的優化空間，為實現爬壁小車底板輕量化設計，利用ANSYS Workbench有限元分析軟件求解出模型最大應力、最大變形、一階固有頻率和底板質量4個輸出變量的結果，并將數值結果通過最小二乘法進行擬合并建立了響應面模型。以底板的最大變形量和最大應力為設置上限、一階固有頻率合理區間和質量最小為目標函數，并將尺寸設計變量設置為優化變量，建立了多目標優化數學模型，并基于多目標遺傳算法對模型進行計算，求解出最優設計點，實現了模型輕量化目標。