數學與音樂藝術的完美嫁接

趙千惠 張維忠

【摘? ?要】分數是抽象、復雜的概念。基于跨學科教學的視角，展現了4個“用音樂藝術教授分數”的成功案例，介紹如何實施多種模式教學，直觀展現分數意義;如何巧妙利用音符時值，厘清分數基本性質;如何借助圖示音符分解過程，凸顯運算實用價值;如何通過視覺享受光學藝術，實現“三數”間的轉化。并基于案例的解讀，對小學分數教學提出三點建議：要注重多維度剖析不同層級分數的意義;要深入挖掘數學思想方法在分數教學中的重要價值;要引導學生構建數學知識之間的關聯。

【關鍵詞】分數教學;數學與音樂;跨學科

小學分數知識是整數概念的拓展，深層次理解分數概念能夠增強學生解決現實世界問題的能力;掌握分數知識結構是學生以后學習小數、比、統計與概率及基本代數運算等的基礎[1]。分數作為小學數學課程的重要內容之一，常被視為最抽象、最復雜的數學概念，也是一些小學生在數學學習中表現出真正困難的實際起點，并由此在小學生的數學學習中出現了兩極分化。[2]在我國的小學分數教學中，很多教師對分數知識的理解多基于運算法則的運用，缺乏對分數概念各個知識點之間聯系的整體認識，從而在一定程度上對學生的分數學習造成影響。譬如，學生對單位“1”、平均分、分數單位等子概念理解模糊;在解決分數概念問題（連續量和離散量）時面臨困難，認為等值分數不等值[3]，無法體會分數運算的實際應用價值，未能正確審視分數、小數和百分數之間的關聯等。同時，分數教學中所蘊含的等價類、轉換等數學思想方法也未能引起教師足夠的重視，由此錯失了一次實施“四基”教學的寶貴機會。由此可見，如何有效地促進我國當前小學分數教學是一個值得關注的問題。基于跨學科教學的視角，筆者通過評介國外“用音樂藝術教授分數”的成功案例[4-7]，嘗試挖掘數學和音樂藝術之間的關聯，以期為我國小學分數教學提供借鑒與啟示。

一、實施多種模式教學，直觀展現分數意義

【案例1】課程伊始，教師以生動形象的語言表述和豐富直觀的視頻素材為學生描述數學和音樂間的密切關聯，充分調動學生的探索熱情，營造良好的課堂教學氛圍。緊接著，教師帶領學生回憶音樂課上已學過的音樂及相關術語，如節拍、小節、五線譜、音符及時值等概念，以學生已有的知識作為生長點，建立學科間的聯系。需要說明的是，我國小學音樂課程中多采用數字簡譜進行教學，而本文所涉及案例中采用的五線譜操作性相對更強，故教師就需要對此進行必要補充或做出適當調整。

（設計意圖：建立學科間的關聯，給予學生多重感官體驗，站在嶄新的視角審視分數概念及平均分、單位“1”、分數單位等子概念，擴寬學生的思維廣度。）

在此鋪墊下，教師要為學生提供分數的視覺、聽覺及觸覺表征，讓其參與分數的生成過程，以不同的方式實現多感官層面的直觀體驗及知識內化。譬如，教師可以讓學生接受不同音符時值的聽覺體驗，重構分數的形成過程。若把全音符的時值看作一個整體，二分音符時值是其一半，則將全音符時值平均分為兩份，取其中的一份即為二分音符的時值長度，故可用[12]表示二分音符的時值，以此類推。之后，通過剪紙活動生成觸覺表征，若一張正方形彩色卡紙代表一個全音符，要求學生分別剪出代表二分音符、四分音符及八分音符的卡片。再如，針對分數形成的聽覺及視覺表征，Tara Julia Hamilton等學者在數學和音樂中提取了“整體”這一思想要素，分別對應于一個圓或其他幾何圖形和單一小節。基于此，開發了XronoBeat軟件，該軟件能夠實現音樂節奏的生成以及節拍的可視化，有助于探索和生成多層次的節奏和旋律循環。教師可通過設定不同的節奏，改變圓外有規則間隔的大小及圓內扇形區域的面積，幫助學生認識到平均分是指各部分所占地位相同，并非各部分的顏色、形狀、大小等均需完全一致;分數單位的選取是靈活多變的，分子中的“1”代表1份，而不是1個，同時學會通過旋轉、平移重組圖形。教師還可以讓學生動手改變節奏、節拍和樂器聲音，切身體驗分數和生成節奏之間的關聯。

