考慮參照價格的雙渠道供應鏈動態定價策略

段永瑞 阮小曼 代祥艷

摘 要： 參照價格是指消費者依據產品的歷史價格主觀形成的基準價格。參照價格隨時間變化，且參照價格的變化與當時的價格和參照價格有關。在雙渠道下，消費者對不同的渠道具有不同偏好，且需求隨時間的變化與價格和參照價格有關。采用控制論方法，分別得到了單渠道和雙渠道結構下的最優價格變化路徑，以及參照價格的變化路徑，并得出如下結論：1）穩態價格與初始參照價格無關。當初始參照價格高于穩態價格時，價格函數隨時間遞減，直至達到穩態價格;當初始參照價格低于穩態價格時，價格函數隨時間遞增，直至達到穩態價格。2）在兩種策略中，穩態價格均隨著參照價格彈性系數、折扣因子和記憶因子的增大而變小。

關鍵詞： 雙渠道;參照價格;動態定價;穩態價格

中圖分類號： F 76

文獻標志碼： A

Dynamic Pricing Policy for a Dual-channel SupplyChain Considering Reference Price

DUAN Yongrui RUAN Xiaoman DAI Xiangyan

（School of Economics and Management， Tongji Unversity， Shanghai 200092， China）

Abstract： Reference price refers to the benchmark price subjectively formed by consumers according to the historical price of a product. The reference price is changing over time， and the change rate of reference price is dependent on both the price and reference price. In the dual channel case， the consumers preference on the two channels is different. And the change of demand over time is related to price and reference price. By using the cybernetics method， the optimal price change path and the reference price change path under single channel and double channel structure are derived. The main conclusions are as follows： 1） the steady state price is independent of the initial reference price. When the initial reference price is higher than the steady-state price， the sale price function will decrease gradually and reach the steady price at last. When the initial reference price is lower than the steady price， the sale price function will increase until it reaches the stable price. 2） The steady state price is decreasing in the reference price elasticity coefficient， discount factor and memory factor.

Key words： dual-channel; reference price; dynamic pricing strategy; steady-state price

1 問題描述

考慮由單一制造商和單一零售商組成的兩級供應鏈系統銷售單一產品，產品的銷售渠道分為傳統的線下渠道和線上渠道，假設制造商和零售商雙方信息是完全的。消費者在做購買決策時，不僅要考慮產品的銷售價格，還會考慮其主觀形成的參照價格。參照價格與產品過去的銷售價格、同類產品的銷售價格、消費者對該產品的認知等因素有關。

考慮參照價格的雙渠道供應鏈銷售系統如圖1所示。

在前人的研究文獻中，參照價格依賴產品的過去銷售價格并且隨著時間變化。當消費者遇到一個基于記憶效應的新價格時，會隨之調整主觀形成的參照價格。記憶效應是指消費者對過去銷售價格的記憶。參照Mazumdar等（2005）和Zhang等（2013）的研究，本文將采用下面的微分方程表示參照價格隨時間的變化：

r′（t）=e（p（t）-r（t））

其中：r′（t）=d（r（t））/dt;r（t）表示消費者的參照價格;p（t）表示產品銷售價格;e表示記憶因子且0#e，即消費者對過去產品的記憶能力。假設消費者最初的參照價格為r（0），即r（0）=r0。r0可能由多種因素決定，比如消費者對產品的認知能力、相似產品的價格等。此外，記憶因子e越大，表明消費者對產品過去價格的記憶能力越強，也就是說消費者對產品的忠誠度越低。

參照Fibich等（2003）和Zhang等（2013）的研究，本文運用線性函數表示參照價格與銷售價格的差額和產品需求的關系。

線上渠道需求函數為

d1 （t）=ρa-bp1 （t）+β[r1 （t）-p1 （t）]（1）

線下渠道需求函數為

d2 （t）=（1-ρ）a-bp2 （t）+β[r2 （t）-p2 （t）]（2）

其中：r和1-r分別表示消費者對線上渠道和線下渠道的接受程度，0

2 建模和分析

本節研究不同的渠道結構下考慮參照價格的動態定價策略。首先考慮單渠道時的定價策略，然后在此基礎上考慮雙渠道集中策略下的定價問題。運用最優控制方法，得到了兩種策略下的最優價格函數。

