柔性機械臂最優抑振軌跡規劃與跟蹤控制研究

韓鍵美

（永城職業學院，河南 永城 476600）

1 引言

柔性機械臂具有能耗低、響應快、負載-自重比高、效率高等諸多優點，但是其在工作過程中容易產生振動，不僅降低了定位精度，而且影響機械臂的使用壽命［1］，因此研究機械臂工作過過程中的抑振問題意義明顯。

柔性機械臂振動控制方法包括被動控制和主動控制兩大類。被動控制方法是在彈性振動產生后使用阻尼方式抑制振動，阻尼結構包括彈性阻尼材料、分流阻尼回路等，此類方法缺點是適用性和魯棒性差，且增加阻尼材料后也增加了動力學特性復雜度［2］。當前振動控制的研究熱點是主動控制方法，主動控制方法是通過設計控制器，主動地減小彈性振動。文獻［3］使用其一攝動法將柔性機械臂分為快變子系統和慢變子系統，波那個分別設計控制器實現振動抑制；文獻［4］設計了自適應魯邦滑模控制器，使用傳感器和致動器實現了柔性機械臂抑振；文獻［5］將輸入整形和模糊控制器結合提出了混合模糊控制器，實現了柔性機械臂軌跡軌跡跟蹤和振動抑制；文獻［6］使用頻域辨識和極點配置實現了振動控制。

本文以柔性機械臂抑振軌跡規劃和跟蹤控制為研究課題。在抑振軌跡規劃方面，提出了自適應遺傳算法用于軌跡規劃；在軌跡跟蹤方面，提出了全階終端滑模控制器，達到了抑制柔性機械臂殘余振動的目的。

2 柔性機械臂動力學模型

2.1 柔性機械臂系統

以單連桿柔性機械臂為例，設定柔性機械臂工作在水平面內，如圖1所示。圖中：Oxy—機械臂坐標系；Ox—軸與機械臂根部軸線相切；Oy軸與Ox軸垂直。Ox0y0—固定坐標系，與初始時刻的Oxy坐標系重合；w(x，t)—t時刻與原點距離為x處（點P）的彈性位移；ψ(x，t)—t時刻點P的角位移；θ—機械臂角位移；JL—關節轉動慣量；τ—驅動力矩。

圖1 柔性機械臂系統Fig.1 Flexible Manipulator System

為了簡化柔性機械臂動力學模型，作出以下假設：（1）機械臂臂長遠大于橫截面尺寸，即只考慮彎曲變形而忽略剪切變形；（2）將末端負載視為質點。

2.2 柔性機械臂動力學模型

根據彈性理論和假設模態法［7］，t時刻P點彈性位移w(x，t)為：

式中：n—保留模態數；?i(x)—第i階模態振型函數；qi(t)—第i階模態坐標。根據邊界條件可以求得式（1）表達式。

本文使用拉格朗日方程建立柔性機械臂動力學方程，首先求解機械臂系統的動能和勢能。機械臂系統動能包括關節處轉軸動能、連桿動能和負載動能三部分組成。關節處轉軸動能T1為：

式中：JL—關節轉動慣量。

記P點坐標為(px，py)，則P點位置和速度為：

則機械臂連桿動能T2為：

式中：lL—連桿長度；ρL—連桿材料密度；AL—連桿橫截面積。

負載動能T3為：

式中：vL—機械臂末端速度；mg—負載質量。

由以上推導可得機械臂系統動能T為：

由于柔性機械臂工作在水平面內，因此不考慮重力勢能而只需考慮彈性勢能，即勢能為：

式中：IL—機械臂橫截面的慣性矩；EL—機械臂彈性模量，Ki為：

結合式（5）、式（6），根據拉格朗日方程得到柔性機械臂動力學矩陣方程為：

3 最優抑振軌跡規劃

3.1 最優抑振軌跡規劃模型

將式（8）中的剛性運動和柔性運動進行區分，為：

式中：下標r—剛性運動；f—柔性運動。由上式可得：

式中：W—總振動量；r1、r2—調節系數；tb—機械臂旋轉終止時刻。

根據機械臂起始位置、終止位置等基本條件，使用五次多項式規劃一條基準軌跡。將工作時間劃分為n等份，時間節點依次次多項式規劃的θi為基準角位移θBi，以角位移浮動值ΔθCi為優化對象，從而得到各時間節點優化的角位移，而后使用五次多項式樣條曲線依次規劃之間的運動軌跡，將軌跡曲線代入到式（10）中得到動力學相應，將其代入到式（11）中計算適應度值，依據適應度值評價軌跡優劣程度。

