雙層耦合非對稱反應擴散系統中的振蕩圖靈斑圖*

劉雅慧 董夢菲 劉富成2)? 田淼 王碩 范偉麗

1) (河北大學物理科學與技術學院, 保定 071002)

2) (河北大學生命科學與綠色發展研究院, 保定 071002)

1 引 言

自組織斑圖是非線性動力學系統的一個典型特征, 普遍存在于自然界以及眾多非線性系統中,例如物理、化學以及生物系統等[1-7].在過去的大半個世紀內, 人們對斑圖形成機理的認識有了突飛猛進的發展.眾所周知, 非線性系統中時空斑圖的形成源于系統的失穩, 且總是伴隨著相應的對稱性破缺現象, 不同的對稱性破缺(或者說分岔類型)對應著不同的時空斑圖類型.其中最為常見的分岔類型有三種: 霍普夫分岔、圖靈分岔以及短波分岔, 產生的斑圖分別為時序振蕩態、靜態圖靈斑圖以及時空振蕩斑圖[1,4].

近年來, 時空振蕩斑圖由于其豐富的動力學行為而越來越受到人們的關注[2,8,9].產生時空振蕩斑圖的方式有很多, 除了上面提到的短波分岔外, 不同分岔引發的模式之間的相互作用也可以形成時間上和空間上均具有周期性的斑圖結構.例如當系統處于圖靈和霍普夫切空間點時, 就可以形成行波[10]、駐波[11]、振蕩四邊形[12]、振蕩六邊形、螺旋波等[13].

耦合反應擴散系統是目前研究不同模式之間相互作用的一種最為常用的方法[14-16].例如,2002年Yang等[17]在研究兩個圖靈模相互作用時發現, 當一個圖靈長波模的次諧波處于霍普夫區域時, 通過次諧波圖靈模與霍普夫模相互作用, 可以形成一種由三套子六邊形相互嵌套的弛豫型振蕩的振蕩六邊形斑圖, 其中三個子六邊形之間的相位相差 2 π/3.2003年, 該小組還詳細研究了圖靈和短波模之間的相互作用, 獲得了一種眨眼六邊形斑圖, 同樣, 該斑圖由三套相位相差 2 π/3 的六邊形相互嵌套而成, 但是其振蕩屬于正弦振蕩.除了眨眼六邊形斑圖外, 還獲得了各種相互嵌套的其他類型的時空振蕩斑圖, 例如螺旋波和同心圓波混合但是呈現六邊形分布的時空斑圖[18].Anguelov和Stoltz[19]對比了單層和雙層耦合反應擴散系統中圖靈-霍普夫相互作用的區別, 得到了反六邊形振蕩以及反條紋振蕩斑圖, 并給出了各種時空斑圖的空間相圖.最近, Li等[20]通過非線性耦合雙層反應擴散模型, 獲得了振蕩四邊形斑圖.Pal等[21]研究發現在兩個耦合反應系統中也存在著時空反共振現象.

然而, 這些研究大多集中于相同反應擴散模型之間的耦合, 對于不同模型之間耦合的研究還比較少.在實際的非線性系統中, 不同系統的局部動力學行為是不同的[22-24].例如, 在生物系統中, 熱帶鯰魚的皮膚結構主要由表層表皮和底層真皮組成.由于不同皮膚層是由不同類型的細胞構成的, 即不同皮膚層的局部動力學行為是不同的[22].在復雜網絡系統中, 系統是由具有不同功能的動態單元(例如大腦中的神經元或社會中的個體)間的耦合相互作用而成[23].介質阻擋放電系統也是一種典型的多層耦合斑圖形成系統[24-26].它由放電層和電介質層組成, 放電產生的體電荷部分積累到介質表面形成表面電荷, 反過來表面電荷也會直接影響體放電, 兩者相互耦合, 從而可以產生豐富多彩的時空斑圖, 例如, 四邊形斑圖、六邊形斑圖、超點陣斑圖、螺旋波斑圖等[27-29].研究表明, 氣體放電系統一種特殊的反應擴散系統, 可以唯象地用反應擴散模型來描述[25,26,30].為了進一步弄清介質阻擋放電系統中各類時空斑圖形成的機理, 尤其是體電荷和表面電荷之間的耦合, 最近本小組線性耦合了兩種不同的反應擴散模型, 獲得了許多與實驗相符合的模擬結果[31].除此以外, 還發現了一種新型的振蕩六邊形結構, 與以前發現的振蕩六邊形不同, 該振蕩六邊形是由圖靈模與處于霍普夫區域的高階模相互作用而成的, 但耦合機制還不甚清楚[31].為了進一步研究其動力學行為以及產生條件, 本文通過線性耦合兩個不同的反應擴散模型, 系統研究了超臨界圖靈模、次臨界圖靈模、高階圖靈模以及霍普夫模之間的相互作用, 并分析了它們對振蕩圖靈斑圖形成機理和時空動力學行為的影響.

