基于猶豫模糊集的不等長序列識別方法及應用

李雙明，關欣，孫貴東

（1.海軍航空大學，山東 煙臺 264001；2.92941 部隊，遼寧 葫蘆島 125001；3.32801 部隊，北京 100082）

1 引言

猶豫模糊集作為一種新興的模糊集理論[1-2]，能夠對認知信息進行充分表述，十多年來吸引了廣大學者的極大關注，得到了快速的發展，出現了對偶猶豫模糊集[3]、概率猶豫模糊集[4]和猶豫模糊語言集[5]，并被應用到多屬性決策、聚類分析、模式識別等諸多領域。距離和相似性測度是猶豫模糊集理論中極其重要的研究內容，二者是可以相互轉化的[6]，本文僅研究猶豫模糊集的距離測度。

Xu 等[7]研究了猶豫模糊集的距離測度和相似度概念，通過對長度不同的猶豫模糊數重排序和增加最大（最小）隸屬度的方式補齊。Peng 等[8]提出了廣義綜合加權距離測度，假設猶豫模糊數的長度相等。猶豫模糊數的長度也是區分其不同的一個指標，文獻[9-11]定義了一系列包含猶豫度的距離測度。Zhang 等[12]提出了猶豫模糊距離集的概念，通過對猶豫模糊距離集的比較實現決策，與基于向量計算的距離測度不同，該方法是基于集合的概念進行計算。Tang 等[13]提出一種新的猶豫模糊距離測度，該方法不需要對不同長度的猶豫模糊數補齊，但是對條件自反性提出可更苛刻的要求，只有當2 個猶豫模糊數的隸屬度為單個且相等時，猶豫模糊距離才等于零。Hu 等[14]定義了上邊界足跡、下邊界足跡以及區間邊界足跡，通過上下邊界足跡的差別定義了一種新的相似度，但本質和文獻[7]中的相似度是一樣的。Singha 等[15]在現有距離測度的基礎上，通過隸屬度差與和的相對值，定義了一種改進的猶豫模糊距離測度。Farhadinia 等[16]研究了一類基于Hausdorff 距離的猶豫模糊距離，它不需要對猶豫模糊數的長度補齊，也不需要對猶豫模糊數重排序。Rezaei 等[17]定義了包含猶豫度和猶豫模糊范圍的猶豫模糊距離測度。

對已有文獻研究發現，大部分的猶豫模糊距離測度需要滿足2 個假設條件：一是猶豫模糊數中的隸屬度按降序或升序排列；二是用悲觀法或樂觀法將2 個不同長度的猶豫模糊數補齊，使其長度一致。這樣會引入額外的誤差信息，使判別結果違背實際情況。從度量空間的數學角度，現有的距離測度不能完全滿足度量空間的基本性質，所以其定義的距離測度只是在特定假設條件下的測度函數，不能嚴格地稱其為度量測度。Hausdorff 距離測度盡管釋放了對隸屬度長度和排序的要求，但只用到了猶豫模糊數中的部分信息。此外，盡管猶豫模糊集理論已經應用到模式識別等相關領域，但都是在猶豫模糊信息環境下開展討論的，而對于非猶豫模糊信息的場景該如何應用，則缺乏相關研究。

序列類型數據是多傳感器測量中的一種重要數據類型，不同傳感器、不同特征參數上的測量值大小范圍及物理量綱一般是不同的。大多數研究文獻都聚焦在序列數據的關聯問題上[18-19]，尤其是不等長序列的關聯問題，其任務就是確定一種度量函數，實現對2 個序列的比較[20]，而對于不等長序列的識別問題研究較少，尤其是用不等長數據序列求解復雜系統問題的研究更少。例如，在雷達、通信等方面[21-22]，正確的目標識別為態勢感知和控制人員的決策提供重要支撐。因電子技術的快速發展，多種新體制信號頻頻出現，如射頻頻率有固定、捷變、組變、跳變等類型，脈沖重復周期有固定、參差、組變、抖動、滑變等類型，脈寬有固定、多脈寬組合、抖動等類型，傳統的識別方法已不能滿足需求。盡管信號的調制樣式多變，但可以將其視為一種時間（周期）性的不等長序列數據，將新體制信號的識別問題歸結為不等長序列數據的識別問題，又因為空間電磁環境的復雜和強干擾性，偵察的數據往往是不確定的、帶有較大誤差的，而猶豫模糊集理論為該問題的建模、求解提供了一個新的思路。為此，本文將猶豫模糊集理論應用到上述問題中，提出了基于猶豫模糊特征距離測度的不等長序列識別方法。