2.1 單渠道供應鏈動態定價策略

假設制造商不開通線上渠道，僅通過線下渠道銷售其產品。假設供應鏈采用集中式決策，目標是使整個供應鏈系統在無限時間區間上的利潤最大。

需求函數為

d（t）=a-bp（t）+b（r（t）-p（t））

制造商利潤函數為

π1=∫+∞0e-τt[（p（t）-w（t））d（t）]dt

其中，t為折現因子。

零售商利潤函數為

π2=∫+∞0e-τt[（w（t）-c）d（t）]dt

因此，單渠道的定價模型為

maxp（t）30p（p）=p1+p2=0+e-tt[（p（t）-c）d（t）]dt

s.t. r′（t）=e（p（t）-r（t））， r（0）=r0（3）

模型（3）為動態最優控制問題，價格p（t）為決策變量，參照價格r（t）為狀態變量，因此本文應用最優控制的方法研究模型（3）所給出的定價問題。

為此，首先構造哈密爾頓函數：

H（p，r，l）=（p（t）-c）[a-bp（t）+b（r（t）-p（t））]+l（t）e[p（t）-r（t）]（4）

可得如下最優控制條件：

H（p，r，l）p=0

l′（t）=tl-H（p，r，l）r

r′（t）=H（p，r，l）l

r（0）=r0，l（0）=0（5）

通過求解，我們能得出下面的結論：

性質1 若制造商采用單渠道，最優銷售價格路徑為：

pb（t）=p0b-（r0-p0b）（1+me）emt（6）

參照價格路徑為：

rb（t）=p0b-（r0-p0b）emt（7）

其中

pb0=（t+e）a+（b+b）（t+he）c（t+e）b+（b+b）（t+he）（8）

m=t2-（t2+e）（t2+he），h=bb+b（9）

由性質1可以得到如下結論：

性質2 在單渠道中價格和參照價格最終趨近于系統的穩態價格p0b。當初始參照價格大于穩態價格，即r03>p0b時，最優銷售價格隨著時間遞減，最終達到穩態價格p0b;當r0

由性質2可知，當r03>p0b時，銷售價格從一個較高值逐漸遞減，直至達到穩態，此時應該采用撇脂定價策略。當r0

性質3 p0be<0，p0bb>0，p0br0=0

由性質3可知，e越大，即消費者對參照價格與銷售價格差額r（t）-p（t）越敏感，穩態銷售價格越低;b越大，即消費者對產品過去價格記憶能力越強，穩態銷售價格越高;折現因子越大，穩態銷售價格越低。穩態銷售價格和初始參照價格無關，事實上當系統達到穩態時，產品的銷售價格等于參照價格，此時參照價格不再對產品的需求有影響。

2.2 雙渠道供應鏈動態定價策略

本節考慮由一個制造商和一個零售商組成的雙渠道供應鏈系統，制造商不僅通過零售商銷售其產品，還開通了線上渠道直接銷售其產品。本節主要研究線上渠道和線下渠道在無限時間水平上的動態定價問題。假設制造商采取集中式決策，目標是使整個系統的利潤最大。

假設線上渠道的價格為p1（t），線上渠道的價格為p2（t），則制造商利潤函數為

π1=∫+∞0e-τt[p1（t）- c]d1（t）+（w-c）d2（t）dt

零售商利潤函數為

π2=∫+∞0e-τt（p2（t）-w）d2dt

在集中式決策下總利潤函數為

p（p1（t），p2（t））=p1+p2=+0e-tt[（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2]dt

