分享彼此智慧 線上暢快交流

摘?要：在線教學便于教師展示學生的學習成果，學生間獨特的解題思路和方法成為同儕學習的資源。賞析同伴分析問題的不同觀點與角度，有助于拓寬學生的視野，獲得豁然開朗的學習體驗。教師引導學生賞析不同的解題方法，體會這些方法之間的數學原理和聯系，有助于學生將零散知識結成知識網絡，獲得思維層次的躍升。

關鍵詞：圓;一題多解;線上教學

線上教學與在校教學的物理空間不相同，師生之間的語言交流、情感交流相對難以實現。但線上教學所存在的時空靈活性、資源迭代性、過程留痕性等特點，為學生儲備終身學習的能力有所幫助。筆者在線上教學時，注重分享學生豐富多彩的思考結果，以同伴的智慧激勵更多同學積極思考，收到較好的教學效果。現以一道圓的綜合問題為例，呈現學生的多種解法，學生思考的多樣性為線上教學提供了豐富資源。

學生對一個問題的不同解法是學生思維多樣性的體現，有助于挖掘數學問題的潛在價值，揭示問題的本質。分享交流學生的解題智慧，學生對問題分析的觀點與角度越豐富，越有助于學生拓寬視野，打開解題思路，培養學生從不同的角度分析問題、解決問題的能力。用多種方法解決問題，這些方法之間存在著可相互轉化的聯系，有助于知識生成從零散變得系統，思維從淺層走向深刻。

一、 問題呈現

如圖1，P是⊙O外的一點，PA是⊙O的切線，A是切點，PO與弦AB交于點F，且PA=PB，延長AO交⊙O于點C，交PB的延長交于點Q。

（1）求證：PB是⊙O的切線;

本題是基于四川省樂山市2018年中考數學試卷第24題改編而成的。根據SOLO分類理論，改編時圍繞著直線與圓的關系設置難度不同的三個小題，問題（1）考查學生是否掌握圓的切線的證明問題，考查的思維水平處于單點結構水平;問題（2）考查學生是否能夠關聯三角函數、相似三角形、勾股定理綜合解決問題，考查的思維水平處于多點結構水平或關聯結構水平;問題（3）考查學生是否理解平行線分線段成比例的基本事實，三角形的中位線定理是平行線分線段成比例定理的特例，考查的思維水平處于關聯結構水平或抽象擴展結構水平。

二、 答題分析

對于問題（1），筆者分析了所教兩個班87位學生在線提交的答案，正確率約為94.25%。其中56位學生采取證明三角形全等的方法解決問題，25位學生分別利用△OAB、△PAB為等腰三角形，根據等邊對等角的原理，證明∠PAO與∠PBO相等。1位學生根據OA=OB說明點O在AB的垂直平分線上，根據PA=PB說明點P也在AB的垂直平分線上，由PO垂直平分AB進一步展開證明。全部學生中，有5位學生做錯或者放棄作答。其中，放棄作答者1位。直接根據PA=PB，錯用“切線長定理”推出∠PBO=∠PAO=90°的學生有3位。作輔助線出錯，認為連接OB的同時也可直接作OB⊥PQ，這樣出錯的學生有1位。

問題（1）解題思路如下：如圖2，連接OB，由PA=PB、OA=OB、PO=PO，證得△PAO≌△PBO，推出∠PBO=∠PAO。因為PA是⊙O的切線，則∠PAO=90°，從而推出∠PBO=90°，又OB是⊙O的半徑，所以PB是⊙O的切線。

對于問題（2），87位學生正確率不足79.31%。其中64位學生運用三角函數（或相似三角形的性質）、勾股定理，準確計算得AP=6。另有5位學生在解答的思路上與上述同學一致，但因為計算出錯未能得到準確結果。因為解題時間限制或者沒有解答思路，有13位學生放棄作答。另外還有5位學生圍繞已知條件堆砌結論，而這些結論對于最終結論的推導沒有關聯作用。

三、 解法分享

問題（3）要求學生具備合理的分析問題的能力及化歸的思想，適合一題多解，不同類型的解答反映出學生的數學思維處于不同水平。若為本題賦分值為10分，筆者所任教年級全體學生的平均分是3.9分，說明多數學生僅僅能夠提取出熟悉的數學情境，并在這個情境中完成一定的計算和推理，但無法完成整個題目的解答。有的學生運用了較多的知識，做了大量具體的計算，完全或基本上解決了問題，但是解法計算煩瑣，同時解法只能處理題目的特殊情況。有的學生應用了平行線分線段成比例的事實解答問題。有的學生用了面積法，只需做較少的計算，解答過程更為簡潔，解題過程揭示問題本質，解法可以處理一般情況或對問題進行推廣。下述5種解法，體現了學生不同的思考路徑。

方法1：本法由欣銘、觀坤、詩湲、華南等同學提供。

方法2：本法由彥緯、宇森、梓灝等同學提供。

方法3：面積法，本法由彥宇等同學提供。

方法4：直接計算法，本法由吳洋、志邦等同學提供。

方法5：建立坐標軸法，本法由杜理同學提供。

四、 教學反思

教學的立足點是培養學生的核心素養，增強學生對知識理解及應用的能力，切不可只是為了解題而教題。對本題的分析應展現思索的過程，分析知識點的來龍去脈，歸納內在的思想方法，啟發學生的聯想。重視定理的理解性學習經歷，有助于提高學生的聯想類比及應用的能力，提高學生的綜合分析問題的能力。一題多解，可讓學生認識到解法的本質，分析解法的一般性、特殊性及內在聯系。

學生在線上提交各自的解答，有助于教師透過數據及時、準確地分析學情，有助于教師發掘學生多種方法的智慧瞬間，給予學生展示自己精彩想法的機會，在相互賞識中拓寬學生的思維，讓學生感受不同的思考角度。學生豐富多樣的思考結果是寶貴的學習資源，能鼓勵學生提升思維品質，有助于開拓學生的思維，是全面提高學生數學核心素養的教學舉措。

參考文獻：

[1]鄭定磊.數學核心素養觀下中考壓軸題評價功能及備考建議[J].福建教育學院學報，2019（6）.

作者簡介：

陳燕，廣東省湛江市，湛江一中培才學校。

①文章是廣東省教育科研“十三五”規劃2020年度教育科研一般項目課題“追本溯源：基于數學史的單元主題教學研究”（立項編號：2020YQJK384）的研究成果;文章是廣東省教育研究院教育研究課題“提升初中生數學語言能力的教學實驗研究”（立項編號：GDJY-2020-A-s094）的研究成果。