基于扁拱突變理論的路基下伏溶洞頂板穩定性分析

陳言章，謝子翰

（1.廣東省建筑設計研究院有限公司，廣東 廣州 510010；2.廣州市市政工程設計研究總院有限公司，廣東 廣州 510060）

0 引言

在我國巖溶發育地區，無論是高速公路還是市政道路在進行設計時都無法回避路基下伏溶洞這個工程難題，當路基下伏溶洞時，會極大削弱路基的承載力，導致路基塌陷，具有很大的安全隱患[1，2]。目前，設計人員在判斷下伏溶洞穩定定時，主要是參考現行《公路橋涵地基與基礎設計規范》（JTG3363—2019）[3]以及《巖土工程勘察規范》（GB 50021—2009）[4]，但是由于溶洞穩定性問題的復雜性，往往更多地取決于技術人員的經驗性，工程上也更多的不經過計算，便保守采用充填法、強夯法等對溶洞進行處治，往往造成工程造價增加。

目前，在針對路基下伏溶洞頂板穩定性問題，學者、工程師們提出了眾多理論計算模型。韓紅艷等[5]將溶洞頂板簡化為梁板體系，得到溶洞頂板的的跨度、厚度等參數對其穩定性的影響；趙明華等[6]考慮荷載分布的非均布性和非對稱性，基于Boussinesq解求得在任意荷載分布作用下的溶洞頂板穩定性；趙明華等[7]借助復變函數，基于Schwarz 交替法分析了巖溶區存在雙孔土洞時路基的穩定性問題。以上研究均是假定巖層彈性均質，但鑒于巖層破壞存在不規則、不連續等突發特點[8-10]。何忠明等[11]借助尖點突變理論模擬路基在逐層填筑過程中溶洞頂板的極限平衡狀態。張成良等[12]結合以塑性應變能為準則的尖點突變理論探究了頂板厚度、溶洞跨度、上覆土層厚度、巖石強度參數對巖溶頂板極限承載力的影響。

鑒于突變理論在分析系統狀態突變的非線性上具有一定的優勢[13]，本文基于扁拱突變理論，建立了兩端固定鉸支的受力模型；然后，根據突變失穩判定條件，給出了確定路基極限承載能力以及溶洞頂板安全厚度的方法；最后，對影響頂板穩定的進行參數分析。

1 計算模型及基本假定

由于拱結構的受力合理性，在橋梁和隧道結構中得到廣泛應用[14]。根據大量工程實例表明，溶洞形狀大多呈拱形[15]，見圖1。因此，當道路路基下伏溶洞時，本文將溶洞的受力簡化為如圖2 所示的平面應變模型，并做如下假定：

圖1 路基下伏溶洞受荷體系

圖2 簡化計算模型

（1）頂板支座視為兩端固定鉸支，溶洞受荷前拱軸滿足正弦扁拱方程。

（2）溶洞頂板上覆土層自重、路基荷載、汽車荷載等效為均布荷載作在頂板上。

圖中：h 為溶洞頂板的厚度；l 為溶洞頂板的跨徑；q 為作用在溶洞頂板巖層上的均布荷載；f 為受荷載前拱的矢高；u 為均布荷載作用下扁拱形變過程中拱軸中點的高度。

3 扁拱突變分析模型的建立

3.1 勢函數

研究表明，圖2 所示的扁拱只要高跨比相同，則不論其什么形狀（如拋物線形、雙曲線形），其臨界荷載都極為接近[16]。因此，本文假設受荷前拱軸為正弦曲線[17]：

對于兩端固定鉸支扁拱，受荷載后的拱軸方程可表示為：

拱在荷載作用下，拱端受到推力H，故受荷后的拱軸方程應為。

式中：kd、λd分別為彈性地基的剛度和柔度，當兩端固定鉸支約束時，λd=0[18]。

對于扁拱，可假定沿拱軸壓力為常量，且等于水平推力，則可得到：

將式（1）、式（4）代入式（8）中可得水平推力為：

由于扁拱受荷后軸向變形不可忽略，故拱失穩的形狀可由式（4）中的對稱曲線表示。

當扁拱有準靜態位移增量時，拱內彎曲應變能增量為：

式中：k（x）=（y-y0）＂為扁拱軸線相對于初始狀態的曲率M（x）=EI（y-y0）＂為扁拱在y（x）位置時拱內彎矩。

扁拱與彈性地基的應變能增量為：

拱上的荷載勢變化為：

根據能量守恒原理可知[15]：

聯立式（9）、式（10）、式（13）、式（14）、式（15）及式（16），整理得：

將式（17）左右兩邊除以f3，再利用拱軸向柔度，可得：

3.2 突變模型平衡曲面與分叉集方程

對式（18）作如下變量代換：

可將式（18）化成尖點突變模型平衡曲面M 的標準形式：

平衡曲面M 見圖3。在M 上有兩條垂直切線的點集S 上，存在：

聯立式（20）、式（21）消去t，即可得到突變模型的分叉集方程（S 集在控制平面上的投影為分叉集，見圖3）：

圖3 突變模型平衡曲線與分叉集

因此，基于扁拱突變理論的巖溶區路基下伏溶洞頂板突變失穩與否可根據如下判據判定[19]：

（1）當Δ＞0，巖溶頂板處于穩定狀態。

（2）當Δ＜0，巖溶頂板突變失穩。

（3）當Δ=0，巖溶頂板處于臨界狀態。

3.3 路基極限承載力及溶洞頂板安全厚度的確定

通過上述分析，要使得溶洞頂板處于穩定狀態，需滿足Δ≥0，將式（19）代入式（22）中，并整理可得：

（1）溶洞頂板安全厚度的確定

（2）路基極限承載力的確定

根據式（23）可得，巖溶區路基極限承載力為：

3.4 影響因素分析

根據以上分析可知，與頂板突變失穩有關的參數主要有：（1）溶洞頂板厚度h；（2）溶洞頂板跨徑l；（3）溶洞頂板失高f；（4）巖層的彈性模量E；（5）溶洞頂板上覆荷載q。因此本文將針對以上四個參數對溶洞頂板的穩定性進行影響分析。

