梯形速度改進算法在打磨裝置中的應用研究

吳鵬飛，單 奇，羅新河，蔡正凱

（西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031）

1 引言

傳統的機器人作業任務，如搬運，碼垛等不能充分發揮機械臂的應用價值，隨著“中國制造2025”的提出以及機器人相關技術的發展，將機器人技術與制造加工技術相結合成為未來先進制造技術的重點研究方向之一[1-2]。而將機器人用于制造加工領域，如裝配，打磨拋光等，則需要其和外界環境進行接觸作業，接觸過程中不可避免的會發生碰撞沖擊，可能對機器人本體和接觸環境造成損害，因此系統接觸過程快速穩定且沖擊力小的控制策略的研究有著重要意義[3-4]。

文獻[5]將機器人與環境接觸碰撞的過程分成三個階段：自由運動階段、接觸轉換階段、約束運動階段，在每個階段都單獨設計控制策略。文獻[6]基于傳統的阻抗控制思想進行改進，提出了分別在自由空間和受力空間的阻抗控制方法，使得機器人與環境剛接觸時機器人的速度為零，加速度也為零。文獻[7]提出了在接近運動階段基于虛擬接觸力的非接觸阻抗控制方法，調整接近運動過程中機器人末端的慣性、阻尼和剛度特性，在保證快速接近前提下減小后續碰撞接觸沖擊作用。文獻[8]提出了基于雙冪次趨近律的分級滑模控制律，在抑制抖振的同時，可使系統狀態兼具較快的趨近速度和較好的動態性能。文獻[9]采用分段降速的策略來降低碰撞沖擊力。然而，上述研究仍存在許多實際的問題，主要有：控制策略需要轉換且過于復雜，使得在工程應用中難以實現；阻抗控制雖然可以同時適用于自由空間和約束空間，但在自由空間中耗費的時間與阻抗控制參數以及機械臂初始位置相關，難以優化[10-11]。以打磨為研究背景，對末端執行器自由空間運動階段進行研究，提出了一種改進型變權重梯形速度控制算法。

2 打磨系統構成

打磨系統控制原理圖，如圖1所示。工作原理：傳感器將打磨頭和工件的初始位置信息傳遞給控制器，以確定運動控制算法的具體參數，據此算法可求出電機每一步運動所需的轉動角度，再結合電機的分辨率得到對應的脈沖數。控制器以設定的頻率向驅動器發送指定數量的脈沖以驅動打磨裝置按照期望的規律運動。

圖1 打磨系統控制原理圖Fig.1 Control Schematic Diagram of Grinding System

打磨裝置的結構，如圖2所示。由伺服電機，聯軸器，滾珠絲杠，滑臺，導軌，直流電機，打磨頭等組成。其中伺服電機輸出軸通過聯軸器與滾珠絲杠的螺桿連接；滾珠絲杠的螺母與滑臺固連；滑臺可在導軌上做直線運動；直流電機安裝在滑臺上表面且輸出軸與打磨頭連接。根據上述各個部件的約束關系，可以將伺服電機輸出軸的旋轉運動轉換成滑臺的往復直線移動，從而改變打磨頭與工件之間的距離以完成工件的打磨任務。

圖2 打磨裝置機械結構圖Fig.2 Mechanical Drawing of Grinding Device

3 運動控制算法設計

針對傳統的梯形速度控制算法存在的加速度不連續，運動終點加速度不為零和運動規律不便調節等問題，同時考慮末端到達目標位置與環境的碰撞沖擊現象，本節對其進行改進。改進型算法首末兩段的速度是關于時間的二次函數并且所占整個運動周期的權重可調，使得運動過程更平穩，響應速度更快；在終點具有零加速度和極小速度，能有效地降低末端與環境之間的相互作用力。由于伺服電機工作在位置模式下，最后將改進的梯形速度算法通過積分得到位移與時間的分段函數關系。

3.1 傳統的梯形速度控制算法

梯形速度控制算法一般分為三段：加速段，勻速段，減速段。其數學模型為：

對式（1）進行微分可知，傳統梯形速度算法的加速度是階躍變化的，且運動終點的加速度不為零。

3.2 改進型梯形速度控制算法

對梯形速度進行改進設計，如圖3所示。

圖3 改進型梯形速度Fig.3 Improved Trapezoidal Speed

在首段和末段，設定速度v是時間t的二次函數，從而使得加速度連續且單調遞減；在中間段，將速度保持約束的最大速度Vmax；同時使最終速度為一極小值Vmin，以確保即使實際運動過程中系統受到內部控制誤差以及外界干擾的影響，打磨裝置末端執行器也能與工件相接觸。根據運動控制特點，利用速度v和時間t構造函數表達式：

將式（3）代入式（2）可得對梯形速度優化的數學模型：

通過速度v對時間t的積分可得位移x的數學模型為：

位移x關于時間t的分段函數圖，如圖4所示。

圖4 改進型梯形速度算法下位移關于時間的函數圖像Fig.4 The Graph of Displacement as a Function of Time under the Improved Trapezoidal Velocity Algorithm

