基于響應面法和麻雀搜索算法的結構有限元模型修正

徐 喆，辛景舟,2*，唐啟智，肖維娜，李雙江

(1.重慶交通大學省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074；2.廣西交通投資集團有限公司，南寧 530022；3.貴州畢節高速發展有限公司，畢節 551700)

建立精準的有限元模型是進行大型橋梁結構系統識別、損傷檢測和承載力評估的基本條件[1]。然而，在設計階段，采用確定性參數建立有限元仿真模型對實際工程結構設計建模時，需要對結構材料屬性、幾何特性以及邊界條件進行一定的簡化和近似處理，按照設計圖紙建立的理想化模型很難完全準確地反映實際結構；此外，在施工階段，工程建設人為誤差、材料性能、荷載形式和環境條件的隨機性等不確定性因素對結構性能具有顯著影響[2], 這些不確定性也無法通過模型定量描述，導致了有限元模擬結果與結構表現的實際行為之間的誤差超過工程允許范圍。因此有必要根據實測結果對有限元模型進行修正，為結構后期運營期間的健康監測、管養維護、狀態預測與評估提供科學理論指導。

目前，結構有限元模型修正方法按測試對象主要可劃分為矩陣型修正法和參數型修正法兩類[3]。矩陣型修正法由于在工程應用中的復雜性和低效性使得其應用具有一定的難度[4]。相反，參數型修正法通過靈敏度分析法[5-7]和響應面法[8-11](response surface model, RSM)調整設計參數來實現。對于實際工程結構，修正參數較多，采用靈敏度分析法需要大規模的反復迭代計算有限元模型，計算效率較低；而響應面法以簡單低階數學模型代替響應與各參數的物理系統關系，進而實現隱式關系的顯式表達，在計算效率上更具有優越性。近年來，隨著有限元模型修正研究成果不斷涌現，基于響應面替代模型的結構有限元模型修正逐漸走進人們的視野，響應面法仍然是結構有限元模型修正中應用最為廣泛的一種替代模型技術[12]，具有極高的發掘潛力和應用價值。

結構有限元模型修正是通過調整模型材料彈性模量、容重、截面剛度及邊界條件等設計參數來實現的，使修正后的模型計算值與實際結構響應誤差最小[13]。實際上，模型修正問題可轉化為非線性優化問題，在設計參數約束空間內尋找一個全局最優解，其目標函數是由結構計算值與實際值之間的殘差函數構成，優化后的目標函數越小，說明模型與實際結構狀況越契合，修正效果越好。所以，為得到客觀反映結構真實響應的有限元模型，選擇合理的修正算法就顯得尤為重要。傳統的數學優化算法如梯度下降法、牛頓法、拉格朗日乘數法等，當目標函數維度較高、非線性較強時，算法容易陷入局部最優，尋優效果得不到保證。面對實際工程結構，響應與參數間往往表現出較強的非線性，應用上述方法進行有限元模型修正時，其精度無法得到保障。而智能仿生優化算法是模擬自然界生物群體的一般特性而形成自適應全局最優化隨機搜索算法，可以有效避免傳統算法的弊端，顯著提高算法效率，近年來被廣泛應用于結構有限元模型修正領域[14-17]。

麻雀搜索算法(sparrow search algorithm, SSA)是Xue等[18]于2020年提出的一種模擬麻雀群體覓食行為和反捕食行為的新型群體智能優化方法。該算法比較新穎，結構簡單，具有全局尋優能力強，收斂速度快，迭代過程穩定，對高維數據不敏感等特點，一經推出，就表現出極高的應用前景[19]。礙于目前現有的常規優化方法在精度和效率已無法滿足結構模型修正問題，有必要展開基于麻雀搜索算法在結構有限元模型修正方面的研究。

為尋求解決結構模型修正的新理論方法，現提出基于RSM-SSA的結構有限元模型修正方法，首次將麻雀搜索算法應用到有限元模型修正中。首先，依據結構構造特點及力學特性確定待修正參數和結構響應，構造結構響應與參數的二階多項式響應面模型，依此聯合動力響應計算值與實際值之間的殘差函數；其次，通過由種群初始化、發現者和跟隨者位置更新、偵查預警四部分組成的麻雀搜索算法，對目標函數進行迭代優化，在設計空間內尋找參數最優解；最后，通過懸臂梁數值算例，驗證所提方法的可靠性與適用性。