3.2 智能求解方法

遺傳算法是模擬生物遺傳和自然選擇過程而提出的，包括編碼、初始種群生成、遺傳操作等。初始種群的生成、交叉變異概率對算法尋優性能影響較大［8］，本文從此三個方面進行改進。

（1）染色體編碼。使用實數編碼方式，對n個角位移浮動值ΔθCi(i=1，2，…，n)進行編碼。

（2）初始種群生成。在傳統遺傳算法中，初始種群的隨機產生方法導致初始種群適應度不高，本文提出以均勻方式產生初始種群，方法為：將角位移浮動值取值空間等分成z個空間，在每個空間中均勻產生p個n維染色體，將此z×p個染色體依據適應度排序，選擇前N個個體作為初始種群。初始種群的均勻生成方法，保證了染色體的分散性，有利于算法的全局搜索。

（3）自適應交叉操作。交叉操作是染色體進化的主要方式，對于提高種群多樣性意義重大。本文提出以種群多樣性為依據，自適應調整交叉概率。種群多樣性好時使用小的交叉概率，保持種群多樣性和穩定；種群多樣性差時使用大的交叉概率，提高種群多樣性。使用適應度方差和分布熵作為種群多樣性的度量。種群規模記為N，第i個染色體的適應度記為fi，平均適應度記為，則第j代種群適應度方差Gj為：

分布熵計算方法為：依照前文將取值空間等分為z個子空間，第i個子空間的個體數量記為Ai，則第j代種群的分布熵Hj為：

其中，pi=AiN。

適應度方差和種群分布熵較大時說明種群分布均勻，進化能力較強。交叉概率隨種群多樣性自適應變化方法為：

（4）自適應變異操作。變異操作是染色體進化的重要方式，對于較優染色體，變異操作可以破壞優質染色體，因此應使用較小的變異概率；對于較差染色體，變異操作可以使其變異為優質染色體，應使用較大的變異概率。根據以上分析，第i個個體變異概率pmi隨適應度自適應變化方法為：

（5）選擇操作。以個體適應度為選擇依據，每個個體被選概率為，式中f(i)為個體i的適應度值為所有個體適應度之和。這種選擇方式既保證了優秀個體被選可能性較大，也保證了任意個體被選可能性，保持了種群多樣性。

4 軌跡跟蹤控制

滑模控制具有較強的魯棒性和較快的跟蹤速度，本文將其應用于柔性機械臂軌跡跟蹤。但是滑模控制存在抖振問題［9］，本文設計了全階終端滑模控制器，不僅可以抑制抖振問題，而且避免了終端滑模控制的奇異點問題。

