分析圖式變化 培植思維品質

姜玉英

(江蘇省常州市卜弋中學 213141)

在數學教學中，常出現這樣的現象，學生做了大量的題目，但是能力卻沒有得到根本性的提升，遇到不同的或者稍微難一點的題目還是無從下手，這說明了學生沒能掌握這些題目的本質.因此，教學中教師可借助一定的圖式，讓學生找到其變化的內在聯系，進而進行認知與能力的遷移.這個找尋的過程就是培養學生分析能力，推理能力、運用能力、綜合能力的過程，即培植學生思維品質的過程.

一、平移與全等，培養學生的分析能力

以蘇科版八年級上冊《全等三角形》這個章節為例，學生應該如何選擇圖式變化，如何促進他們能力的發展呢？分析能力是學生學習數學的基本能力，學生要從一堆條件中找到題目的關鍵要素是什么，要求的結論可以轉化為什么.分析能力提升了，學生化繁為簡的能力就增強了，舉一反三的能力也同樣提升了.以圖1為例，學生看到這個組圖式時，首先分析這兩個三角形處于怎么樣的位置關系.當他們發現這兩個三角形的所有的邊要么在同一個直線上，要么平行，就認為這兩個三角形在位置是平移的關系.教師再引導學生進一步分析平移有哪些性質，學生看著圖形，覺得平移就是將圖形沿某一個方向平行挪動一定的距離.他們就著圖形在對比中分析，這兩個三角形的形狀與大小有著怎樣的關系.有了這樣的分析，學生再看題目中具體的條件：點B，E，C，F在同一條直線上，AB=DE,BE=CF.請你添加一個條件使△ABC≌△DEF.

再進一步地分析，從平移的角度看點B，E，C，F有著這樣的關系，他們發現這些點在同一條直線上，同樣他們也分析出平移的方向是點B到點E的.教師還要給學生分析問題的時間，要讓他們自己去思考，讓他們在蛛絲馬跡中尋找他們需要的線索.對條件BE=CF，他們又分析出這樣的結論：線段BE，CF為平移的距離.對學生來說，他們在分析問題的時候，容易陷入某一個點而出不來，又容易將需要分析的內容遺忘.因此教師可讓學生將需要分析的列出來，再一個個地對照，以提升他們分析問題的縝密性.學生想到還沒有從結論分析，他們認為如果用SSS證明全等，是不是添加一個條件AC=CF就可以了.學生的分析都是根據圖式來的，有學生分析如果用SAS證明全等，是不是只要證明對應角相等，只要添加條件∠ABC=∠DEF就可以了.明顯地，學生的分析是從圖式變化的規律開始的，找準圖式變化的本質能讓分析變得更直觀.

二、對稱與全等，培養學生的想象能力

學習數學需要一定的想象，想象能改變思維的方式，能有利于問題的解決，能很好地培植學生的素養.看到抽象的文字，學生要能想象到具體的圖式，看到圖式學生能想象到生活中與之相應的實物.因為學生很快就能知道那些實物具有哪些特性，那些特性順理成章地就被學生運用到具體的題目中.

還以蘇科版八年級上冊《全等三角形》這個章節為例，教師先展示圖形，讓學生想象一下生活中有沒有與之相應的圖形，進而學生就能將抽象思維轉為形象思維.教師再展示圖2，讓學生去發現這個圖形有沒有什么規律可循.通常情況下，學生在做數學題目的時候，總是直接對著題目去解決面臨的一系列問題，讀圖的時間比較少，思考的時間也更少.其實教師可以培養學生的讀圖的能力，從圖形本身去尋找問題與結論之間的千絲萬縷的聯系.學生看著圖形就認為這個像他們折疊的紙飛機，像飛著的蜻蜓，像掛在鑰匙扣上的飾物小魚.讓學生去想象，他們總有無窮的創造力，總能有教師意想不到的答案.作為整天做題的學生，給他們一點想象的空間，他們會異常的興奮；這樣的情緒有利于數學思維的發展.教師接著問這些實物在數學上稱之為什么圖形呢，它有怎樣的特性呢.教師將他們剛才說到的事物以簡筆畫的形式呈現在黑板上，學生一下子就明白了這些都是軸對稱圖形，因此他們也認為圖2也是軸對稱圖形.對于軸對稱圖形學生只要找到對稱軸，就能找到哪兩個圖形是對稱的.

教師在展示圖2之后，,將題目的條件與要證明的結論展示出來了：已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點M，BC與ED、AD分別交于點F、N，結論是比較開放的，要求學生寫出圖中其他的全等三角形.學生將剛才的想象與具體的圖形對接，他們發現只要連接AF，就能看出AF就是對稱軸，那些關于AF成軸對稱的三角形就是全等三角形.有了對圖式的觀察，有了對實物的想象，學生寫出了三組軸對稱圖形，即，三組全等圖形：△AEM≌△ACN、△BFM≌△DFN、△ABN≌△ADM.

總之教師要利用圖式變化，激活學生的想象，促成素養的生成.

三、旋轉與全等，培養學生的操作能力

對初中學生來說，學習數學不僅是做題，消化教師在課堂上講的內容，學習數學也包含體驗一些與數學相關的實踐，以讓認知更好地轉化為能力.大多學生操作能力比較差，教師也可在教學中培植他們這方面的能力，進而促進他們的全面發展.數學素養的獲得是一個系統的工程，包括看一看，疊一疊，畫一畫，做一做等.教師要做全盤的考慮，每一個環節都要進行一定的訓練.

仍以蘇科版八年級上冊《全等三角形》這個章節為例，教師先展示題目：已知點B，C，D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形，BE交AC于F，AD交CE于G.求證:△BCE≌△ACD.對于這樣的題目，教師故意將圖隱去，讓學生對著題目畫圖，讓他們在畫圖的過程中，感知題目的內涵，也讓他們感知圖形的大致輪廓與相關的認知.當學生畫出圖3之后，他們再對著文字去檢驗畫得對不對，這是借助圖形進行反思，以培植學生的審題能力.教師讓學生在畫出幾個如圖3這樣的圖形，學生做了，只是在想到底要做什么.教師讓學生分別將△BCE與△ACD剪出來，這是進一步培植他們的操作能力.當他們將圖形剪出來之后，重疊在一起，自然地就發現了這兩個圖形全等，換言之，學生通過實踐操作證明了這兩個圖形全等.盡管學生收獲了一份成功，但離最后問題的解決還有一定的距離.教師提出問題，這兩個全等的三角形在位置上有著怎樣的關聯呢.學生拿著剪出來的△BCE，對照圖3進行比較，當按照一定方向將△BCE進行旋轉的時候，就得到了△ACD.知道了這兩個圖形是旋轉關系，就知道了旋轉前、后的圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等.學生再對著條件，發現他們證明的落腳點就是要求得∠BCE=∠ACD相等，即兩個旋轉角相等.在操作中，引發學生思考，也容易讓學生獲得成功，更能多元地培植動手操作能力.

在數學學習的過程中，分析圖式變化，就是要發現圖式在平移，軸對稱，旋轉的過程中不改變圖形的形狀和大小，同時也要利用平移，軸對稱，旋轉前、后的圖形全等這一性質去解決一些實際的問題.學生觀察圖形中哪些圖形變換，再從圖形變換的角度去分析圖形就更容易解決問題，觀察與分析的過程更是思維迸發的過程，學生進入數學世界王國的過程.