1 基于RSM的目標函數構建

目標函數構建以參數盡可能地滿足實際結構宏觀響應需求為目標，將結構有限元模型修正機理由數學問題轉化為優化問題，即對式(1)求解最優解：

(1)

式(1)中：d為待修正參數；Yc、Ye分別為實際結構響應和基于模型特征量響應；VLB、VUB為結構參數上下限；Y(d)為殘差。

如何實現結構實際響應與參數復雜非解析隱性關系的顯式表達，成為優化問題求解的關鍵。通過響應面法實現優化目標函數的構建，結合統計理論和數學建模技術建立輸入與輸出映射函數關系，以簡單低階的數學模型近似逼近結構實際響應特征量。

1.1 響應面函數的選擇與試驗設計

選用不含交叉項的二階多項式作為響應面模型的基本函數形式，可表示為

(2)

樣本點數量和分布特征顯著影響著響應面模型構建效率及精度。樣本數量太少，結構響應與參數之間的復雜隱性關系得不到完全映射；而樣本數量較多，在一定程度上提高了擬合精度，但又從客觀上延長了計算分析的時間，降低了試驗效率。拉丁超立方設計(Latin hypercube design, LHD)很好地處理了擬合精度與試驗成本這一矛盾問題，它能以較小的樣本反映總體的變異規律，往往能有效改善樣本的均值和方差，提高抽樣效率和精度，抽樣的次數可大大減少。為此，本試驗設計選擇基于多維分層抽樣思想的拉丁超立方設計。

1.2 響應面的建立

將式(2)以矩陣形式表示為

Xλ=Y

(3)

式(3)中：

λ=(ab1b2…bnc1c2…cn)T；N為樣本個數；Y=(Y1Y2…YN)T。

根據最小二乘原理，求得基函數的系數矩陣為

λ=(XTX)-1XTY

(4)

隨著設計參數數量和多項式展開階次的增加，響應面模型中的待定基函數系數急劇增加。然而，并非所有多項式展開項對響應的貢獻都是顯著的，因此如何在不影響計算精度的前提下有效地將這些非必要項剔除就顯得尤為重要。基于逐步回歸進行響應面基函數的顯著性分析，其基本思想為通過多次引入、檢驗和剔除，以保證最終模型中的參數全部顯著。顯著性檢驗判定準則為

(5)

式(5)中：SSEh、SSEh+1分別為h、h+1項基函數RSM模型的響應誤差平方和；κh、κh+1分別為h、h+1項基函數RSM模型的自由度。

對于給定的顯著性水平α，當方差分析統計量Fh+1>Fα(1,N-p-2)時，則判定第h+1項顯著，需要將該項引入到RSM模型中，其中p為響應面函數中非常數項項數。

1.3 響應面精度檢驗

(6)

(7)

(8)

2 基于SSA的結構有限元模型修正

2.1 麻雀搜索算法

麻雀搜索算法是模仿麻雀覓食行為和反哺行為而提出的一種新型群智能仿生優化算法，其大致流程如下。

(1)種群初始化。輸入初始化麻雀種群數及相關系數。在n維全局變量空間中，m只麻雀構成的種群空間位置為

(9)

輸出當前麻雀適應度值并進行順序排列，將初始種群中適應度值較好的個體定義為發現者，較差的為跟隨者。

(2)發現者位置更新。在覓食區域周圍無被捕食風險時，發現者可開啟廣泛的搜索模式，引導種群向更高適應度值逼近；當種群邊緣麻雀發現捕食者，迅速發出報警信號，當預警值大于安全值，種群立即做出反捕食行為，發現者將所有跟隨者帶領到安全區域覓食。發現者的位置更新為

(10)

式(10)中：i、j分別為麻雀數和參數維度，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n；itermax為算法最大迭代次數；Xij為第i只麻雀在第j維中的位置信息；U為服從標準正態分布的隨機數；T為單位行向量；δ為(0, 1]的隨機數；WV(WV∈[0, 1])、SV(SV∈[0.5, 1])分別為預警值和安全值。

(3)跟隨者位置更新。發現者和跟隨者的身份是動態交互的。跟隨者的能量越低，處在種群中的位置就越差，為獲取更高能量，它們總能夠找到能提供最好資源的發現者，通過圍繞在發現者周圍獲取食物；跟隨者也可通過競爭方式爭奪食物。跟隨者的位置更新為

(11)