2 物理模型

線性耦合兩個不同的反應擴散模型, 構建一個非對稱的雙層耦合反應擴散系統模型.在無量綱的情況下, 該模型具有以下形式[17]:

其中, ( u1,v1) 和 ( u2,v2) 分別表示第一層和第二層的子反應擴散系統, 這里u和v分別為反應擴散系統中的活化子濃度和阻塞子濃度, Du和 Dv分別為它們的擴散系數, ?2為拉普拉斯算符.α 為兩個子系統活化子之間的耦合強度, 方程 f (u,v) 和g(u,v)為每層的子反應擴散系統的局部動力學方程, 不同的反應系統有著不同的具體表達式.本文選取Brusselator模型和Lengyel-Epstein模型來分別充當兩個子系統.在無量綱的情況下, Brusselator模型的局部動力學方程具有下列形式[32]:

其中, 系數a和b是系統的控制參數.

Lengyel-Epstein模型在無量綱情況下形式如下[33]:

式中, 系數c和d是系統的控制參數.對于子系統1和子系統2, 其均勻定態解分別為(u10,v10)=通過系統的色散關系可以分析失穩模的性質以及系統的分岔類型.對于模型以及數值算法的詳細描述可參見文獻[31].

圖1(a)為雙層線性耦合反應擴散系統的色散關系曲線圖, 而圖1(b)和圖1(c)分別給出了單層Brusselator模型和單層Lengyel-Epstein模型的色散關系圖.可以看出, 雙層耦合系統中存在著兩個圖靈模式: 一個為超臨界圖靈模, 其波數較小(長波模), 我們稱其為 k1, 相應的本征值大小為 h1, 此模式是由第二層子系統Lengyel-Epstein模型所激發的失穩模; 另一個為次臨界圖靈模, 其波數較大(短波模), 我們稱其為 k2, 相應的本征值大小為 h2,此模式是由第一層子系統Brusselator模型所激發的穩定模.對于圖靈模, 其波數大小與系統變量的擴散系數成反比, 而本征值高度則與系統內阻塞子和活化子的擴散系數之比正相關, 所以通過調節模型中各變量的擴散系數, 可以改變兩個圖靈模的大小和本征值高度.

圖1 雙層線性耦合系統以及單層系統的色散關系 (a) 雙層線性耦合系統; (b) 單層Brusselator模型; (c) 單層Lengyel-Epstein模型.參數取值為: ( a,b)=(3,9) ,(c,d)=(15,9) , D u1=2.2 , D v1=4.0 , D u2=21.9 ,Dv2=400,α=0.15Fig.1.Dispersion relationship of two-layered linear coupling system and single layer system: (a) Two-layered linear coupling system; (b) single layer Brusselator model; (c) single layer Lengyel-Epstein model.Parameter: ( a,b)=(3,9) ,(c,d)=(15,9), D u1=2.2 , D v1=4.0 , D u2=21.9 ,Dv2=400 , α =0.15.

3 模擬結果與討論

采用歐拉向前差分的方法進行積分, 數值模擬在一個含有 1 28×128 個空間格點的二維平面上進行, 取時間積分步長 Δ t=0.01 個時間單位, 取空間積分步長 Δ x=Δy=1.0 個空間單位, 擴散項在數值計算中選擇五點差分格式.邊界條件選用周期性邊界條件, 初始條件為均勻定態加上一個很小的隨機擾動.擴散參數 Du和 Dv的乘積決定圖靈模波數k的大小, 而 Du和 Dv的相對大小決定圖靈模的本征值高度.本文先確定波數k的大小, 再通過改變 Du和 Dv的相對大小來調節相應的本征值高度.

