復合頂板錨桿力學特征分析

王建偉，展勤建

(1.瓦斯災害監控與應急技術國家重點實驗室，重慶 400037；2.中煤科工集團重慶研究院有限公司，重慶 400037；3.太原理工大學，山西 太原 030024；4.廣東石油化工學院，廣東 茂名 525000)

0 引 言

由于各分層間物理性能差異較大，層間黏結力較低[1-3]，相對于單一巖層，復合頂板內錨桿的力學特征存在獨特的復雜性。盡管國內外學者針對復合頂板的錨固支護技術進行了深入的研討，相關理論已取得了長足有效的發展，為巷道圍巖的穩定控制做出了一定貢獻，涉及的研究手段及治理方法亦不失為有效的技術途徑[4-5]。然而，由于研究焦點主要集中于復合頂板巷道圍巖的穩定性控制和錨桿支護系統整體作用效果的探討：或為歸納分類復合巖層的破壞機理及形式，并提出相應的巷道圍巖控制措施[6-9]，或為突出錨桿支護系統對軟硬相間巖層的加固效果[5,10-12]，但未能形成通識的基礎理論。

復合頂板巷道的穩定控制勢必成為后續煤炭開采過程中主要的技術難題之一。隨著淺部優質資源的日益枯竭，由于技術瓶頸的制約和綜合機械化高強度開采，加速開采巖性劣化及地質結構復雜程度加劇的深部資源的進程已日益凸顯[13-14]。加之與沉積巖形成有關的煤系地層對巷道層位的影響，復合頂板成為煤炭資源開采過程中常見的頂板類型。然而，由于缺乏必要的針對性研究，復合頂板的錨桿支護體系設計通常基于經驗主義和感知性能，加之經濟因素的制約，往往使得復合頂板的錨固支護系統不盡合理，甚至承受由于頂板事故的發生所帶來的問題[15]。因此，有必要針對復合頂板巷道合理支護技術開展進一步系統深入的研究。其中，探尋復合頂板內錨桿合理的力學模型，進而開展錨桿力學特征分析顯得尤為重要。

縱觀已有研究，當前復合頂板巷道的錨桿支護技術仍然處于起步階段，復合頂板內錨桿力學特征分析的研究更鮮見于文獻。本文基于一定的條件假設，借鑒樁基礎平衡理論的研究成果，建立了復合頂板內錨桿力學模型，通過理論推導、案例的MATLAB解析計算及FLAC3D模擬對比分析，驗證了復合頂板內錨桿力學模型的正確性。在此基礎上，進行了復合頂板錨桿的軸力與膠結面上切應力分布形態分析。相應研究手段及結論為復合頂板內錨桿的力學特征分析及支護設計提供一種有效的新途徑。

1 復合頂板錨固體系的本構方程

1.1 條件假設及模型的建立

為了建立復合頂板內錨桿的力學模型，將錨桿側巖體阻力以周-邊彈簧代替，彈簧的剛度系數為ki=2.75Gi/(πD)，錨桿端部巖體阻力以端部彈簧代替，剛度系數為k0=8G1/[πD(1-μ1)]。其中，Gi為第i層圍巖的剪切模量，如G1為錨固端部所在巖層的剪切模量，μ1為錨固端部所在巖層的泊松比，D為錨固體直徑。由此建立的復合頂板錨固系統的軸向力學模型如圖1所示。

圖1 錨固系統軸向力學模型

在忽略次要因素的基礎上提出以下假設條件。①錨桿為連續彈性的均質圓截面桿體，錨固體在軸向變形時滿足平面設計；②雖已有研究表明復合頂板為正交各向異性或各向異性體，但由于錨桿力學特征主要表現在軸向方向上，其與復合頂板巖層的層位關系存在一定的特殊性，本文認為錨固劑及復合頂板錨固段內各分層仍為各向同性的均質彈性體；③錨固段內巖體處于完全線彈性狀態，錨桿與圍巖之間的相互作用采用線彈性彈簧加以實現；④不考慮圍巖變形產生的附加荷載等其他因素對錨桿受力特征的影響；⑤忽略錨桿在軸向拉伸或壓縮時橫截面的改變量以及圍巖與膠結面滑移所帶來的損傷效應；⑥不考慮實際工程中軟弱結構面、節理裂隙、斷層結構以及巖層交界面處的離層等因素；⑦錨桿-錨固劑-圍巖黏結良好，即錨桿與圍巖滿足變形協調的條件。

