相對τ?extending模*

李煜彥

（隴南師范高等專科學校 數信學院，甘肅 隴南 742500）

0 引言

與連續模和擬連續模相關的問題一直是許多作者的研究對象,其中extending模是與連續模和擬連續模聯系非常緊密的模類,其相關問題是環模理論的研究熱點。[1-5]稱M是extending模(也稱CS模),如果M的每個子模是其直和因子的本質子模。眾所周知,內射模、連續模、擬連續模等都是extending模。近年來,一些作者把對extending模的研究進行了更廣泛的推廣。2007年,Song[6]和Charalambides[7]從撓理論的角度分別研究了extending模和內射模,并分別提出了τ-CS模和τ-內射模的概念。2012年和2017年,?eken,S和Alkan[8-9]也從撓理論的角度定義并研究了τ-extending模,該定義方式與文獻[7]有著本質的不同。2011年至2019年期間,Asgari等人[10-14]從Goldie撓理論的角度研究了t-extending模及其各種推廣,得到了許多有意義的結論。受以上文獻的啟發,對于R-模M,N,本文提出了M是相對N的τ-extending模的概念,研究了M是Aτ-(C3)模的等價刻畫,當M是τ-N-extending模時,討論了模M的直和分解。

1 預備知識

本文中的環都是有單位元的結合環,模指酉右R-模。稱L是M的τ-稠密子模,如果是τ-撓模,記為L≤τ-d M。稱L是M的τ-純子模,如果是τ-撓自由模,記為L≤τ-p M。用Dτ(M)和Pτ(M)分別表示由M的所有τ-稠密子模和τ-純子模構成的集合。

稱L是M的τ-本質子模,如果L≤τ-d M且L≤e M,記為L≤τ-e M。設M,N是模,稱N是τ-M-內射模,如果對任意K≤τ-d M以及任意同態f:K→N,存在同態g:M→N,使圖1可交換:

圖1 交換圖1

稱N是τ-擬內射模,如果對任意模M,N是τ-M-內射模。設E(M)表示M的內射包,令,由 文 獻[7]知,Eτ(M)是包含M的最小的τ-內射模。

設M是模,Aτ是由M的τ-稠密子模構成的模族,且Aτ關于τ-稠密子模,τ-基本擴張和同構像封閉。下面給出M分別是滿足Aτ-(C1)條件和Aτ-(C3)條件的模的概念。

定義1稱M是Aτ-extending模,如果對任意A∈Aτ,存在M的直和因子H,使得A≤τ-e H。此時也稱M是具有Aτ-(C1)條件的模。

定義2稱M是滿足Aτ-(C3)條件的模,是指對任意A∈Aτ以及M的任意直和因子H,如果A是M的直和因子,且A∩H=0,A⊕H∈Dτ(M),那么A⊕H是M的直和因子。

顯然,N?extending模是τ-N?extending模。

2 主要結論

設Aτ是由M的τ-稠密子模構成的模類,且Aτ關于τ-稠密子模、τ-基本擴張和同構像封閉。下面給出Aτ-(C3)模的等價刻畫。

定理1若M是Aτ-extending模,則M是Aτ-(C3)模當且僅當對任意A∈Aτ,M的任意直和因子X,以及任意同態映射f:A→X,若A∩X=0,A⊕X∈Dτ(M),則存在同態g:M→X,使得g是f的擴張。

證明：必要性。設A∈Aτ,X是M的直和因子,f:A→X是同態映射。令B={x+f(x)|x∈A},則A?B,故B∈Aτ。由于M是Aτ-extending模,故存在M的直和因子B',使得B≤τ-e B'。因為M是Aτ-(C3)模,且X∩B'=0，以 及,所以X⊕B'是M的直和因子,即存在K≤M,使得M=(X⊕B')⊕K。令π:M→X是自然投射,則-π就是f的擴張。