3.1 同步振蕩六邊形斑圖的基本性質

圖2給出了雙層非對稱耦合反應擴散系統在圖1(a)色散關系下的同步振蕩六邊形斑圖.圖2(a)為該同步振蕩六邊形斑圖的振幅分布圖, 顯然, 振幅呈現六邊形陣列排布, 并且幅值大小跟第二層活化子濃度 u2成反比, 也就是說圖靈模 u2的靜態效應會抑制 u1的振幅.該振幅六邊形陣列的空間波數為 k1=0.2 , 由于六邊形陣列中的每一個斑點的振蕩都是同相位的, 所以圖2(b)給出了六邊形陣列中任意一個斑點處(圖2(a)中A點)活化子 u1隨時間t的變化圖, 可以看出該同步振蕩六邊形斑圖呈現正弦式的振蕩, 振蕩周期 T =2.37 , 相應的圓頻率 ω =2.66.從單層Brusselator模型的色散關系圖(圖1(b))可知, 圓頻率 ω =2.66 對應的波數為0.33, 此波數約為因此我們判斷時間振蕩來源于模式.在單層Brusselator模型中, 此模式是次臨界模, 原本是穩定的, 但是由于受到另一層Lengyel-Epstein系統中 k1模式的驅動, 而被激發出來了.也就是說, 受到Lengyel-Epstein系統中的超臨界圖靈模 k1的激勵, Brusselator系統中同時激發了圖靈模 k1和處于霍普夫區域的高階超臨界圖靈模此兩種模式相互作用形成了同步振蕩六邊形斑圖.

圖2 同步振蕩六邊形斑圖(參數與圖1相同) (a) 振幅分布; (b) A點 u1 的時間變化關系圖; (c) 半個振蕩周期內的斑圖演化過程Fig.2.Synchronous oscillatory hexagon pattern: (a) Amplitude distribution; (b) time variation of u1 at position A; (c) evolution of pattern in half an oscillating period.Parameters are the same as those in Fig.1.

圖2 (c)給出了該同步振蕩六邊形斑圖在半個振蕩周期內的時空演化過程.在 t1=1.48 時刻, 六邊形亮斑結構中心處濃度最低, 外圍濃度最高, 再向外濃度降低, 從而形成了一種具有圓環結構的超六邊形斑圖.在 t2=1.78 時刻, 中心斑點處濃度最高, 從中心向外濃度逐漸降低, 形成了一種超點陣六邊形斑圖.隨著時間演化, 中心斑點處濃度開始降低, 在 t5=2.38 時刻, 從中心斑點向外, 濃度先降低再升高, 呈現白眼六邊形斑圖.在 t6=2.75 時刻, 中心斑點處濃度降至最低, 遠遠低于最外環濃度, 此時形成了簡單的蜂窩狀六邊形斑圖.