4.1 旋轉過程中跟蹤控制器

以式（9）為基礎，令：

則由式（9）可得：

定義軌跡跟蹤誤差并對其求導為：

式中：θ為機械臂實時角位移，θd為期望角位移。

為使跟蹤誤差在有限時間內收斂至0，定義全階終端滑模面為：

其中，要求c1>0，c2>0，且保證的根在負平面內。a2∈(0，1)，a1=a2(2-a2)。

為了削弱滑模控制器存在的抖振問題，本文使用一階濾波器設計控制律，為：

其中，η>0、T0>0均為常數，Tu≤-2η。由于控制律中不存在分數次冪項的導數，因此避免了奇異點問題。

下面只需要證明全階終端滑模面具有穩定性，且在式（20）控制律作用下可使系統狀態在有限時間內到達滑膜面，并沿滑模面收斂至零點。

（1）全階終端滑模面穩定性證明。將式（18）與式（20）代入到式（19），整理得：

對式（22）進行求解，得：

根據式（23）（24）可知：

定義李雅普諾夫函數為：

對式（26）求導，并將式（24）（25）代入，得：

由式（26）（27）可知，全階終端滑模面具有李雅普諾夫意義下的穩定性。

（2）系統任意狀態有限時間內收斂至滑模面證明。記系統由任意初始狀態s(0)到達滑模面所需時間為t r，即s(t r)=0。由式（27）可知：

不妨設s>0，則s?≤-ηe-T0t，對兩邊進行積分，則：

同樣地，當s<0時依然能夠得到式（29）給出的結論，式（29）表示跟蹤誤差e1、e2可以在有限時間內到達滑模面。

（3）系統狀態在滑模面內有限時間內到達誤差原點。系統狀態在t r時刻到達滑模面（e1(t r)≠0），記跟蹤誤差在t s時刻運動至零點（e1(t s)=0）。此階段系統狀態在滑模面上運動，即s=0，則根據式（19），有：

式（30）所示誤差系統，滿足以下條件時：（1）c1>0，c2>0，且保 證p2+c2p+c1=0的 根 在 負 平 面 內；（2）a2∈(0，1)，a1=a2(2-a2)，系統誤差可在有限時間內收斂為零。此證明過程可參考文獻［10］。

4.2 旋轉結束后跟蹤控制器

機械臂旋轉結束后，對機械臂末端軌跡進行控制，消除機械臂末端的殘余振動，使機械臂末端盡快停止在期望位置。根據圖1所示柔性機械臂模型，柔性機械臂末端角位移ψ(l L，t)與關節角位移θ關系為：

由于彈性形變量較小，因此arctg(w(l L，t)l L)=w(l L，t)l L，則：

對上式求二階導數，得：

柔性機械臂旋轉結束后控制目標為消除末端殘余振動，使機械臂末端角位移ψ(l L，t)盡快跟蹤期望角位移ψd=θ(t b)，因此定義旋轉結束后跟蹤誤差為：

對上式進行求導，得到：

定義全階終端滑模面為：

其中，a3、a4、c3、c4的取值方式與a1、a2、c1、c2完全一致。對于此終端滑模面，設計控制律為：

式中τeq與τes定義方法為：

其中，T0′、T u′、η′與式（22）中T0、T u、η的取值方式完全一致。由4.1節證明過程可知，系統狀態可在有限時間內到達滑模面，并沿滑模面運動使系統誤差為0。

5 仿真驗證與分析

本節對兩部分內容進行驗證：一是對最優抑振軌跡規劃方法進行驗證，二是對軌跡跟蹤控制器的抑振效果進行驗證。

5.1 最優抑振軌跡規劃

設定機械臂的初始角位移為0，目標角位移為1.57rad。使用五次多項式規劃出基礎軌跡，然后將其等分為10段，分別使用自適應遺傳算法和傳統遺傳算法對角位移浮動值進行尋優，算法參數設置為：算法最大迭代次數iter=500，染色體個數N=30，需優化的浮動值數n=9，浮動值上下限分別為π8，調節系數r1=0.01，r2=0.99。

分別使用五次多項式、基于傳統遺傳算法的抑振軌跡規劃、基于自適應遺傳算法的抑振軌跡規劃等方法對柔性機械臂軌跡進行規劃。使用五次多項式規劃時，以初始點和(t2,θ2)為規劃起點和終點，(t2,θ2)至(t,θ)的軌跡與前半部分曲線成點對稱。傳統蟻群算法與自適應遺傳算法的搜索過程如圖2所示。

圖2 兩種遺傳算法的搜索過程Fig.2 Searching Process of the Two Genetic Algorithms

由圖2可以看出，自適應遺傳算法在迭代至50次基本完成收斂，最終收斂值為4.1×10-5，傳統遺傳算法在迭代至210次時基本完成收斂，最終收斂值為4.7×10-4。由此可以看出，自適應遺傳算法具有更快的收斂速度和更高的尋優精度，這是因為種群交叉概率隨種群多樣性自適應調整，將種群多樣性保持在較高水平，提高了算法搜索能力和收斂能力；另外，變異概率根據個體適應度確定，既維護了優質染色體，又提高了較差染色體變優的概率。

