結合閾值法和模極大值法的沖擊加速度信號降噪

卿 濤，丁問司

(華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510640)

0 引言

交變沖擊機構的沖擊性能考核主要是測定沖擊能和沖擊頻率，因此得到沖擊機構在整個工作周期中的運動參數變化(沖擊活塞的速度曲線和位移曲線)是測定沖擊性能指標的關鍵。國內外常用應力波法、觸點法、非接觸式光電位移微分法、高速攝影法、示功圖法和氣壓法等[1]對交變沖擊機構的沖擊性能進行測試，但是上述的測試方法都是間接對沖擊機構的速度和位移進行測定。目前對于速度和位移的測量已經出現了很多新方法和相關精密儀器，然而在實際的應用過程中，還是存在各種各樣的問題。

小波變換廣泛應用于非平穩信號的處理領域，具有低熵性、多分辨分析、去相關性等特點[2]。目前，小波降噪方法主要有空域相關降噪法、模極大值降噪法和閾值降噪法。其中小波模極大值方法的難點是如何確定一個合適的搜索區間，并且采用交替投影算法重構小波系數具有執行效率慢、不穩定等問題。小波閾值方法在信噪比較低的場合去噪效果不明顯，而且會保留非信號傳播路徑上的高頻噪聲。文獻[3]分別使用小波模極大值方法和小波閾值法對液壓沖擊器的沖擊加速度信號進行降噪，這兩種方法只處理了其中的高頻噪聲，沒有將分形噪聲引起的低頻漂移現象考慮進去。在利用微機電加速度計對交變沖擊機構的測試過程中，所獲取的信號常常包含加速度計本身傳感軸的偏移誤差、自身的電路噪聲以及外界的干擾噪聲。而其中含有的分形噪聲會引起交變沖擊加速度信號慢漂移，可歸屬為低頻噪聲[4]。

考慮到后續移動端APP去噪算法編碼的難易和已有算法存在的問題，本文利用閾值降噪法來改善模極大值法降噪過程中模極大值點搜索效率低的問題，并利用分段埃爾米特插值重構算法[5]重構小波系數來降低算法的時間復雜度和提高算法的魯棒性。

1 小波模極大值去噪原理

若有一個函數f(x)在x0附近滿足式(1)[6],則稱α為函數f(x)在x0處的李氏指數，即：

|f(x0+h)-pn(x0-h)|≤t|h|α.

(1)

其中：pn(x0-h)為一個過f(x0+h)的n次多項式；h為充分小量；t為常數。

李氏指數α表示函數在某一點處的奇異性， 并且α越大函數在該點處的奇異性越小；α越小函數在該點處的光滑度越差。

設小波函數為Ψ(x)并且連續可微，如果在x0點的任意鄰域內對函數f(x)任意尺度內的小波變換存在k>0常數，使得對所有x0點鄰域內的小波變換滿足不等式(2)，則函數f(x)在點x0處有一致的李氏指數：

|Wsf(x)|≤ksα.

(2)

其中:s為尺度;Ws為小波變換。

對式(2)兩邊同時取對數，化簡得到信號f(x)的李氏指數與小波變換的模極大值關系：

log2|Wsf(x)|≤log2k+αlog2s.

(3)

當進行二進離散小波變換時，s=2j(j為小波變換尺度)，則式(3)變為：

log2|W2jf(x)|≤log2k+jα.

(4)

在式(4)中，小波變換尺度j與李氏指數α以乘積jα的形式出現，從而可以得出小波變換模極大值隨尺度j或李氏指數α變化的規律。對于常用信號，當α>0時，分解尺度的增大會使模極大值也變大；α<0時,分解尺度的減小會使模極大值也變小。對于噪聲而言，其所對應的α一般小于0，因此信號和噪聲在小波變換的各尺度上存在截然相反的傳播特性，從而達到對信號降噪的目的。

2 閾值降噪方法

小波閾值去噪方法的關鍵是如何選取閾值規則以及閾值量化函數。目前閾值的選取有以下4種方案[7]：固定閾值、Stein無偏似然估計閾值、混合型閾值和最大最小閾值。從所研究的信號出發，選擇合適的閾值方案和閾值函數對小波系數做門限閾值處理。硬閾值函數和軟閾值函數分別為：

(5)

(6)

其中：y為處理后的小波系數；x為小波分解系數；λ為閾值。

與硬閾值函數相比，軟閾值函數會對信號進行壓縮，存在恒定偏差，因此軟閾值函數降噪會丟失奇異點，并且對信噪比較低的信號降噪效果不明顯。根據實測的加速度信號可知，信號的奇異性較大，為了更好地保留信號中的奇異性，本文選用硬閾值函數對小波系數做門限閾值處理。