3.2 霍普夫模式對振蕩六邊形斑圖的影響

為了研究霍普夫模式在同步振蕩六邊形斑圖形成過程中所起的作用, 固定其他參數不變, 通過改變控制參數b來調節霍普夫模本征值的大小.圖3(a)為不同參數b下的色散關系曲線圖及其局部放大圖.控制參數b的改變, 除了可以調節霍普夫本征值的大小, 還對圖靈模 k2和 h2有影響, 對k1和 h1影響很小.但由于 h2的值非常小, 也就是說圖靈模 k2的作用很微弱, 因此這里主要考慮圖靈模k1與霍普夫之間的相互作用, 后面將詳細討論圖靈模 k2和 h2對斑圖的影響.在 8.5＜b＜9.33 范圍內,霍普夫模本征值的大小隨著參數b的增大呈現下降趨勢; 在 9.33＜b＜10 范圍內, 霍普夫模本征值的大小隨著參數b的增大而增大.圖3(b)為不同參數b下獲得的時空斑圖及相應的活化子濃度u1隨時間t的變化圖.當 b =8.5 時, 系統距離霍普夫分岔點還比較遠, 霍普夫模本征值比較小, 此時圖靈模 k1及其高階模均處于圖靈區域內, 此時系統產生了靜態蜂窩狀六邊形斑圖, 如圖3(b1)所示.這與介質阻擋放電系統中的靜態蜂窩狀六邊形斑圖一致[34,35].在 8.86＜b＜9.32 范圍內, 隨著參數b的增大, 霍普夫模本征值的大小呈現下降趨勢,但是高階圖靈模進入到霍普夫區域內, 此時系統產生了振蕩六邊形斑圖(圖3(b2)和圖3(b3)),這就說明該振蕩六邊形斑圖是由超臨界圖靈模k1與處于霍普夫區域的高階模相互作用而成的.當b ＜ 9.23時, 振蕩六邊形具有單一的振蕩周期T0, 如圖3(b2)所示.此斑圖與介質阻擋放電實驗中得到的點環斑圖相符合[5,28].當b ＞ 9.23時, 振蕩六邊形經歷倍周期分岔而進入雙倍周期振蕩, 即T=2T0, 如圖3(b3)所示.在 9.32＜b＜9.33 這個很小的范圍內, 系統處于近似5倍周期振蕩, 但每次振蕩的周期各不相同, 即T=T1+T2+T3+T4+T5≈5T0, 盡管振幅依然呈現六邊形陣列排布, 但是振蕩相位各不相同, 即系統產生的是非同步六邊形斑圖, 如圖3(b4)所示.在參數9.33＜b＞9.7范圍內, 霍普夫模本征值的大小隨著參數b的增大而增大, 霍普夫模式開始被激發.當b=9.5時, 非同步斑圖的六邊形空間結構開始破缺, 其振蕩周期呈現為近似三倍周期, 且有T=T1+2T2≈3T0, 如圖3(b5)所示.當 b ＞9.7 時, 霍普夫模式引起的振蕩起主導作用, 此時無論是空間上還是時間上, 都進入到混沌狀態(圖3(b6)).目前人們已經在介質阻擋放電系統中實驗觀測到了輝光模式下的倍周期分岔和混沌現象[36,37], 盡管斑圖模式下還未見有實驗報道, 但是在等離子體流體模擬中獲得了相似的結果[38].

圖3 參數 b對時空斑圖的影響 (a) 不同參數b下的色散關系曲線; (b1)靜態蜂窩狀六邊形斑圖, b =8.5 ; (b2)單倍周期同步振蕩六邊形斑圖, b =9 ; (b3) 2倍周期非同步振蕩六邊形斑圖, b =9.25 ; (b4) 5倍周期非同步振蕩六邊形斑圖, b =9.33 ; (b5) 3倍周期非同步振蕩斑圖, b =9.5 ; (b6)時空混沌,b=10Fig.3.Influence of parameter bon spatio-temporal patterns: (a) Dispersion curves under different parameters b; (b1) static honeycomb hexagon pattern at b =8.5 ; (b2) single-period synchronous oscillation hexagon pattern at b =9 ; (b3) non-synchronous oscillation hexagon pattern of 2 times the period at b =9.25 ; (b4) non-synchronous oscillation hexagon pattern of 5 times the period at b=9.33 ; (b5) non-synchronous oscillation pattern of 3 times the period at b =9.5 ; (b6) spatio-temporal chaos at b =10.