充分性。設A∈Aτ,H是M的直和因子,使得A∩H=0,A⊕H∈Dτ(M)。則存在X≤M,使得M=H⊕X。令π:M→X是自然投射,則π(A)?A,故π(A)∈Aτ。由于M是Aτ-extending模,故存在X的直和因子B,使得π(A)≤τ-e B。設X=B⊕L,則M=H⊕B⊕L。令πH:M→H,πB:M→B都是自然投射,則A={πH(a)+πB(a)|a∈A}。令f:πB(A)→H(πB(a)?πH(a),?a∈A)，則f∈End(πB(A),H)。由條件,存在同態映射g:B→πH(A),使得g是f的擴張。因為π(A)≤τ-e B,所以πB(A)≤τ-eB,于是A≤τ-e{x+g(x)|x∈B},從而A={x+g(x)|x∈B}。因此π(A)=B,即A⊕H=B⊕H是M的直和因子,從而M是Aτ-(C3)模。

定理2若Aτ-extending模,則M是Aτ-(C3)模當且僅當對任意A∈Aτ以及M的任意直和因子X,若A∩X=0,A⊕L∈Dτ(M),則X是τ-A-內射的。

證明：必要性。設A∈Aτ,L≤τ-dA,φ∈EndR(L,X)。令f|L=φ,因為M的τ-稠密子模關于τ-稠密子模封閉,所以L∩X=0且L∈Aτ。由定理1知,存在同態g:M→X,使圖2可換:

圖2 交換圖2

從而證得X是τ-A-內射的。

充分性。對任意A∈Aτ和M的任意直和因子X,f∈EndR(A,X),以及A∩X=0。因為X是τ-A-內射的,所以X是Aτ-(C1)的。故存在M的直和因子K和N,使得M=K⊕N,A≤τ-e K且K∩X=0。又因為M的τ-稠密子模關于τ-基本擴張封閉,所以K∈Aτ。從而由條件知,X是τ-K-內射的。故存在h∈EndR(K,X),使得h是f的擴張。令g∈EndR(M,X),其中g|K=h,g|N=0。于是圖3是可換:

圖3 交換圖3

所以由定理1知,M是Aτ-(C3)模。

設M,N是模,定義模族Aτ(N，M)={A≤τ-dM|存在X≤τ-dN以及f∈Hom(X，M)，使得f(X)≤τ-eA}.

易知,Aτ(N,M)關于τ-稠密子模,τ-基本擴張和τ-同構像封閉。設A=Aτ(N,M),下面給出相對τ-extending模的概念。

定義3設M,N是模,稱M是相對N的τextending模,如果對任意A∈A,存在M的直和因子H,使 得A≤τ-eH。此 時 也 稱M是τ-Nextending模。

下面考慮τ-N-extending模的直和分解。

定理3設M,N是模,A=Aτ(N,M)。若M是τ-N-extending模,則以下等價:

(1)對任意直和分解M=K⊕L,若K∈A,則K和L是相互τ-內射的;

(2)對 任 意 直 和 分 解Eτ(M)=X⊕Y,若X∩M∈A,則M=(X∩M)⊕(Y∩M);

(3)對任意直和分解Eτ(M)=(⊕α∈I Xα)⊕Y,若Xα∩Y∈A(?α∈I),則M=(⊕α∈I(Xα∩M))⊕(Y∩M)。

證 明：(1)?(2)設Eτ(M)=X⊕Y,其 中K=X∩M∈A。由于M≤τ-e Eτ(M)且X是Eτ(M)的閉子模,故K是M的閉子模,從而K是M的τ-閉子模。因為M是τ-N-extending模,所以K是M的直和因子,從而存在L≤M,使得M=K⊕L。

令πK:M→K,πL:M→L是自然滿同態,則Y∩MπL(Y∩M)。定義映射

易證f是同態映射。因為L是τ-K內射的,所以存在同態g:L→K,使得圖4可換:

圖4 交換圖4

(2)?(1)設M=K⊕L,其中K∈A。由定理2知,L是τ-K內射的,下證K是τ-L內射的。設N≤τ-d L,f:N→K，令,則W∩K=0。故有Eτ(M)=Eτ(K)⊕Eτ(W)⊕F,由(2)知,

令π:M→K是標準投射,。則對任意n∈N,有n=-f(n)+(n+f(n))。所以g是f的擴張。

(2)?(3)易證。