令r1（t）為線下渠道的參照價格函數，r2（t）為線上渠道的參照價格函數。參照Mazumdar等（2005）和Zhang等（2013），線下和線上渠道的參照價格的變化可表示為：

r′1（t）=e（p1（t）-r1（t））（10）

r′2（t）=e（p2（t）-r2（t））（11）

由于兩個決策變量，求解過程較為復雜。為簡化運算，本文假設p2（t）=μp1（t），r2（t）=μr1（t），0#m=1，即線上渠道價格和線下渠道價格之比為定值。此時式（10）和式（11）為同一個方程。特別地，當m=1時，線上渠道和線下渠道銷售價格相同。服裝行業的許多企業為維護品牌形象，選擇線上渠道和線下渠道同價策略，如Nike、Zara、Belly等。

因此，雙渠道結構下的定價模型為：

maxp1（t），p2（t）3cp（p1（t），p2（t））=0+e-tt[（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2]dt

s.t. r′1（t）=e（p1（t）-r1（t））， r1（0）=r0（12）

首先構造哈密爾頓函數：

H（p1，p2，r，l）=（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2+le（p1（t）-r1（t））

可得如下最優控制條件：

H（p1，p2，r，l）p=0

l′（t）=tl-H（p1，r，l）r

r1′（t）=H（p1，r，l）l

r1（0）=r0，l（0）=0

p2（t）=mp1（t），r2（t）=mr1（t），0#m=1

通過求解，可得性質4。

性質4 在雙渠道結構中，制造商采用集中式決策，則線下渠道的最優價格函數為

p1d（t）=p0d-（b2（b+b）-（b+2b）e2+2（b+b）me2（b+b）（1+m2）b（b+m2））（r0-F）emt

線上渠道的最優價格函數為

p2d（t）=mp0d-m（b2（b+b）-（b+2b）e2+2（b+b）me2（b+b）（1+m2）b（b+m2））（r0-F）emt

其中，

p0d=ra+（1-r）am+bF（1+m2）+（bc+bc）（1+m）+Ee+bF（1+m2）2（b+b）（1+m2）;

m=11（b+b）（1+m2）（-b+b（b+2bt+2bt-1）m2+（2b+2b）t-（（bm2+bm2+2bt+2bm2t+b（-1+m2）t））2+4（1+m2）（b2（-2+（3+4m2）+4（1+m2）t）-（bò-2b）（-m2+2b（1+m2）（+t））+b（-bò（-1+2（1+m2）+2（1+m2）t）+（-（2+m2）+b（-2+8（1+m2）+8（1+m2）t）））））1/2;

E=[（b+2b-b）（b+m2）（am+bc+bc+bcm+bcm-amr+ra）]/[（（4b2+6bb+4b2）et+（4b2-2bb）e2）（1+m2）+（2bb+b2）e2（3+4m2）-2（be2+b2e2+b2et）m2-（e2+2et）b2];

F=[（am+bc+bc+bc+bcm+bcm-amr+ra）（（-1+m2）+2b（1+m2）（+t）+（b2+2m2+2（1+m2）t））]/[（1+m2）（（（4b2+6bb+4b2）et+（4b2-2bb）e2）（1+m2）+（2bb+b2）e2（3+4m2）-2（be2+b2e2+b2et）m2-（e2+2et）b2）]

性質5 在雙渠道供應鏈動態定價策略中，當r3>F時，線下渠道最優銷售價格函數隨時間遞減，最終達到穩態價格p0d，線上渠道最優價格函數也隨時間遞減，最終達到穩態價格mp0d。當r0

由性質5可知，當r3>F時，線上渠道銷售價格和線下渠道銷售價格均從一個較高值逐漸遞減，直至達到穩態，此時兩個渠道均采用撇脂定價策略。當r0

3 算例分析

本節主要通過算例分析驗證模型的有效性。參考Zhang等（2014）的研究，參數設置如下：市場規模a=1000，制造商的生產成本c=30，銷售價格彈性系數參照價格彈性系數為b=7，折扣因子t=0.2，記憶因子e=0.2。