3.3 圖靈模強度 h2 對振蕩六邊形斑圖的影響

由前文可知, 振蕩六邊形斑圖是由圖靈模 k1與其高階模相互作用而成.接下來研究Brusselator系統的圖靈模強度 h2對振蕩六邊形斑圖的影響.分兩種情況來討論: 一是兩個圖靈模之間滿足空間共振關系; 二是不滿足空間共振關系.首先討論不滿足空間共振的情況.以波數比為1∶5為例, 固定參數 Du2=21.9 , Dv2=400 , 使圖靈模始終保持 k1=0.2 , h1=0.3 , 并且固定耦合強度α=0.15.通過調節參數 Du1和 Dv1的大小, 保證圖靈模 k2=1 不變, 而只改變圖靈模強度 h2的大小,探究圖靈模強度 h2對振蕩六邊形斑圖的影響.圖4給出了不同 h2下的各種時空斑圖.從圖4(b)可以看出: 在 h2＜-4.8 范圍內, 形成的是靜態圖靈斑圖;在 - 4.8＜h2＜-0.74 范圍內, 形成的是動態斑圖;在 h2＞-0.74 范圍內, 形成的是靜態圖靈斑圖.當h2=-5.5 時, 本征值高度 h2很低, 系統中的次臨界圖靈模 k2不能被激發出來, 且此時高階圖靈模處于圖靈區域內, 所以系統形成了靜態蜂窩狀六邊形斑圖, 如圖4(b1)所示.增大本征值高度h2至—3.44時, 系統中的高階圖靈模處于霍普夫區域內, 且其本征值高于次臨界圖靈模的本征值h2, 此時系統呈現如圖4(b2)所示的同步振蕩六邊形斑圖, 同樣證實了振蕩六邊形斑圖是由圖靈模k1與其高階模相互作用而成的.繼續增大本征值高度 h2, 當 h2=-0.56 時, 次臨界圖靈模的本征模 h2高于高階模盡管高階模也處于霍普夫區域, 但是系統優先選擇 k2, 因此在兩個圖靈模k1和 k2的相互作用下形成了一種具有兩種空間尺度的靜態超六邊形斑圖, 該斑圖中每個晶胞均由四個相鄰的暗點排列而成, 如圖4(b3)所示.該斑圖與介質阻擋放電實驗中觀察到的超六邊形斑圖相類似[39].繼續升高 h2至—0.21, 與前面所述相同, 系統仍然優先選擇 k2, 此時系統呈現六邊形和條紋混合的靜態疊加斑圖, 晶胞整體呈現六邊形排列, 其內部有兩種結構, 一種是六邊形結構, 另一種是條紋結構, 如圖4(b4)所示.在 0 ＜h2＜0.6 范圍內, 此時圖靈模 k2轉變為失穩模, 因此Brusselator模型的斑圖類型主要由圖靈模 k2決定, 但是依然受到圖靈模 k1的影響, 因此系統中呈現斑點與條紋的靜態混合斑圖, 如圖4(b5)所示.繼續增大本征值高度h2, 系統呈現單一波長的靜態條紋斑圖, 即系統完全由其自身的本征模 k2所決定, 如圖4(b6)所示.

圖4 非共振時不同本征值 h 2 下的時空斑圖 (a) 不同本征值 h 2 下的色散關系曲線; (b1) 靜態蜂窩狀六邊形斑圖, h 2=-5.50 ,Du1=5.25 , D v1=6.5 ; (b2) 同步振蕩六邊形斑圖, h 2=-3.44 , D u1=3.62 , D v1=5 ; (b3) 超六邊形斑圖, h 2=-0.56 ,Du1=2.2, D v1=4.6 ; (b4) 疊加斑圖, h 2=-0.21 , D u1=2.1 , D v1=4.8 ; (b5)混合斑圖, h 2=0.26 , D u1=2.03 ,Dv1=5.3 ; (b6) 條紋斑圖, h 2=0.62 , D u1=1.98 ,Dv1=5.8Fig.4.Complex patterns under different eigenvalues h 2 at non-resonance: (a) Dispersion curves under different eigenvalues h 2 ;(b1) static honeycomb hexagon pattern, h 2=-5.50 , D u1=5.25 , D v1=6.5 ; (b2) synchronous oscillation hexagon pattern,h2=-3.44 , D u1=3.62 , D v1=5 ; (b3) super-hexagon pattern, h 2=-0.56 , D u1=2.2 , D v1=4.6 ; (b4) superposition pattern, h 2=-0.21 , D u1=2.1 , D v1=4.8 ; (b5) hybrid pattern, h 2=0.26 , D u1=2.03 , D v1=5.3 ; (b6) stripe pattern,h2=0.62, D u1=1.98 , D v1=5.8.

由此可知, 在非共振條件下, 要想形成振蕩六邊形斑圖, 除了系統中的高階圖靈模處于霍普夫區域內外, 還需滿足Brusselator模型中的次臨界圖靈模 k2對應的本征值高度低于處于霍普夫區域的高階圖靈模的本征值高度.此外, 在某些參數條件下, 處于霍普夫區域模式也可能被激發, 它與基模相互作用可以形成振蕩四邊形斑圖, 但是該振蕩四邊形是不穩定的, 最終會演變為振蕩六邊形斑圖.