截取長度為dx的錨固微元體為研究對象，如圖1所示，由平衡條件可得錨固微元體軸向平衡方程，見式(1)。

(1)

式中：A為錨桿橫截面積；C為錨桿圓截面周長；ui為錨桿軸向位移函數；σi為錨桿橫截面上的正應力；i為錨固段內巖層的編號，i=1，2，…，n。

由胡克定律可得式(2)。

(2)

將式(2)代入式(1)可得式(3)。

(3)

1.2 錨固段內錨桿位移函數

錨固微元體取于第一層巖層內，此時有式(4)。

(4)

(5)

由此，式(5)的解為式(6)。

u1=C1eα1x+C2e-α1x

(6)

同理可得式(7)。

(7)

1.3 自由段內錨桿位移函數

錨固微元體取于自由段內時，此時有式(8)。

(8)

式中，σ*為錨桿橫截面上的正應力，由此可得式(9)。

(9)

式中，u*為自由段內錨桿軸向位移函數。因此，自由段內錨桿位移函數的解為式(10)。

u*=C2n+1x+C2n+2

(10)

1.4 邊界條件和連續條件

設巷道支護平衡時，錨桿根部軸力為F，則錨桿錨固系統對應的邊界條件為式(11)。

(11)

為了保證錨桿的完整性，各段間還應滿足位移的連續條件，見式(12)。

(12)

與此同時，各段間還應滿足錨桿軸力連續條件見式(13)。

(13)

1.5 常數項的求解

觀察式(7)可知，若要完整獲得錨桿位移函數的解，則必須完成常數項求解過程。結合上述公式，為說明常數項的存在和唯一性，本文給出了n=4時錨桿位移函數的常數項求解過程及結果。結合上述邊界條件和連續條件可得獨立方程見式(14)。

(14)

由式(14)可得相應常系數項見式(15)。

式中：

λ1=(1+α3/α4)[(1+α1/α2)(1+α2/α3)eβ1+

(1-α1/α2)(1-α2/α3)eβ2]+

“從政經驗型”類似宋元時期的“概論體”，是宋元以來官箴書的主流類型與模式。所謂“從政經驗”，即作者直接表達或論述從政者在到任離職、人際關系、行政事務等方面所應遵循的原則、秉持的官德、注意的事項，或辦事的方法技巧等，以達到對官員進行勸誡與教導之目的。可以說，宋元及明代中前期大多數官箴書基本上都屬于此種類型。晚明官箴書依舊繼承了宋元以來的這種書寫方式。如佘自強的《治譜》直接論述或表達官吏在從政中應注意的事項及施政的方法技巧，這就是宋元官箴書的主流模式。

(1-α3/α4)[(1+α1/α2)(1-α2/α3)eβ5+

(1-α1/α2)(1+α2/α3)eβ6]

λ2=(1+α3/α4)[(1-α1/α2)(1+α2/α3)eβ3+

(1+α1/α2)(1-α2/α3)eβ4]+

(1-α3/α4)[(1-α1/α2)(1-α2/α3)eβ7+

(1+α1/α2)(1+α2/α3)eβ8]