為了更加直觀探究各參數對頂板穩定性的影響，引入無量綱參量k，將式（24）化簡為：

當k 不小于1 時，表明溶洞頂板處于穩定狀態，反之則易發生失穩。

3.4.1 溶洞頂板厚度的影響分析

為探究溶洞頂板厚度對其穩定性的影響，令q=100 MPa，E=19 GPa，f=4 m，l 為12 m、15 m、18 m，并使溶洞頂板厚度h 分別為0.5 m、1.0 m、2.0 m、3.0 m、4.0 m 時，代入式（25）可得，溶洞頂板厚度h 對k 的影響，見圖4。

圖4 溶洞頂板厚度影響分析

通過圖4 可知，隨著溶洞頂板厚度的減小，無量綱參量k 隨之減小，當溶洞頂板厚度達到某一臨界厚度時，k 將由大于1 的值變化到小于1 的值，此時頂板也將發生失穩。如當溶洞頂板跨徑為15 m 時，此時溶洞頂板的失穩的臨界厚度約為0.63 m。

3.4.2 溶洞頂板跨徑的影響分析

為探究溶洞頂板跨徑對其穩定性的影響，令q=100 MPa，E=19GPa，f=4 m，h 為0.5 m、1.0 m、2.0 m，并使溶洞頂板跨度l 分別為6 m、9 m、12 m、15 m、18 m時，代入式（25）可得，溶洞頂板跨度l 對k 的影響，見圖5。

圖5 溶洞頂板跨徑影響分析

通過圖5 可知，隨著溶洞頂板跨徑的增大，無量綱參量k 隨之減小，當溶洞頂板跨徑達到某一臨界跨度時，k 將由大于1 的值變化到小于1 的值，此時頂板也將發生失穩。如當溶洞頂板厚度為1.0 m 時，此時溶洞頂板的失穩的臨界跨徑約為17.1 m。

3.4.3 溶洞頂板失高的影響分析

為探究溶洞頂板失高對其穩定性的影響，令q=100 MPa，E=19 GPa，l=15 m，h 為0.5 m、1.0 m、2.0 m，并使溶洞頂板失高f 分別為2 m、3 m、4 m、5 m、6 m時，代入式（25）可得，溶洞頂板失高f 對k 的影響，見圖6。

通過圖6 可知，隨著溶洞頂板失高的增大，無量綱參量k 隨之增加。說明當溶洞頂板跨徑一定時，隨著溶洞失高與跨徑比值的增加，溶洞頂板的拱效應越強，溶洞頂板的極限承載力也越高。

圖6 溶洞頂板失高影響分析

3.4.4 巖層的彈性模量的影響分析

為探究巖層彈性模量對溶洞頂板穩定性的影響，令q=100 MPa，l=15 m，f=4 m，h 為0.5 m、1.0 m、2.0 m，并使巖層的彈性模量E 分別為17 GPa、19 GPa、21 GPa、23 GPa、25 GPa 時，代入式（25）可得，巖層彈性模量E對k 的影響，見圖7。

圖7 巖層彈性模量影響分析

通過圖7 可知，隨著巖層彈性模量的增加，無量綱參量k 呈線性遞增，說明溶洞頂板的極限承載力與巖層彈性模量正相關。

3.4.5 溶洞頂板上覆荷載的影響分析

為探究溶洞頂板上覆荷載對其穩定性的影響，令E=19 GPa，l=15 m，f=4 m，h 為0.5 m、1.0 m、2.0 m，并使溶洞頂板上覆荷載q 分別為50 MPa、100 MPa、150 MPa、200 MPa、250 MPa 時，代入式（25）可得，溶洞頂板上覆荷載q 對k 的影響，見圖8。

通過圖8 可知，隨著溶洞頂板上覆荷載的增加，無量綱參量k 呈非線性遞增，說明溶洞頂板的極限承載力與溶洞頂板上覆荷載負相關。

圖8 溶洞頂板上覆荷載影響分析

4 結論

（1）根據路基下伏溶洞受荷體系的力學特性，將結構體系簡化為兩端固定鉸支的扁拱模型，其受力特點更加符合工程實際。

（2）基于扁拱突變理論推導出路基下伏溶洞頂板的極限承載力及最小安全厚度，該方法可綜合分析溶洞自身各參數及其上覆荷載對頂板穩定性的影響。

（3）溶洞頂板的極限承載力隨著溶洞頂板厚度h的增加，溶洞頂板失高f 的增加、巖層彈性模量E 的增加而增加，隨著溶洞頂板跨徑l、溶洞頂板上覆荷載q 的增加而減小。