傳統遺傳算法、自適應遺傳算法、五次多項式等三種方法規劃的軌跡，如圖3所示。

圖3不同方法規劃的軌跡Fig.3 Manipulator Trajectory Planned by Different Method

圖3 給出三種軌跡的機械臂末端第一、二階振動模態如圖4所示。

Fig.4不同軌跡的振動量Fig.4 Vibration of Different Trajectory

由圖4（a）可以看出，使用自適應遺傳算法規劃的最優抑振軌跡，機械臂在1s時完成旋轉，完成旋轉后的一階模態殘余振動極小，在0值附近輕微波動，可以忽略不計；而使用傳統蟻群算法規劃的抑振軌跡和五次多項式軌跡在1s旋轉結束后的一階模態殘余振動較大，振動幅值最大時約為15mm，且在（4～50s時才逐漸穩定，嚴重影響了機械臂的穩定時間、工作效率和使用壽命。三種方法規劃軌跡的二階模態振動量相差不大，在1s后均穩定在0值附近。綜合一二階模特振動量，基于自適應遺傳算法規劃的機械臂軌跡具有最優的抑振效果，在機械臂旋轉結束后可盡快穩定在目標值附近，振動量極小。

5.2 軌跡跟蹤控制器的抑振效果驗證

以5.1節中自適應遺傳算法規劃的最優抑振軌跡為跟蹤對象，全階滑模控制器參數設置為：a1=3 17，a2=3 10，a3=7 13，a4=7 10，c1=6，c2=5，c3=2，c4=3，T0=9，T0′=5，T u=-1.8，T u′=-2.2，η=0.6，η′=0.8。柔性機械臂參數為：機械臂長l=700mm，高h=30mm，厚d=2mm，密度ρ=7.85×103k g∕m3，彈性模量E=2×1011Pa，關節轉動慣量J=0.8kg?m2。

為了形成比較的效果，使用BP神經網絡優化的PID控制方法同時進行軌跡跟蹤控制，PID控制器與全階終端滑模控制器的軌跡跟蹤效果，如圖5所示。

圖5 不同控制器的軌跡跟蹤效果Fig.5 Trajectory Tracking Effect of Different Controller

從圖5中可以看出，在1s機械臂旋轉結束后，在全階終端滑模控制器的控制下幾乎不存在振動現象，而在PID控制器的控制下，機械臂旋轉結束后的殘余振動幅度較大且振動時間較長，3.5s時振動才減小到較小程度，說明全階終端滑模控制器對柔性機械臂具有極好的抑振效果和跟蹤精度。

在全階終端滑模控制器和PID控制器的控制下，系統的一階振動模態位移，如圖6所示。

圖6 不同控制器的一階振動模態Fig.6 One Order Vibration Mode of Different Controller

由圖6可以看出，在全階終端滑模面控制器的控制下，不僅機械臂旋轉過程中的振動幅度較小，而且旋轉結束后幾乎不存在殘余振動，可以迅速穩定在目標角位置，也說明了全階終端滑模控制器的控制效果遠遠優于PID控制器。這是因為在柔性機械臂旋轉過程中和旋轉結束后，滑模控制器均對機械臂施加控制，使跟蹤誤差及其導數在有限時間內達到滑模面并移動至零點，達到了極好的抑振效果。

6 結論

本文研究了柔性機械臂的最優抑振軌跡規劃和跟蹤控制問題，通過仿真驗證得到了以下結論：（1）自適應遺傳算法相比于遺傳算法具有更快的收斂速度和更高的尋優精度；（2）自適遺傳算法規劃的抑振軌跡在機械臂旋轉結束后殘余振動遠遠小于傳統蟻群算法規劃的軌跡；（3）全階終端滑模控制器的抑振效果明顯優于PID控制器。