借鑒文獻[8]，本文采用改進的變閾值策略：首先確定最大尺度J上的門限閾值為T0=C·M/J(C根據信號的實際情況進行賦值，M為當前尺度上全部模極大值中的最大值)，保留大于等于最大尺度上閾值的模極大值，將小于最大尺度上閾值的模極大值置零。在1～(J-1)分解尺度上將門限閾值設置為T0=C·M2/ln(j+1)，采用硬閾值函數量化小波系數。

3 重構信號的降噪方法

根據采用硬閾值函數以及自適應閾值規則改進小波模極大值點搜索的思路，本文提出的降噪方法具體實現步驟如下：

(1) 對實測含噪信號序列{f(ni),i>0}做多尺度二進小波變換，求出不同尺度上的小波系數序列。

(3) 在尺度j=J-1上尋找尺度J上模極大值點

(4) 重復步驟(3)，直到尺度j=2為止。

(5) 在最小尺度上保留相鄰高尺度上模極大值點位置處大于閾值的極值點，從而得到最小尺度上的模極大值點。

圖1 本文提出的小波降噪算法流程

4 仿真實驗與工程應用

4.1 仿真實驗

選用MATLAB中具有沖擊特征的Bumps信號進行仿真實驗。信號的采樣點數為1 024個，采樣時間為1 s。向原始Bumps信號中添加分形噪聲[10]、白噪聲和脈沖噪聲，因此輸入信號可以用以下的方程來表示：

f(n)=s(m)+h(m)+w(m).

(7)

其中:s(m)為原始信號；h(m)為分形噪聲；w(m)為高斯白噪聲。

本文選用db6小波，分解層數為3層，采用前文所述的閾值選取規則，依次使用普通模極大值降噪法、文獻[11]中提出的基于SURE自適應閾值的模極大值降噪方法和本文方法對如圖2(a)所示的含噪Bumps信號進行降噪處理，所得的效果如圖2(b)～圖2(d)所示。

圖2 多種方法對含噪Bumps信號的降噪結果

由圖2(b)可以看出，普通模極大值降噪法在t=0.53 s附近出現尖峰，在t=0.68 s和t=0.97 s附近出現信號重疊；由圖2(c)可以看出，文獻[11]降噪方法在第5個突變點處的信號沒有其他算法那么光滑；由圖2(d)可知，本文降噪法具有更好的光滑性，較好地保留了信號中的奇異性。

通過比較均方根誤差(RMSE)和信噪比(SNR)的大小可以直觀地判斷算法的降噪效果，均方根誤差和信噪比的計算公式如下：

(8)

(9)

計算得到的三種降噪算法的均方根誤差和信噪比見表1。

表1 三種降噪算法的均方根誤差和信噪比比較

根據表1可以得出本文方法的均方根誤差明顯要低于其他兩種方法，并且信噪比也要優于其他兩種方法，證明本文降噪法的去噪性能有所提升。

各降噪法執行環境一致，用執行時間來表征算法的執行效率，將各算法分別執行10次，取平均值作為最終執行時間。不同含噪信號三種降噪算法從開始處理信號到運行結束的執行時間見表2。將文獻[11]降噪法與普通降噪法的執行時間相比較，可知閾值規則以及量化函數的選取可以提高搜索效率，從而減少執行時間；將本文降噪法與文獻[11]方法的執行時間相比較，可知使用分段埃爾米特插值重構算法比使用交替投影重構算法的執行效率快。

表2 不同含噪信號三種降噪算法執行時間比較

4.2 工程應用

本文選擇交變液壓沖擊器作為被測對象，采用微機電系統(MEMS)加速度傳感器作為測量元件搭建測試系統。某次實驗采集到的實測沖擊加速度信號如圖3(a)所示，在所選小波基函數和分解層數相同的情況下，分別使用本文降噪法、普通降噪法和文獻[11]降噪法對信號進行降噪處理，降噪效果如圖3(b)～圖3(d)所示。比較圖3(b)～圖3(d)可知，本文降噪法較好地保存了沖擊信號的能量，與其他兩種降噪法相比沖擊特征也更為明顯，并且本文降噪法相比其他兩種方法具有更好的降噪性能，提高了執行效率。

圖3 不同降噪法的去噪效果

5 結論

本文根據小波硬閾值降噪法、小波模極大值降噪法和分段埃爾米特插值重構算法各自具有的優點，將它們結合起來，得到了一種結合閾值法和模極大值法的新去噪方法。在仿真實驗和工程應用中，與其他降噪算法的降噪效果進行了對比分析。結果表明，本文方法降噪效果更好，執行效率更高，計算更加穩定，有利于提高后續速度積分和位移積分的精度，并且算法時間復雜度的降低和魯棒性的提升為移動端APP實現數據在線處理和分析奠定了基礎，有利于實現沖擊機構控制的智能化。