分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

陳艷陽

(江蘇省南通市北城中學(xué) 226000)

一、利用分類討論思想解決函數(shù)方程問題

方程問題是學(xué)生初中階段必須掌握的一個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平不足，數(shù)學(xué)知識儲(chǔ)備量有限，在學(xué)習(xí)較為抽象的數(shù)學(xué)函數(shù)問題時(shí)，總是感到難以下手.當(dāng)出現(xiàn)這種情況時(shí)，教師需要耐心引導(dǎo)學(xué)生，指導(dǎo)學(xué)生正確運(yùn)用分類討論思想解決相應(yīng)的方程問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.

例1現(xiàn)已知一個(gè)方程式子(a-3)x|a-1|+x2-3=0，a滿足什么條件的情況下，上述式子為一元二次方程？

解析從題目給出的信息可以得出，當(dāng)x的指數(shù)小于等于2，且是自然數(shù)即可滿足要求，即|a-1|≤2.學(xué)生在解決上述問題時(shí)，容易犯的錯(cuò)是，認(rèn)為只有當(dāng)指數(shù)為1時(shí)，才能滿足題目要求，導(dǎo)致答案不完整.而引入分類討論思想方法能夠有效避免學(xué)生的這一錯(cuò)誤，教師指導(dǎo)學(xué)生將所有的可能列出來，避免答案遺漏現(xiàn)象.當(dāng)|a-1|=2，時(shí)，a=3或者a=-1，將a代入一元二次方程，可得到式子x2-3=0，或者3x2+3=0.當(dāng)|a-1|=1時(shí)，解得a=2或者a=0，得到一元二次方程式為x2-x-3=0，或者x2-3x-3=0.而當(dāng)|a-1|=0時(shí)，解得a的值為1，此時(shí)的一元二次方程式子為x2-5=0.通過上述解析，不難發(fā)現(xiàn)將分類討論思想方法運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中，有效避免答案遺漏的現(xiàn)象，學(xué)生的解題準(zhǔn)確率有所提升.

二、利用分類討論思想解決三角幾何問題

三角形問題也是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常遇到題型，因?yàn)閹缀沃R的抽象性和邏輯性，學(xué)生在解決這類問題時(shí)存在一定的難度.而且因?yàn)閷W(xué)生的空間想象力不足，難以準(zhǔn)確理解此類問題的具體意思，解題思路自然存在偏差.因此，教師在教學(xué)時(shí)，需要有意識、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生的空間想象力.將分類討論思想方法運(yùn)用到幾何問題解決中，有效幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技能，確保學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，增強(qiáng)學(xué)生的解題信心.

例2如圖所示，已知兩條直線l1和l2，以及一條線段AB，兩條直線相交，假設(shè)兩條線段上存在一點(diǎn)P，在什么情況下，能夠滿足△PAB為等腰三角形？

圖1

解析學(xué)生在求解上述數(shù)幾何問題時(shí)，因?yàn)槿狈^強(qiáng)的想象力，在解決問題上存在一定的難度，如果學(xué)生繼續(xù)運(yùn)用傳統(tǒng)的解題方法，可能會(huì)導(dǎo)致答案錯(cuò)誤.因此，教師需要指導(dǎo)學(xué)生正確解決上述問題，首先，教師需要幫助學(xué)生回憶有關(guān)等腰三角形的定義和相關(guān)知識，然后指導(dǎo)學(xué)生利用課堂所學(xué)知識進(jìn)行求解，正確運(yùn)用分類討論思想方法，已知AB為等腰三角形的一條邊，現(xiàn)在需要進(jìn)行分類.首先，假設(shè)AB為等腰三角形的底邊，在此條件下，作線段AB的中垂線，分別與直線l1和l2相交于點(diǎn)P2和P1，此時(shí)滿足要求，即△PAB為等腰三角形.繼續(xù)假設(shè)，當(dāng)線段AB為等腰三角形的腰時(shí)，又需要進(jìn)行分類.首先假設(shè)當(dāng)∠A為頂角時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生利用課堂中與等腰三角形的定義知識，指導(dǎo)學(xué)生作圖.以點(diǎn)A為圓心，線段AB為半徑畫一個(gè)圓，和直線l1和l2相交于點(diǎn)P3、P4、P5和P6，即滿足上述題目的要求.當(dāng)∠B為頂角時(shí)，同理，以點(diǎn)B為圓心，線段AB為半徑作圓，可得到和直線l1和l2的交點(diǎn)P7、P8、P9和P10，滿足數(shù)學(xué)題目要求，△PAB為等腰三角形.由此可見，學(xué)生在解決初中數(shù)學(xué)三角問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)正確指導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，確保初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.

三、利用分類討論思想解決圓的相關(guān)問題

幾何數(shù)學(xué)知識是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重中之重，學(xué)生的邏輯思維不足，難以準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)幾何知識.因此，教師需要正確引導(dǎo)學(xué)生.初中的幾何知識包括三角形、圓形等幾何圖形，學(xué)生在解決這類問題時(shí)，因?yàn)閷缀沃R的理解不透徹，無法準(zhǔn)確抓住題目的關(guān)鍵，從題意本身出發(fā)，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤.所以，教師需要指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手作圖，通過自主探索獲得數(shù)學(xué)新知識，既鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力，又確保數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量.

例3已知兩個(gè)圓O1和O2的半徑分別為10和17，兩個(gè)圓存在兩個(gè)交點(diǎn)A和B，線段AB的長為16，求圓心距O1O2和∠O1AO2？

綜上所述，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用較為廣泛，教師需要合理準(zhǔn)確地引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想，仔細(xì)審題，根據(jù)題目所給的信息，具體分析數(shù)學(xué)題目，確保答案的準(zhǔn)確性，提高學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.