式(11)中：XW、XP分別為當前種群中麻雀的最差位置和發現者最優位置；ω=rand{-1, 1}。

(4)偵察預警并更新位置。處于種群邊緣的麻雀，是捕食者的首要目標，極易受到獵食。當邊緣麻雀意識到危險時，會迅速向安全位置靠攏，進行相應的位置更新；位于群體中間位置的麻雀也會意識到危險迅速向其他麻雀隨機靠近以躲避捕食者。位置更新公式為

(12)

式(12)中：XB為麻省的最優位置；β為步長控制參數，服從均值為0、標準差為1的正態分布隨機數；ξ為[-1, 1]均勻隨機數；ε為無限接近零的常數；fi為當前麻雀的適應度值；fg、fw分別為當前全局最優和最差適應度值。

2.2 有限元模型修正流程

基于RSM-SSA的結構有限元模型修正流程如圖1所示。其基本流程可劃分如下。

圖1 基于RSM-SSA的有限元模型修正流程圖

(1)明確目標函數，基于響應面法確定結構響應與參數之間近似的映射關系，生成有限元模型結果與實際值的殘差和函數。

(2)運行MATLAB軟件編制的SSA算法程序進行待修正參數的迭代優化。

(3)獲取目標函數修正后的的全局最優解，修正后的有限元模型與實際響應再進行對比，以實際響應驗證有限元修正結果。

3 數值算例

3.1 數值模型概況

以圖2所示的Euler-Bernoulli梁為研究對象，基于SSA對其進行模型修正，驗證算法的精度及效率。該梁長3 m，截面尺寸0.2 m×0.15 m，材料彈性模量為E=3.2×104MPa，材料密度取ρ=2 500 kg/m3。采用空間梁單元建立有限元模型，共劃分10個單元，11個節點。在數值算例中，考慮對部分截面剛度折減的方式模擬實際梁體在運營過程中的局部損傷，以無損傷梁的有限元模型作為初始模型，局部損傷梁的有限元模型作為實際模型，并將局部損傷梁模型的模態自振頻率作為梁動力特性的實測數據，從而達到模擬試驗的結果。

圖2 懸臂梁數值模型

假定梁體在單元2、3、5、6和8出現局部損傷，其截面剛度分別下降了初始值的10%、18%、24%、20%和15%。基于有限元計算分析，可以得到初始模型和實際模型的前5階自振頻率，如表1所示。兩種模型前5階自振頻率誤差均集中在5%附近，如果在實際工程結構中，初始有限元模型與實際值誤差能夠達到如此精度，可不進行模型修正，但對簡單懸臂梁數值模型來說，不存在復雜的簡化假設和建模誤差，更不存在工程建設過程中各種不確定性因素帶來的誤差。顯然，5.621%的最大誤差對簡單懸臂梁來說是無法接受的，所以為了滿足有限元模型能較好地契合實際結構響應的需求，要對初始有限元模型進行修正，以獲取精確的基準有限元模型。

表1 初始模型與實際模型自振頻率對比

選擇10個單元的剛度折減系數x(x=實際剛度/初始剛度)為待修正參數，即無損傷梁的初始參數向量為單位向量[1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]T；局部損傷梁修正后的參數向量解為[1.0, 0.9, 0.82, 1.0, 0.76, 0.8, 1.0, 0.85, 1.0, 1.0]T。以結構前5階自振頻率為修正目標，利用SSA進行有限元模型的修正，修正后的有限元模型動力特性和實際模型響應應保持一致。

3.2 響應面構建

考慮到真實梁體在服役過程中由于材料老化、荷載作用及環境影響等，其使用性能呈現弱化趨勢，故將各單元的剛度折減系數區間取為[0.7, 1.0]，并以材料彈性模量的折減反映剛度折減。基于LHD進行10因素30水平樣本點抽取，得到30組樣本數據，代入有限元模型中計算各試驗水平的前5階自振頻率。部分LHD樣本點與響應值如表2、表3所示。

表2 LHD樣本點

表3 結構響應值

基于逐步回歸理論，采用F檢驗分析待修正參數對響應函數的顯著性。取顯著性水平為0.05，由方差統計分析計算各參數項及其二次項的顯著性水平F值，結果如圖3、圖4所示。