（1）最優價格函數

在單渠道動態定價策略中，令r0=83.9，pb（t）=82.9+0.3e-0.14t;令r0=81.9，pb（t）=82.9-0.3e-0.14t。最優價格函數如圖2所示：

在雙渠道動態定價策略中，令r0=71.5，線下渠道的最優價格函數為pd1（t）=70.5+0.2e-0.2t。

令r0=69.5時，線上渠道的最優價格函數為pd1（t）=70.5-0.2e-0.2t，如圖3所示。

由圖2和圖3可知，在單渠道動態定價策略和雙渠道動態定價策略中，當初始參照價格r0大于穩態價格時，銷售價格函數隨著時間遞減，直至達到穩態價格。當初始參照價格r0小于穩態價格時，銷售價格函數隨著時間遞增，直至達到穩態價格。對于任一給定的初始參照價格，銷售價格函數都將會達到穩態，穩態價格相同，并且與初始參照價格無關。

（2）b對銷售價格函數的影響

由圖4和圖5可知，在單渠道動態定價策略和雙渠道動態定價策略中，在其他參數不變的情況下，參照價格彈性系數越大，銷售價格越低。即消費者對參照價格與銷售價格的差額越敏感，最優銷售價格越低。

（3）t對銷售價格函數的影響

由圖6和圖7可知，在單渠道動態定價策略和雙渠道動態定價策略中，在其他參數不變的情況下，折扣因子越大，穩態銷售價格越低，折扣因子越小，銷售價格越大。同時，折扣因子越小，價格變化越大，而折扣因子越大，價格變化越小。

（4）e對銷售價格函數的影響

由圖8和圖9可知，在單渠道和雙渠道供應鏈動態定價策略中，最優價格均隨著記憶因子的增大而變小。即消費者對過去價格的記憶能力越強，品牌忠誠度越低，穩態價格越低;反之，消費者對過去產品價格的記憶能力越弱，品牌忠誠度越高，穩態價格越高。

4 結論

本文主要研究了單渠道動態定價策略和雙渠道供應鏈在集中式決策下的動態定價策略。考慮參照價格對需求的影響，參照價格隨時間變化，且參照價格的變化與當時的價格和參照價格有關。本文分別構建了單渠道和雙渠道的動態定價模型，應用控制論方法對模型進行求解，得知兩種策略下的最優價格路徑和參照價格路徑。通過對最優價格的分析得到了：穩態價格與初始參照價格的取值無關，對于任意給定的初始參照價格，銷售價格函數都將會達到穩態，并且穩態價格相同。當初始參照價格高于穩態價格時，銷售價格路徑隨時間遞減，直至達到穩態價格。反之，當初始參照價格低于穩態價格時，銷售價格路徑隨時間遞增，直至達到穩態價格。此外，穩態價格會隨著參照價格彈性系數、折扣因子和記憶因子的增大而變小，并應用算例驗證了上述結論。

本文假設市場上只存在單一產品、單一制造商和零售商，而現實中的消費市場往往存在多種替代性產品、多個制造商和零售商，很多零售商也開通了自己的線上渠道。因此，考慮多個制造商和零售商以及多種替代產品的多渠道定價問題是下一步研究的方向。本文假設所有的消費者對同一產品有著相同的參照價格和參照價格彈性系數。事實上，不同的消費者對同一產品有著不同的參照價格，對參照價格與銷售價格的差額敏感度也不同。因此，未來的研究中可以將消費者在參照效應上的異質性考慮到定價策略中。

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收稿日期：2021-03-02

基金項目：國家自然科學基金項目（71771179;71532015;71371139）

作者簡介：段永瑞（1975—），女，山西太原人，教授，博導，研究方向：服務運作管理，E-mail：yrduan@163.com。