接下來討論圖靈模滿足空間共振的情況.固定參數 Du2=21.9 , Dv2=400 , 保證圖靈模大小k1=0.2 及其相應的本征值高度 h1=0.3 不變, 并且固定耦合強度 α =0.15.通過調節參數 Du1和Dv1的大小, 探究圖靈模強度 h2對振蕩六邊形斑圖的影響.圖5給出了不同 h2下的各種時空斑圖.當h2＜-1.5 時, 本征值高度 h2比較低, 且此時高階模處于圖靈區域內, 因此在超臨界圖靈模k1的調制下, 系統形成了靜態蜂窩狀六邊形斑圖(圖5(b1)).增大本征值高度 h2, 在-1.5＜h2＜0范圍內, 兩個子系統中均呈現六邊形陣列排布, 對稱性相同, 滿足空間共振關系.此時雖然高階圖靈模被激發, 并高于次臨界圖靈模 k2, 但是由于空間共振作用, 系統依然優先選擇 k1和 k2兩個圖靈模間的相互作用, 因此在系統中呈現靜態黑眼斑圖, 如圖5(b2)所示.在 h2＞ 0范圍內, 圖靈模k2為失穩模, 此時系統完全由其自身的本征模 k2決定, 形成了如圖5(b3)所示的具有單一波長的條紋斑圖, 該條紋斑圖與介質阻擋放電系統中觀察到的條紋斑圖相符合[25,28].

圖5 共振時不同本征值 h 2 下的時空斑圖 (a) 不同本征值 h 2 下的色散關系曲線; (b1)靜態蜂窩狀六邊形斑圖, h 2=-1.7 ,Du1=14.55, D v1=24 ; (b2) 靜態黑眼斑圖, h 2=-1.1 , D u1=13.6 , D v1=25 ; (b3) 條紋斑圖, h 2=1.0 , D u1=12 ,Dv1=40Fig.5.Spatiotemporal patterns under different eigenvalues h 2 at resonance: (a) Dispersion curves under different eigenvalues h 2 ;(b1) static honeycomb hexagon pattern, h 2=-1.7 , D u1=14.55 , D v1=24 ; (b2) static black eye pattern, h 2=-1.1 ,Du1=13.6, D v1=25 ; (b3) stripe pattern, h 2=1.0 , D u1=12 , D v1=40.

3.4 耦合強度對振蕩六邊形斑圖的影響

耦合強度也是影響不同模式之間相互作用的一個重要因素.圖6(a)給出了不同耦合強度下的色散關系曲線圖及其局部放大圖.可以看出, 霍普夫模本征值的大小隨著耦合強度的增大先減小后增大.圖6(b)給出了不同耦合強度下獲得的相應的時空斑圖.當耦合強度 α =0.1 時, 與圖3(b1)的情況類似, 系統距離霍普夫分岔點還比較遠, 霍普夫模本征值比較小, 且高階圖靈模處于圖靈區域內, 因此系統形成靜態蜂窩狀六邊形斑圖, 如圖6(b1)所示.在 0.12＜α＜0.42 范圍內, 霍普夫模本征值的大小隨著耦合強度的增大呈現下降趨勢, 但是高階圖靈模進入到霍普夫區域內, 系統產生了振蕩六邊形斑圖(圖6(b2)和圖6(b3)).這再一次證實了振蕩六邊形斑圖是由圖靈模 k1與其高階模相互作用而成.繼續增大耦合強度,在 0.42＜ α ＜1 范圍內, 系統中的 k1由原來的超臨界圖靈模變為了次臨界圖靈模, 系統呈現均勻態.因此系統要想產生振蕩六邊形斑圖, k1必須是超臨界圖靈模, 且形成六邊形陣列排布.

圖6 不同耦合強度下的時空斑圖(其他參數同圖1) (a) 不同耦合強度下的色散關系曲線圖; (b1)靜態蜂窩狀六邊形斑圖,α=0.1 ; (b2)同步振蕩六邊形斑圖, α =0.17 ; (b3)非同步振蕩六邊形斑圖, α =0.3 ; (b4)均勻態,α=0.6Fig.6.Spatio-temporal patterns under different coupling intensities at non-resonance: (a) Dispersion relationship curve diagram under different coupling intensities; (b1) static honeycomb hexagon pattern at α =0.1 ; (b2) synchronous oscillation hexagon pattern at α =0.17 ; (b3) non-synchronous oscillation hexagon pattern at α =0.3 ; (b4) uniform state at α =0.6.Other parameters are the same as those in Fig.1.