2 理論基礎

2.1 猶豫模糊集

Torra 給出了猶豫模糊集的語言描述定義[1]。

定義1X表示參考集（論域），猶豫模糊集為X上的一個函數，該函數返回[0,1]上的一個子集。

Xia 等[23]根據Torra 的觀點，給出了猶豫模糊集的數學描述。

記有限對象集X= {x1,x2,…,xn}，A為X上的猶豫模糊集。

其中，h A(x)由[0,1]上的有限個數值構成，表示對象x隸屬于A的多個可能取值，稱為猶豫模糊數。

2.2 猶豫模糊距離

文獻[7]中定義的廣義猶豫模糊距離為

文獻[13]給出了廣義猶豫模糊距離為

式(3)滿足有界性、條件自反性、對稱性和三角不等式。盡管該方法不用對2 個不同長度的猶豫模糊數補齊。但是按照條件自反性，如果hA(xi)=hB(xi)，l Ai=lBi≠ 1，則d(hA(xi),hB(xi)) ≠ 0，在識別問題上，出現這樣的結果是違反直覺的。

3 問題來源及識別模型

以新體制雷達輻射源信號識別為例進行描述。新體制雷達的特征參數往往具有周期性變化特點，如射頻頻率有固定、捷變、組變、跳變等多種類型，某個工作模式上的特征參數不再為單一固定數值，即不能用單一固定數值完成對該工作模式的描述，而需要一組周期性變化的數值來完成對該工作模式的描述，并且不同工作模式上的數值個數可能不等。這樣一組數據被稱為（周期性）序列數據，而待識別目標的特征參數同樣是序列數據，在識別中會產生如下問題。

1) 等長序列的匹配問題

已知數據庫中目標A在特征屬性P上的序列測量值為 {x1,x2,x3,x4}，因通信時延等因素，待識別目標在特征屬性P上的序列測量值為，但不能確定該序列的起始點該對應數據庫中的那個點，如對點來講，不知道應該匹配 {x1,x2,x3,x4}中的哪個測量點。

2) 不等長序列的匹配問題

已知數據庫中目標A在特征屬性P上的序列測量值為 {x1,x2,x3,x4}，因環境噪聲干擾等因素，待識別目標在特征屬性P上的序列測量值為，顯然2 個序列的長度不相等，正是因為序列的不對等，所以無法確定短序列的起始點應該對應長序列的哪個點。

在實際測量過程中，無論數據庫中的是已知目標數據，還是未知目標數據，因各種因素的影響，其結果都帶有一定的不確定性，為此，本文假設序列數據中的每個點都是模糊數，序列數據為模糊序列數據。

3.1 問題描述

3.2 識別模型

1) 模糊數的格貼近度

2) 模糊數集的相近程度表征

2 個序列存在有序性及不等性，下面介紹如何確定2 個有序模糊數集之間的相近程度。

通過上述的匹配方式，可不必考慮因時間周期性帶來的排序問題。

4 廣義集成特征距離測度

定義2設A和B為2 個在X上的猶豫模糊集，記A和B的距離測度為d(A,B)，滿足以下性質。

性質1有界性：0 ≤d(A,B) ≤ 1。

性質2對稱性：d(A,B)=d(B,A)。

性質3條件自反性：d(A,B)=0，當且僅當A=B。

性質4三角不等式：d(A,C) ≤d(A,B)+d(B,C)。

表1 猶豫模糊數表示的決策信息

定義3[23]對于在給定論域X= {x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊數h(xi)，稱s(h(xi))為猶豫模糊數h的均值。

定義4[24]對于在給定論域X= {x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊數h(xi)，稱v(h(xi))為h(xi)的方差。

定義5對于在給定論域X={x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊數h(xi)，稱r(h(xi))為猶豫模糊數h(xi)的相對范圍。

定義6[11]對于在給定論域X= {x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊數h(xi)，稱u(h(xi))為猶豫模糊數h(xi)的猶豫度。

通過定義3～定義6，可以用一個新的特征向量

來實現對猶豫模糊數h(xi)在特征空間上的表示（用特征向量h′(xi)替代猶豫模糊數h(xi)），這樣就將數據空間中的距離測度計算問題轉化到特征空間中處理，解決了猶豫模糊數隸屬度長度不等帶來的困難。

從另外一種角度來看，上述過程也可以解釋為通過特征轉換把h(xi)變換成h′(xi)，h′(xi)可認為是規范化的廣義猶豫模糊數，每個隸屬度的位置是固定有序的，長度也是固定的，不用再考慮隸屬度的排序問題和長度補齊問題。在不引起歧義及充分理解各符號意思的前提下，式(17)可簡寫為

式(19)中沒有對2 個長度不等的猶豫模糊數補齊，括號內第5 項只對排序后2 個猶豫模糊數較短的部分進行比較，舍去了較長猶豫模糊數剩余的隸屬度，這樣做有2 個目的：一是不引入多余的信息，二是使新的距離測度滿足定義2 中的性質3。

