晶體雙折射理論的回旋分解波法
——以單軸晶體為例

何 健

(綿陽師范學院數理學院，四川綿陽 621006)

0 引言

1 晶體雙折射理論的波動方程

1.1 介質中的麥克斯韋方程組

光波是一種電磁波，晶體中光的傳播可用麥克斯韋方程組和晶體的光學性質來分析[6].在均勻、不導電、非磁性的各向異性介質中，如果沒有自由電荷的存在，麥克斯韋方程組為：

(1)

在描述介質中的電磁場，除麥克斯韋方程組的積分形式外，還需要物質方程：

(2)

1.2 介電張量下的非典型波動方程

對(1)第二式兩邊取旋度，考慮其第一式及(2)二式，可得[8]：

(3)

(4)

(5)

2 回旋波分解法

2.1波動函數的分解及約束條件

(6)

伴隨約束條件：

(7)

(8)

(9)

可見，此部分描述的是具有典型波動行為的解：

所以由上式，考慮非磁性介質特性(μ=μ0)可得：

(10)

可解得：

(11)

其中：

(12)

故：

(13)

(14)

故：

(15)

(16)

此時不構成行波，故不能傳播能量.

則需kez=0，kox=0，koy=0，得：

(17)

此時的光波由x、y方向的電振動形成的波數為ko且沿z方向傳播的波與由z方向振動形成的波數為ke且沿垂直于z軸方向傳播的波動的合成，其合成波矢(及折射率)將與方向有關，此即為e光.因此其合成波數取值介于z向的為ko及垂直于z向(或表為r向)的ke之間，自然表達為：

(18)

(19)

及折射率關系：

(20)

2.3 解的回旋波部分

代入(4)式有:

(21)

所以有：

(22)

由(22)式有：

(23)

(24)

代入(23)，可得：

(25)

故：

(26)

進而得出：

(27)

將(27)代入(22)第一式，可得：

(28)

由此可得：

φx=φx0ei(kxx+kyy+kzz-ωt)

(29)

在此背景下，為了提高糖尿病腎病患者的早期診斷效果，對尿液 α1-MG、β2-MG、TRF、mAlb和 Cys-C 進行聯合檢測。其中α1-MG由人體的肝臟和淋巴細胞合成的糖蛋白。正常情況下α1-MG存在于人體各種體液和淋巴細胞膜的表面，但當人體出現異常情況時，如腎小球的過濾能力不足、腎小管吸收α1-MG能力降低時，可導致α1-MG升高。因此α1-MG可用于糖尿病腎病患者腎小球早期損傷的判定指標之一。

(30)

而對于(30)式中的kx，ky以及kz.可以通過下面的運算，將其做出代換.首先將(29)代入(28)，可得：

(31)

又(31)式兩邊同時乘ikx，可得：

(32)

又由于其滿足限制條件：

所以有：

?2φx=0

將(29)代入上式有：

即：

(33)

將(33)代入(32)，可得

(34)

通過上式解得：

(35)

(36)

正晶體的情況則為：

(37)

又如圖1所示，可得：

圖1 回旋波波矢結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of cyclotron wave vector structure

(38)

又將公式(38)代入公式(33)，可得：

(39)

由上式可得

(40)

(41)

將(38)代入(41)，又可得

(42)

再將(38)、(40)、(41)、(42)四式代入公式(36-37)，可得

(43)

上式即為我們所求的回旋波的波動解.

對于負晶體有no>ne，則

(44)

而對于正晶體而言有ne>no，則

(45)

(46)

2.4 關于波矢及折射率的分析

2.4.2 回旋波部分 對于回旋波部分的波矢及折射率的求解，我們可以由(34)式出發，可得

(47)

然后將(33)帶入上式，可得

(48)

將上式代入(48)上式化為

(49)

又

(50)

將(50)式代入(49)式，可得

(51)

代入(51)式有

(52)

即為

(53)

又

(54)

代入(52)式有

(55)

進一步化簡，可得

(56)

此時(56)化為

(57)

上式即為回旋波部分波矢的表達式，同時將(50)帶入上式可得，回旋波波矢方向的折射率為：

(58)

3 小結

3.1 基礎解與o/e光的成因分析

3.2 回旋波解與晶體橢球面形成的關系

3.3 后續工作

前面2.4的分析也意味著回旋波與基礎解的波動擬合在折射率、波矢方面均相互吻合，兩者的擬合只是造成波面沿不同取向的橢球曲率形態(并與晶體正負性質關聯).當處理的問題涉及局域波動結構分析時，上述波動函數則提供了波動細節的諸多信息.而對于波矢與光線方向的關聯、離散角等物理量幾何量的表述則依賴于回旋波與基礎解的擬合及幾何分析，這也是本文的后續工作之一.