需要強調的是，除了上述不同音符時值、XronoBeat軟件建立的分數概念的連續量情境外，教師還應該充分利用分實物等活動構建離散量情境，使學生對分數概念的認知逐漸從具體轉化為抽象。此外，教師可與學生共同探討拍號為4/4拍的小節與拍號為3/4拍的小節的異同，打破對單位“1”的刻板印象，體會數學中的“整體”思想。

二、巧妙利用音符時值，厘清分數基本性質

【案例2】教師首先說明不同音符時值及其所對應的節拍，建立不同音符之間的等價轉換，即1個全音符=2個二分音符=4個四分音符=8個八分音符=16個十六分音符=32個三十二分音符（見圖1）。以拍手活動為例，若學生拍手四次表示全音符，那么拍手兩次表示二分音符，拍手一次表示四分音符，而雙手在合上或者張開過程中的持續時間就是八分音符的相對時值。

（設計意圖：基于學生對分數的已有認知，以基本樂理知識教學、數學游戲、小組討論和班級交流分享為主線，師生共同探究如何借助音符時值厘清分數的基本性質。）

至此，教師應給予學生充足的思考與探討時間交流個人發現，其后給出分數的基本性質。相比之下，一些國外教材把分數的基本性質稱為等值分數，更加直觀且易于理解，符合學生的認知特點。而在我國現有的分數教學下，在比較兩個等值分數的大小時，學生常誤以為分母比較大的分數，其值也比較大，或學生能機械地比較分數的大小，但要求學生有意義地解釋如何比較分數大小卻是很困難的。而本案例依托音符時值等價圖，將不同分數間的等價關系悉數盡顯，能夠輔助學生掌握等值分數同量不同名的特征，降低上述問題發生的概率，不迷失于對規則的機械掌握。

同時，圖1還可進一步抽象，延伸至線段模型。這是一個半抽象模型，是圓模型和其他平面模型的“再抽象”[8]。在數射線上對分數進行幾何表征，豐富了等值分數表征的內涵，幫助學生理解測量意義層面的分數。譬如，在驗證[12=48]時，學生不僅可以利用分數關于商的定義算出其值均等于0.5，也可以借助數射線及等分圓模型建立二者的等價關系。另外，由于音樂學科的特殊性，本文案例中所出現的分數分母均是偶數，故教師還應提供分母是奇數的情況以進行適當補充。

此外，需彌補現有教學在教授等值分數內容過程中對轉換、等價類等思想方法滲透的缺失。教師可以讓學生盡可能多地寫出“與2個四分音符所持續時間相等的等價類音符”，強調同一事物有多種表示方式并把其歸為一類，將分數的基本性質和分類思想方法結合起來。而這種等值分數之間的轉化，自然就滲透著轉換的思想方法。

三、圖示音符分解過程，凸顯運算實用價值

【案例3】首先，教師借助圖1，讓學生進行“誰先覆蓋分數條”的數學游戲，即學生拋擲一個標有單位分數的骰子，如[12，14，18，116]，其中部分分數使用多次。當學生擲骰子時，需將出現的分數對應到不同時值的音符上并用相應卡片覆蓋，其間可根據需要靈活移動自己已有的卡片，直到某一分數條被完全覆蓋，率先覆蓋一個等價于全音符的分數條即贏得比賽。學生在此階段尚未正式學習同異分母的分數加減運算法則，但是此游戲給予了學生一個產生直觀體驗的學習機會，通過平移、拼接卡片等實操手段，切身感知分數間的加減運算，與后續學習結合產生更好的教學效果。

（設計意圖：這一游戲使學生理解并掌握同異分母的分數加減運算規則，并解決與音樂相關的實際問題，讓學生體會到分數加減運算的實際應用價值，提升學生聯系實際以及解決問題的能力。）

其后，教師以“音符運算題”（兩個音符相加減）為例拋出問題，逐步引導學生用數學語言進行問題的轉述，從音符加減到分數加減，并歸納總結出一般運算規律，實現音樂與數學的完美嫁接。圖2展示了[58-12]的運算過程。而只重視運算規則的教學必然是不可取的，會導致學生忽視分數加減的實際意義，出現盲目把數量加法當作比例加法處理等諸多錯誤。而本案例通過圖示音符分解過程，動態演示了分數間的換算過程，有助于學生形成清晰的解題思路。

最后，教師要為學生創建解決實際問題的情境，凸顯應用價值，增強學習成就感。譬如，圍繞“每首音樂作品都是由小節構成的，不同長度的音符必須與某一節拍所規定的小節相適應”這一主題，教師可要求學生用兩種不同時值的音符創建新的小節并拍手表演，也可以以學生熟悉的某一首歌曲片段為例，課前將部分音符做遮擋處理，要求學生復原其中用紅色問號表示的被作曲家誤刪的音符。此情境的設置切中學生的興趣點，不僅能夠活躍課堂氛圍，還恰到好處地體現了所學知識的價值所在，使學生在這樣的跨學科課堂中流連忘返。