λ3=e2α4L3{(1-α3/α4)[(1+α1/α2)(1+α2/α3)eβ1+

(1-α1/α2)(1-α2/α3)eβ2]+

(1-α1/α2)(1+α2/α3)eβ6]}

λ4={(1-α3-α4)[(1-α1/α2)(1+α2/α3)eβ3+

(1+α1/α2)(1-α2/α3)eβ4]+

(1+α3/α4)[(1-α1/α2)(1-α2/α3)eβ7+

(1+α1/α2)(1+α2/α3)eβ8]}e2α4L3

其中：

結合上述求解結果及理論分析可知，復合頂板內錨桿的位移函數主要由下列參量控制：α1，…，αi，…，αn，(i=1，2，…，n)。

2 算例驗證與分析

為了驗證上述力學模型的正確性，結合工程實際，選取一算例，矩形煤巷埋深420 m，巷道寬4.0 m，高3.0 m，巷道頂板為復合頂板。錨桿支護間排距為1.0 m×1.0 m，錨桿選取直徑為25 mm的左旋無縱筋螺紋鋼錨桿，錨桿彈性模量為200 GPa。巷道頂板自上而下的巖層分別為：①細砂巖，剪切模量G1=7.6 GPa，泊松比μ=0.20，巖層厚度為6.0 m，L1=1.0 m；②砂巖，剪切模量G2=3.80 GPa，巖層厚度為1.0 m；③砂質泥巖，剪切模量G3=1.75 GPa，巖層厚度為1.0 m；④泥巖，剪切模量G4=0.90 GPa，巖層厚度為1.0 m。

本文主要通過FLAC3D模擬監測數據和理論計算數據的對比分析加以驗證。模擬過程中不僅對巷道兩側的煤層(單一巖層)內錨桿不同截面位置的位移進行了監測，而且對頂板(復合巖層)內錨桿不同截面位置的位移進行了監測。FlAC3D模型及巷道錨桿支護工況如圖2所示，位移監測結果和理論計算結果如圖3所示。

圖2 FlAC3D建模和支護工況示意圖

由圖3可知，模擬監測和理論計算結果呈現出相同的位移分布形態。其中，巷道兩側煤體內錨桿位移誤差僅介于1.66×10-4～4.0×10-2mm，誤差百分比介于0.01%～9.17%。而巷道頂板內錨桿位移誤差范圍僅介于0～5.0×10-2mm，誤差百分比介于0%～9.83%。由此可見，無論是煤體(單一巖層)內的錨桿，或是復合頂板內的錨桿，數值模擬與理論計算的差異均較小，基本控制在10%以內。這表明采用上述理論模型進行錨桿力學特征分析是可行的，相應理論推導過程及計算結果是可靠的。

圖3 理論計算和數值模擬的位移曲線

3 錨桿軸力與切應力分布規律

結合上述理論推導過程可知，復合頂板內錨桿軸力計算公式見式(16)。

(16)

同時，由于dFi=kiCuidx=τiCdx,則有式(17)。

(17)

結合上述理論分析，在設定錨桿錨固段長度為Ln=4.0 m，將錨固段內復合巖層數量設定為n=4，通過設置軟硬相間巖層的不同高度，進行了錨固段內任意截面位置錨桿軸力的理論計算可知，雖然錨桿軸力的解析結果主要由α1，…，αi，…，αn，(i=1，2，…，n)控制，由于復合巖層厚度一般較小，各分層厚度在一定范圍內的變化，似乎對于錨桿軸力的分布形態影響甚微。結合工程實際，本文僅通過復合頂板內各分層剪切模量的梯度性變化，進行了錨桿軸力、膠結面切應力分布形態的考察和隨剪切模量的動態響應機制分析。

3.1 復合頂板錨桿軸力分布規律

設巷道復合頂板內錨固段內自上而下巖層剪切模量分別為G1、G2、G3、G4，自上而下的巖層厚度分別為h1=h2=h3=h4=1.0 m，錨桿端部所處巖體泊松比設定為μ1=0.20。 需要說明的是，為進行剪切模量梯度性變化的巖層，其剪切模量均為0.2 GPa，錨桿根部軸力F=100 kN，錨桿軸力分布形態如圖4所示。

圖4 不同剪切模量時錨桿軸力分布形態

1) 結合上述理論分析，復合頂板的各分層內錨桿軸力的分布形式為分段的指數函數，分段形式主要受分層間剪切模量的差異化影響，指數函數的分段邊界為各分層的上下交界面位置。這將導致錨桿軸力的分布均在各分層的交界面位置出現拐點。

2) 分層剪切模量的梯度性變化，將影響錨固段內錨桿軸力的整體分布形態。上下分層(圖4)剪切模量的梯度性變化，將導致錨固段內錨桿軸力的分布形態呈現相反的響應特征。上分層剪切模量增大，則錨固段內錨桿軸力整體增大；下分層剪切模量增大，則錨固段內錨桿軸力整體減小。

