擴散過程波動率核估計的一致相合性*

劉 暢，官 政

（廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

隨著全球化、信息化和網絡經濟的蓬勃發展，尤其是近年來，隨著大數據的提出，統計學在各個領域大放異彩，學者們對金融市場的數據研究也不僅僅局限于日、周、月等低頻數據，轉而投向了以秒、分、時為采集頻率的高頻數據。在Andersen和Bollerslev(1998)[2]提出可以利用日內高頻交易數據計算已實現波動率來評價ARCH模型的預測效果之后，學者們開始對事后積分波動率的非參數估計問題產生興趣；當Barndorff-Nielsen和Shephard(2002)[3]提出當資產價格過程滿足擴散模型時，積分波動率的一致估計量就是已實現波動率，并給出了中心極限定理及證明；Valkanov(2006)[4]用絕對冪變差來對波動率進行預測，效果較好；Gallo和Engle(2006)[5]將GARCH模型和已實現波動率結合，從而提高了對波動率的預測精度；Fan和Wang(2008)[6]給出了瞬時波動率的非參數估計；Kristensen(2010)[7]將已實現波動率與瞬時波動率的估計聯系起來，并證明了二次冪變差核估計量的漸近正態性和一致相合性。國內的唐勇和劉峰濤(2005)[8]將已實現波動率、SV(Stochastic Volatility)模型、GARCH模型三者對波動率的預測進行比較，發現已實現波動率優于其他兩個模型。相較于Kristensen(2016)的結論，基于隨機擴散模型，本文對其估計量的相合性提出了更好的證明，并給出了更快的收斂速度。

1 知識儲備

為敘述方便,始終假設C表示一不依賴于n的大于0的常數,且C每次出現可以取不同的值。

為對本文的結論進行證明，我們需要提前了解以下內容：

隨機擴散模型:

其中，X t為金融產品對數價格，μt為漂移過程，σt為擴散過程，且μt和σt為[0,T]上的隨機過程，W t為標準布朗運動。

引理1

其中，U～N(0,1)。證明過程見波動率估計研究專題綜述（2019）。

引理2（楊善朝，1997） 若X j:j≥1相互獨立，且滿足E(X j)=0,則存在常數C≥0使得：

2 條件與結論

全文使用如下基本假設：

A 1）對于任意的p＞0和l1≥0，有

A 2）對于任意的l2≥0，有，其中，T→∞。

A 3）對于任意的γ＞0和C＞0，有

B1）當窗寬h→0時,有n=T/△→∞和△→0:?n,T→0。

這里ε＞0，δ＞0都是任意給定的常數，為方便起見，我們采用等距觀測△=ti-ti-1。

定理1我們假定A 1）～A 3）,B1）和K 1）成立.

定理2假設T是固定的正數，條件A 1）～A 3）和K1）成立.如果當n→∞時，h→0且?n→0，其中?n=，這里δ＞0都是任意給定的常數，則

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

我們將估計量的每一項展開，結合伊藤引理，我們可以得到：

結合（1）式，有：

令：

其中，

（1）R1的證明。

（2）R2的證明。

（3）R3的證明。

①首先處理S'n(τ)項。

設rn為趨于0的待定正常數序列，選取ln個中心在τ1，τ2，…，τln，半徑為的鄰域B1，B2，…，Bln覆蓋[0,T]，其中顯然

由于：

另一方面，結合馬爾科夫不等式：

又因為：

從而，

②再處理S''n(τ)項。

又有：

因此，我們聯立上面三個式子，可得：

（4）R4的證明如下：

結合引理2，可以得到：

因此

又因h-1≤Cn-1/2和T≤Cn，所以?ε＞0，取r充分大，有：

由h-2n-1T2+l2→0，知

由于h-1≤Cn-1/2和T≤Cn，所以?q＞1，取r充分大，有：

(5)R5的證明。

其中，

利用σt的Lipschitz條件，有：

對于R53，

聯立以上各式，得：R5=O p(h-2△T1+l2+hγ+hm/2)，

其中，

3.2 定理2的證明

對于固定的T,

所以?n=n-1h-2+n-1/2+εh-1/2+n-1/2h-1/(2+p)-1/2。

因此我們用新的方法對該估計量的相合性進行了證明，并給出了比Kristensen(2016)更好的收斂速度。

4 數值分析與模擬

我們已經在第三章給出了波動率估計的相合性證明，本章我們將利用數值模擬的方法來對上述估計量的效果進行研究。考慮下面的擴散-波動率模型：

其中，W1,t，W2,t是兩個相互獨立的標準的布朗運動，利用歐拉方法對上述模型進行離散化，并選取α=0.476，β=0.510，κ=0.227596，再選取時間間隔為1/(60×60×24×100)時所產生的波動率σt2的真值數據，再從這些真值數據中分別選取60 s和30 s不同時間間隔的真值數據進行模擬分析。我們得到時間間隔分別為60 s和30 s的模擬圖，如圖1、圖2所示。圖中，1線為估計線，2線為真值線。很容易發現，隨著時間間隔的縮短，估計線和真值線的擬合程度越好。這也說明我們的估計量能很好地對真實值進行估計。

圖1 時間間隔為60 s的模擬圖

圖2 時間間隔為30 s的模擬圖