四、視覺享受光學藝術，實現“三數”間的轉化

【案例4】一直以來，在分數、小數、百分數之間建立聯系，實現“三數”之間的靈活轉化，對于學生來說是一個重難點。在人教版教材五年級下冊“分數的意義和性質”的最后一小節中，設計了分數和小數互化這一內容，其后，在六年級上冊引入了百分數的概念，并在下冊突出百分數在真實生活情境中的表現形式。可見，教材的安排層層遞進，環環相扣，但是對于三者之間的區別與聯系沒有做過于細致的對比與闡述，留有一定空白，這也就為教師提供了充足的實現教學創新的機會和發揮空間。教師應帶領學生對三者進行橫向比較，展現它們的異同點，著重強調數學知識之間的聯系。

（設計意圖：在教師的引導下，學生通過識別網格的彩色部分，對分數、小數、百分數等數學概念做可視化處理，厘清并掌握概念之間的關聯和區別，站在藝術家的視角學習數學并創建屬于自己的光學藝術。）

對此，教師需站在學生的視角，以其易于理解的方式，厘清數學概念之間縱橫交織的脈絡。而視覺上的直觀沖擊對于小學階段的學生來說無疑是其最樂于接受的方式之一，故可以此為突破口。譬如，二十世紀美國藝術家Ellsworth Kelly使用了一個網格系統，將各種暖色調和冷色調彼此相對放置，以在畫布上產生光學效果。教師可以從中尋找靈感，為學生提供10[×]10的方塊網格，要求學生用三種及以上的顏色為網格著色或粘貼彩色小色塊以完成自己的美術作品，之后統計每種顏色的個數并分別用分數、小數、百分數表示所占比重。在學生創作的同時，不斷播放各種藝術家的作品以作為靈感的來源。其后，教師還可以向學生發起8[×]8或11[×]11網格的挑戰，在進行檢驗時必然會出現所得數據加起來不足1或100%的情況，抓住時機引導學生思考原因，跨越無限小數、分數、百分數轉化的這一障礙。此外，教師還可以額外引入學生熟悉的貨幣系統，讓學生以填表的方式鞏固“三數”轉化的規律，如給出48%，要求寫出對應的分數、小數、等值人民幣金額。在本案例的教學過程中，教師需幫助學生打破知識在學生頭腦中的割裂狀態，正確審視已學知識之間的密切關聯。

五、對小學分數教學的三點建議

基于國外“用音樂藝術教授分數”的四個成功案例，結合我國小學分數教學的現存問題，從數學跨學科教學的視角，對小學分數教學談三點建議。

第一，注重多維度剖析不同層級分數意義。現有的教學正是缺失了對分數意義的分層理解，才導致學生在分數學習時出現了種種問題。教師須在不同的學習階段，考慮到學生的認知特點，順其自然地為學生講解不同意義下的分數概念。本文所述四個案例以跨學科教學的模式，從多個維度出發，涉及分數的份數定義、商的定義以及測量的定義[9]，相比于現有的小學分數教學，更大程度地發揮學生的理解力和想象力，使其理解數學例證中的隱含意義，培養數學創造力。

第二，挖掘數學思想方法在分數教學中的重要價值。在小學階段的分數教學中，需要著重滲透等價類、轉換等數學思想方法。張奠宙教授曾指出，等價類是分類思想方法的引申，“等價類”這個名詞不一定要說出來，但是對小學生來說，必須知道一個事物可以有多種表示[10]，教學中就需要有這種潛移默化的數學思想方法的滲透。除了用“一個人可以有不同的裝束，但實質為同一人”為例說明等價類思想方法的內涵，案例二中依托音符，構造等價類音符時值，站在不同的視角闡述這種數學思想方法，以此收獲更好的教學效果，同時也有助于數學教育的多樣性敘事。

第三，引導學生構建數學知識之間的關聯。分數、小數和百分數雖在不同年級教授，但是三者之間確是密切聯系的。主動發現數學概念之間的區別和聯系，對小學段的學生來說存在一定難度，故教師在此過程中發揮的作用就顯得尤為重要。通過課堂中的適當引導及對知識的深入挖掘，提高學生對數學概念的敏感度。諸如案例四，以光學藝術為載體，把“三數”置于同一層面進行橫向比較，直觀拼接學生腦海中的分塊知識，使之印象深刻，為之后建構數學知識的關聯及進行知識遷移提供可靠樣例。

參考文獻：

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[10]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.分數相等性質的數學內涵：兼及角的定義[J].小學數學教師，2017（1）：4-6.

（浙江師范大學教師教育學院? 321004）