3.3 權重調整策略

在運動控制模型中，實際自由運動空間總位移量X已知，設所需運動周期為T，即t3=T。權重k是變加速段占整個運動周期的比值，即k=t1∕T。設首末段時間占比相同，即t1=t3-t2。

將上述條件代入式（5）中，即可得到位移量X與運動周期T的函數表達式：

當總位移量X一定時，可以通過調整權重k以改變速度V，從而改變運動周期T。而當實際位移量增加時，如果仍保持既定的k值不變，即權重恒定，則運動周期將線性增加。為了當位移增量相同時，運動周期增量減少，可以通過設定k值變化規律使得總位移量X是運動周期T的二次函數來實現。因此設權重k是總時間T的函數，使其可以隨著實際工況的變化而自動改變，避免每次人為調整帶來的時間耗費長且調整量難以把控等問題。構造權重k關于總時間T的函數表達式：

式中：m—負數；k0—k的初始值。

由此可得變加速段時間t1的函數表達式：

由式（9）的數學關系可知，當T=-k0∕2m時，t1有最大值，之后隨著T的增大，t1反而減少。對應到實際的變加速段，過短的時間容易使系統不穩定。所以要求k≥0.5k0，保證變加速段有足夠的時間。綜上所述，可對權重k的取值策略構造函數表達式：

將式（10）代入到式（6）可得位移量X和運動周期T的函數表達式：

根據式（11）可以求出在約束條件下，當總位移量一定時完成運動所需要的總時間，再通過式（10）即可確定首末段的權重，從而得到每個階段的具體時間，最后由式（5）得到整個運動過程中每一時刻的位移。

4 仿真分析

利用MATLAB和ADAMS對打磨裝置末端執行器自由空間運動階段進行聯合仿真，仿真平臺的ADAMS模型，如圖5所示。3.2節求得的式（5）表達的是工作空間中打磨頭位移與時間的關系，為了便于控制，需結合滾珠絲杠的傳動關系式（12）將其轉換到關節空間中進行表示，即可得到關節空間中電機轉角關于時間的函數表達式（13）。

圖5 仿真平臺的ADAMS模型Fig.5 ADAMS Model of Simulation Platform

式中：S—滾珠絲杠的導程；θ—電機轉動的角度

4.1 控制流程

MATLAB與ADAMS之間的交互關系，如圖6所示。

圖6 MATLAB與ADAMS之間的交互關系Fig.6 Interaction between MATLAB and ADAMS

ADAMS將打磨頭與工件表面的初始距離X送入MATLAB，在MATLAB環境中，首先得到總時間T，再得到權重k值以確定每個階段電機具體的運動規律，設定步長Δt的值，將每一步的角度值θ送到ADAMS中以控制電機轉動，從而使打磨頭在自由空間中按照式（5）期望的控制律運動。

4.2 仿真結果及分析

將 參 數 設 定 為Vmax=10mm∕s，Vmin=0.3mm∕s，k0=0.15，m=-0.005，S=1mm，在初始距離X分別為100mm，130mm和160mm這三種情況下，分別對傳統型、改進型恒權重和改進型變權重的梯形速度控制算法進行仿真。

（1）在初始距離X為100mm，130mm和160mm這三種情況下，采用三種梯形速度控制算法的位移與時間的仿真結果圖，如圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）所示。

圖7 各工況下三種算法的位移與時間仿真曲線Fig.7 The Displacement and Time Simulation Curves of the Three Algorithms under Different Working Conditions

各工況下三種算法的運動周期數據，如表1所示。由圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）和表1可以看出，在初始距離一定時，改進型變權重的梯形速度算法的運動周期最小，響應速度最快，改進型恒權重算法次之，傳統算法最慢。

表1 各工況下三種算法的運動周期數據Tab.1 The Motion Cycle Data of the Three Algorithms in Each Operating Condition

（2）在總位移為130mm時三種算法的接觸力仿真曲線，如圖8所示。

圖8 130mm下三種算法的接觸力仿真曲線Fig.8 Contact Force Simulation Curves of the Three Algorithms under 130mm

從圖（8）可以看出，傳統梯形速度控制算法的接觸力遠大于改進型恒權重和改進型變權重的接觸力，這是因為運動控制過程中存在誤差，傳統梯形速度控制算法難以保證打磨頭和工件表面接觸時速度為零，同時其加速度不為零，引起了較大的相互作用力；而改進型恒權重和變權重梯形速度優化算法可以使得打磨頭以極小速度和零加速度的狀態與工件表面接觸，有效地降低了打磨頭與工件表面的相互作用力。

5 結論

首先對打磨系統構成及工作原理進行分析，并建立其模型，然后設計一種改進型變權重梯形速度控制算法，通過積分得到位置控制算法，以此控制打磨頭在自由空間的運動。仿真結果表明，該算法簡單易于實現，且碰撞沖擊影響較小，同時能有效的減少整個運動過程的時間，對控制打磨頭在自由空間的運動具有借鑒意義。