3.5 振蕩黑眼斑圖

接下來討論兩個圖靈模 k1, k2以及霍普夫模共同作用下生成的振蕩復雜斑圖.圖7給出了兩個圖靈模滿足空間共振時獲得的振蕩黑眼斑圖.色散關系如圖7(a)所示.圖7(b)為該振蕩黑眼斑圖的振幅分布圖, 可以看出, 振幅呈現六邊形陣列排布,且振幅中心斑點處的濃度遠小于外圍濃度.由于該振蕩黑眼斑圖為非同步振蕩, 所以在圖7(c)給出了3個不同斑點處(分別標記為A, B, C )活化子u1隨時間t的變化圖, 可以看出該振蕩黑眼斑圖呈現正弦型時間振蕩, 3個位置處的振蕩周期相同,均為 T =2.84 , 但是相位不相同, A, B, C相位依次延遲, 且3點的振蕩幅度也不相同, A點的振蕩幅度最大.圖7(d)為該振蕩黑眼斑圖的時空演化過程, 顯然, 在振蕩過程中, 各個斑點為非同步振蕩,但在整體上呈現六邊形陣列排布.

圖7 振蕩黑眼斑圖( ( a,b)=(3,10.5) , ( c,d)=(15,9) , D u1=15 , D v1=23 , D u2=21.9 , D v2=400 , α =0.45 ) (a) 耦合系統的色散關系曲線; (b) 振幅分布; (c) 3個位置處 u1 的時間變化關系圖; (d) 斑圖演化過程Fig.7.Oscillatory black-eye pattern ( ( a,b)=(3,10.5) , ( c,d)=(15,9) , D u1=15 , D v1=23 , D u2=21.9 , D v2=400 ,α=0.45 ): (a) Dispersion curve of coupled system; (b) amplitude distribution; (c) time variation of u1 at three positions; (d) evolution of pattern.

該振蕩黑眼斑圖的形成機理與圖5(b2)的黑眼斑圖有所不同.與圖5(b2)相比, 在這種情況下,系統經歷了霍普夫分岔, 激發了霍普夫模式, 因此該振蕩黑眼斑圖是在超臨界圖靈模 k1、次臨界圖靈模 k2以及霍普夫模的共同作用下形成的.

4 結 論

通過線性耦合Brusselator模型和Lengyel-Epstein模型, 數值研究了雙層耦合非對稱反應擴散系統中振蕩圖靈斑圖的動力學行為.模擬結果表明, 時空振蕩圖靈斑圖的形成和選擇取決于霍普夫模、圖靈模及其高階模之間的相互作用.Lengyel-Epstein模型中激發的超臨界圖靈模 k1, 不僅在Brusselator模型中產生了圖靈模 k1, 還激勵了處于霍普夫區域的次臨界模在這兩個模式的相互作用下產生了同步振蕩六邊形斑圖.此振蕩六邊形斑圖形成的條件是Brusselator模型中的次臨界圖靈模 k2的本征值高度低于處于霍普夫區域的高階圖靈模的本征值高度, 且兩個圖靈模之間不存在空間共振關系.隨著控制參數b的增加,該振蕩六邊形斑圖首先經歷倍周期分岔進入雙倍振蕩周期, 經歷多倍振蕩周期后, 在霍普夫模式的參與下, 最終進入時空混沌態.當系統的兩個圖靈模滿足空間共振時, 系統優先選擇空間共振模式,從而產生靜態超點陣斑圖.霍普夫模和圖靈模共同作用下只能產生非同步振蕩圖靈斑圖, 例如振蕩黑眼斑圖.此外, 耦合強度也是影響振蕩圖靈斑圖的一個重要因素.耦合強度不僅可以影響斑圖的振幅大小, 還影響空間結構的具體形式, 隨著耦合強度逐漸增大, 系統依次經歷了靜態蜂窩狀六邊形斑圖、同步振蕩六邊形斑圖以及非同步振蕩六邊形斑圖, 最終進入均勻狀態.

本文的研究結果有助于人們進一步認知各種非線性系統中不同模式之間的相互作用及相應的斑圖選擇機理.