考慮對象xi的權重wi，wi≤ 1且，則式(19)變為猶豫模糊加權廣義集成特征距離，即

定理1設在給定論域X= {x1,x2,…,xn}上的2 個猶豫模糊數為A和B，式(19)和式(20)定義的距離測度滿足定義2 中的4 條性質。

證明式(19)和式(20)形式上是一樣的，只對式(19)進行證明。

1) 性質1 和性質2 顯然成立。

2) 當A=B時，易 得d(A,B)=0。由d(A,B)=0可得

因此，性質4 成立。

綜上所述，定理1 成立。證畢。

5 識別過程

5.1 特征參數權重

1) 熵測度法

將每一個特征參數Aj視作定義在目標類別集

2) 支撐度法

以特征參數為猶豫模糊集，論域為目標集，每類目標不區分重要程度，采用式(19)計算距離。每個特征參數（猶豫模糊集）的支撐度為

相對于所有其他特征參數的支撐度之和為

每個特征參數的權重為

5.2 結果判定

為便于表述，將第3 節中決策信息表簡寫成決策矩陣的形式，不再區分各個模式，即

基于本文猶豫模糊廣義集成特征距離的VIKOR（visekriterijumska optimizacija i kompromisno resenje）判別方法步驟如下。

步驟1確定正理想解和負理想解。

為不引入誤差，設正、負理想解的長度與每個Ai中最短猶豫模糊數的長度保持一致，即

步驟2分別計算各個目標類別的群體效能值Si和個體后悔值Ri。

步驟3計算各目標類的折中值Qi。

步驟4對Q={Qi}、S={Si}、R={Ri}分別升序排列，升序后的排列為Q′= {Qσ(i)}、S′= {Sσ(i)}、R′= {Rσ(i)}，得到3 種排序方案，σ(i)表示第i小的值。

步驟5由最小Qσ(1)決定的目標類別為識別目標，即最好的折中解，需要同時滿足以下2 個條件。

條件1。

條件2決策時可接受的穩定性，目標類σ(1)對應的群體效能值和個體后悔值其中至少有一個也是最小值，即目標類σ(1)也是群體效能值或個體后悔值所決定的最優方案。

步驟6如果上述的條件有一個得不到滿足，則提出如下的折中解。

1) 如果只有條件1 滿足，則折中解為σ(1)和σ(2)。

2) 如果只有條件2 滿足，則折中解為σ(1),σ(2),…,σ(M)，滿足σ(M) ?σ(1)<。

6 仿真分析

本節的仿真分析包括三部分：1) 數值算例，驗證本文所提特征距離測度的分辨能力；2) 猶豫模糊環境下能源策略的選擇問題，驗證本文方法與其他決策方法的排序能力；3) 目標識別的應用問題，驗證本文方法對有序不等長序列的識別能力。

6.1 數值算例

例1[17]設論域X={x}，在X上存在2個模式，表示為猶豫模糊數的形式，分別為h1= {1 .0,0.95}和h2= {1 .0,0.5,0.45}，存在一個被識別模式h0= {0 .8,0.75,0.7}。

將本文方法分別與文獻[7]方法、文獻[9-10]方法、文獻[11]方法的距離測度進行對比，結果如表2 所示。

表2 例1 中的計算結果對比

可以直接判斷模式h0屬于模式h1，而不是模式h2，那么d(h0,h1)就應該小于d(h0,h2)，表2 中的計算結果表明，不論系數λ如何變化，文獻[7]方法、文獻[9-10]方法、文獻[11]方法中的計算結果都是錯誤的，本文方法的計算結果都是正確的。

例2[10]設論域X={x}，在X上存在3 個模式，表示為猶豫模糊數的形式，分別為h1={0.1911,0.155 6}，h2= {0.8560,0.4902,0.4225}，h3={0.815 9,0.460 8,0.457 4,0.450 7}。

將文獻[7]方法與本文方法的距離測度進行對比，計算結果如表3 所示。從表3 中可知，不論系數λ如何變化，文獻[7]方法距離測度不滿足三角不等式。

表3 例2 中的計算結果

例3 設論域X={x}，在X上存在3 個模式，表示為猶豫模糊數的形式，分別為h1= {0.95,0.9}，h2= {0.4}，h3= {0.9}。

將本文方法的距離測度與文獻[11]方法、文獻[17]方法的距離測度進行對比，計算結果如表4 所示。在文獻[11]方法和文獻[17]方法中，系數λ取值的不同，計算結果是不一樣的。當λ=1時，文獻[11]方法和文獻[17]方法的距離測度都不滿足三角不等式，而本文方法中無論系數λ取何值，距離測度都滿足三角不等式的要求。