圖3 各參數項對響應函數顯著性分析

圖4 各參數二次項對響應函數顯著性分析

根據參數顯著性分析結果，忽略顯著性較低的參數項，在不影響精度的條件下達到優化方程的目的。采用不含交叉項的二次多項式對樣本數據集進行響應面回歸，實現結構模態自振頻率與各單元剛度折減系數間復雜隱式關系的解析式表達，擬合后的響應面方程如式(13)～式(17)所示。響應面模型精度檢驗結果如表4所示。

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

由表4可知，5個響應面模型的決定系數均達到了0.99以上，說明該響應面方程與有限元計算結果吻合較好，擬合優度較高，客觀真實地反映了結構頻率與各參數之間的關系，具有足夠的精度代替有限元模型進行計算分析。

表4 響應面模型精度檢驗

3.3 有限元模型修正

構建數學優化問題的目標函數為

Y(x1,x2,…,x10)=(Y1-9.058)2+(Y2-

12.064)2+(Y3-55.009)2+(Y4-

72.821)2+(Y5-153.064)2

(18)

根據式(1)將模型修正問題轉化為有約束目標函數極值求解問題，得到如式(19)所示的數學模型為

(19)

利用MATLAB通用數學軟件編制麻雀搜索算法運行程序，求解式(19)的數學模型。同時，為驗證本文算法對目標函數的優化精度和效率，將其結果與其他新興群智能優化算法如灰狼優化算法(grey wolf optimizer, GWO)、鯨魚優化算法(whale optimization algorithm, WOA)進行對比。在SSA算法程序中：初始種群數目為20，預警值取0.8，發現者和偵查者比例取20%和10%，最大迭代次數100次，搜索過程中各變量的上下范圍在[0.7, 1.0]，以10次優化結果的平均值作為全局最優解。為消除算法測試誤差的影響，三種算法設置相同的初始種群數和迭代次數。基于SSA、GWO和WOA的模型修正結果如表5所示。自振頻率修正后的誤差與初始誤差結果對比如圖5所示。

由表5可知，對比基于不同算法修正后各單元剛度折減系數特征值與精確解結果顯示，采用GWO、WOA修正得到的參數修正值與實際值最大相對誤差分別為15.380%、15.714%，誤差均值為9.043%、9.539%；而采用SSA修正計算的最大相對誤差為12.463%，且誤差均值僅為6.549%，參數的修正效果顯著提升。修正的前5階自振頻率誤差均值在三種算法中也是最小的，除懸臂梁5階自振頻率外，其余4階自振頻率誤差均有明顯降低。說明基于SSA的有限元模型修正方法比基于GWO、WOA的修正方法的精度和效率更高。從圖5可以看出，修正前結構前5階實際自振頻率與初始有限元模型計算結果相差較大，最大誤差為5.621%，其余各階頻率也有不小的誤差。采用本文SSA修正得到的基準有限元模型響應值與實際值誤差為0.183%～0.398%，表明修正后的模型能較好的反映結構真實響應，具有較高的精度。

圖5 有限元模型初始誤差與修正誤差

表5 模型修正結果對比

4 結論

首次提出基于RSM-SSA的結構有限元模型修正基本方法，詳盡闡述了該方法用于有限元模型修正的一般流程。以某高維局部損傷懸臂梁模型為數值算例，驗證方法的可靠性和優越性。得到了以下結論。

(1)算法的合理選擇是解決模型修正問題的基礎。基于SSA的有限元模型修正方法獲得了較好的修正結果，修正后模型各階頻率與實際頻率最大誤差僅為0.398%。修正精度和效率較其他群智能優化算法有顯著提升，能明顯降低模型響應與實際響應誤差，真實地反映結構實際力學行為，修正后的基準有限元模型可為結構狀態評估、系統識別和健康監測提供有效的分析手段。

(2)在處理高維問題時，待修正參數眾多，結構響應與參數間往往呈現出強非線性，進行參數顯著性分析可將靈敏度較弱的參數忽略以獲得最優響應面，進一步提升修正效率。而且，可靠的試驗設計方法將直接影響到響應面替代模型的擬合精度與試驗成本。采用的拉丁超立方設計很好地處理了精度與試驗成本這一矛盾問題，以較小的樣本反映總體的變異規律，簡單而不失精度。

(3)面對日趨復雜的實際工程結構，群智能優化算法作為人工智能領域的重要分支展現出極大的優勢，未來其發展將從簡單模擬低等生物種群向高等生物快速邁進，將在科學研究和工程建設領域都有很廣闊的應用前景。