3) 而關于中部分層(圖4)剪切模量的梯度性變化，錨桿軸力分布形態呈現相同的響應特征，值得注意的是，發生梯度性變化的分層將錨固段錨桿分為兩個區段，區段的分界點位于本分層內，為了說明問題，劃定分界點上方為上區段，下方為下區段。隨著某分層剪切模量的增大，上區段錨桿軸力逐漸減小，而下區段錨桿軸力逐漸增大，且相對于該分層上下交界面距離愈小，關于剪切模量的響應程度愈強烈。

4) 錨桿軸力關于不同分層的剪切模量的梯度性變化亦有所不同，相對于下分層距離愈小，隨著分層剪切模量的增大，錨桿軸力的響應程度愈強烈，在分層厚度一致的情況下，錨桿軸力關于下分層剪切模量的響應程度最為強烈，增幅及增量的峰值出現在交界面位置。

3.2 膠結面上切應力分布規律

為了說明問題，在3.1部分錨桿軸力計算時選定的分層剪切模量基礎上，進行了錨固段錨桿膠結面上切應力計算，結合分層剪切模量的梯度性變化，不同剪切模量膠界面上切應力分布形態如圖5所示。

圖5 不同剪切模量時切應力分布形態

1) 由于理論模型基于錨桿軸向平衡理論，隨著各分層剪切模量的梯度性變化，錨桿膠結面上切應力分布形態呈現出與錨桿軸力相對應的響應特征。錨桿膠結面上切應力的分布形式亦為分段的指數函數，函數的分段邊界同為各分層的上下交界面位置；同時，由于支護荷載一定，錨固段內錨桿軸力增大的同時，膠結面上的切應力減小。不同之處在于，軸力出現拐點位置，切應力產生突變。

2) 膠結面上切應力峰值主要出現在兩個位置，其一為錨桿自由段與錨固段的交界處附近(端錨形式)，或是錨桿根部(全錨形式)，這將會在錨固段內各分層剪切模量差異化較小時出現；其二為錨固段內剪切模量相對較大的分層交界面位置，這將會在錨固段內各分層剪切模量差異化較大時出現。

3) 與錨桿軸力的響應特征有所不同的是，分層剪切模量的增大將導致其他分層內錨桿膠界面上切應力減小，相對于該分層的距離愈小，響應程度愈強烈。而該分層內錨桿膠結面上的切應力全區段增大，且沿上分界面至下分界面方向上，切應力的增量及增幅逐漸增大。

4 結 論

1) 由于分層間剪切模量的差異化，復合頂板內錨桿位移、軸力及膠結面切應力分布形式均為分段的指數函數，函數的主要控制量分別為α1，α2，…，αn。指數函數的分段邊界為各分層的上下交界面位置。錨桿軸力在上下交界面位置出現拐點，而膠結面上切應力則在此出現突變。

2) 分層剪切模量對錨桿軸力的影響機制方面。上下分層剪切模量的梯度性變化，將導致錨固段內錨桿軸力分布形態呈現相反的響應特征，上分層剪切模量增大，則錨固段內錨桿軸力整體增大；下分層剪切模量增大，則錨固段內錨桿軸力整體減小。而中部分層剪切模量梯度性變化時，將錨固段錨桿分為兩個區段，分界點位于該分層內，隨著剪切模量的增大，上區段錨桿軸力逐漸減小，而下區段逐漸增大。相對該分層上下交界面位置愈小，關于剪切模量的響應程度越為強烈。

3) 錨桿膠結面上切應力峰值主要出現在兩個位置，其一為錨桿自由段與錨固段的交界附近(端錨形式，)或是錨桿根部(全錨形式)，這將會在錨固段內各分層剪切模量差異化較小時出現；其二為剪切模量相對較大分層的下交界面位置，這將會在復合頂板內各分層剪切模量差異化較大時出現。

4) 分層剪切模量的增大將導致其他分層內膠結面上切應力減小，相對于該分層距離愈大，減小的幅值及幅度愈小；而該分層內膠結面上切應力增大，沿上分界面至下分界面方向，增量及增幅逐漸增大。