表4 例3 中的計算結果

綜合考慮例2 和例3 的計算結果可知，文獻[7]、文獻[11]、文獻[9-10]和文獻[17]中定義的距離測度不能夠全部滿足定義2 中的4 條性質，從嚴格的數學角度，其所定義的距離測度不能構成度量空間，可以說這樣定義的距離是片面的，而本文所提的距離測度則成為度量空間。

6.2 能源策略選擇

本節中涉及的數據來自文獻[7]和文獻[13]。對5 個能源項目進行投資Pi(i= 1,2,…,5)，有4 個準則分別為技術因素C1、環境因素C2、技術因素C3、經濟因素C4。準則的權重系數向量為w=(0.15,0.3,0.2,0.35)。決策者以匿名方式對每個備選方案進行評估，評估值是以猶豫模糊數提供的，猶豫模糊決策信息如表5所示。選定理想解P*={1}作為比較的參考點，通過計算與理想解之間的距離，來實現方法排序，文獻[7]方法、文獻[13]方法、文獻[16]方法及本文方法的排序結果如表6所示。

表5 猶豫模糊決策信息

表6 排序結果

將理想解設定為P*= {1}，那么直覺上5 個項目中最可能被選中的項目應該是項目P3，本文的計算結果符合預想，且不同的λ取值下其排序結果的最優解是一致的。而文獻[7]方法、文獻[13]方法和文獻[16]方法的較優項目為P3或P5，其中選擇項目P5是不合適的，因為選擇的理想解為P*={1}，這就意味著決策者對各準則上的期望收益是確定性的，對風險是可控的，應該根據這個原則來決定哪個項目是最優的。顯然項目P5各個準則上的猶豫程度是最大的，那么它的不確定性也是最大的，所以對那些誤選擇后果無法挽回的項目更是不可取的。文獻[7]方法、文獻[13]方法和文獻[16]方法之所以選擇P5為合適解，是因為在計算過程用最大值補齊了2 個不等長的猶豫模糊數，導致猶豫模糊決策信息產生變化，甚至已經不是原有決策信息，因此產生的結果是不合適的。

6.3 目標識別應用

假設目標數據庫中有4 類目標，分別為U1、U2、U3、U4；每個目標有3 種特征參數，分別為A1、A2、A3；每種特征參數的測量值為周期性（有序）序列型數據，工作模式如表7 所示。

表7 目標類別及工作模式

設選取表中的模式5 作為被識別模式，由于噪聲的影響，該模式的序列長度可能會發生變化，因此分2 種情況進行仿真。

情況1 模式序列的原長度保持不變，疊加隨機噪聲形成被識別模式的數據，為reco_mode1={[3 792.46,3 871.88,3 957.04],[1 287.71,1 377.71],[15.88]}。

情況2 模式序列的原長度發生變化，疊加隨機噪聲形成被識別模式的數據，為reco_mode2={[3 792.46,3 871.88],[1 287.71,1 377.71,1 621.32],[6.78,7.2]}。

根據第5節中的特征參數權重確定方法和結果判定方法，則可以形成以下2 種識別方法：基于熵測度的VIKOR 識別方法（下文簡稱為熵測度法）、基于支撐度的VIKOR 識別方法（下文簡稱為支撐度法）。

熵測度法和支撐度法的權重計算結果如圖1 所示。圖1 中entropy_w_1、entropy_w_2、support_w_1、support_w_2 分別表示情況1 中基于熵測度的權重、情況2 中基于熵測度的權重、情況1 中基于支撐度的權重、情況2 中基于支撐度的權重。

圖1 權重計算結果

從圖1 中可見，熵測度法的權重值起伏較大，支撐度法的權重值比較均勻。3 種特征參數中，特征1 和特征2 的權重大于特征3 的權重。

情況1 和情況2 基于熵測度法和支撐度法的計算結果如圖2～圖5 所示。

圖2 情況1 基于熵測度法的計算結果

圖3 情況1 基于支撐度法的計算結果

圖4 情況2 基于熵測度法的計算結果

圖5 情況2 基于支撐度法的計算結果

圖2～圖5 的結果表明，對于情況1 和情況2，模式5 的群體效能值、個體后悔值和折中值都是最小的，都判定被識別目標為U2，判定結果正確。

7 結束語

針對不等長序列識別問題，本文利用模糊數的格貼近度，建立了基于猶豫模糊集的不等長序列識別模型。本文提出了一種新的猶豫模糊廣義集成特征距離測度，一方面解決了不等長猶豫模糊數的度量問題，另一方面解決了現有距離測度不完全滿足度量空間相關性質的問題。本文提出了2 種特征權重的計算方法，即熵測度法和支撐度法；結合2 種權重計算方法，提出了基于猶豫模糊廣義集成特征距離測度的VIKOR 判定方法。