模糊分數階滑模控制在PMSM伺服系統中研究與應用

金 鵬

（遼寧工程職業學院電氣工程系，遼寧 鐵嶺 112008）

1 引言

永磁同步電機（PMSM）具有動態響應速度快、功率系數大、負載能力強、節能高效等優點，廣泛應用于工業伺服控制領域［1］。因其復雜的電氣特性，PMSM伺服系統是一個多變量、非線性、強耦合、時變的系統［1］，難以建立精確模型。一些學者提出PID參數自適應調節的混合算法［2］，如：模糊PID，利用遺傳算法調節PID參數，利用粒子群算法調節PID參數等。這些算法可以自適應調節PID參數，并且魯棒性較好，但前提還是要建立PMSM的精確模型［3-6］。

滑模控制算法（SMC）具有調節參數少、魯棒性強、無需精確控制模型等優點，近年來在復雜伺服控制系統得到廣泛應用［1］。但滑模控制最大的缺點就是系統的執行機構因切換開關在時間及空間存在一定的滯后性，導致滑模動態不能在滑模面準確發生，引起系統抖振。強烈的系統抖振會引起系統耗能過快，激發未建模型的危害［3］。為削弱輸出抖振，一些學者提出優化算法，如Terminal滑模控制、狀態觀測器方法、高階滑模控制等。但這些算法都存在著各種不足，如Terminal滑模控制必須參數精確，否則容易出現奇異問題［4］；狀態觀測器在減弱抖振的同時，也降低了系統的魯棒性，系統穩態誤差較大［4-5］；高階滑模控制器的設計較為復雜，不便于推廣應用［6-7］。

分數階系統具有能量傳遞緩慢及逐漸收斂的特點［8］，為減弱滑模控制的抖振幅度及頻率，降低系統的能量損耗，本文在滑膜控制器的設計中加入分數階理論。設計一種分數階滑模控制器，并利用模糊控制算法在線自適應調節滑模切換項ε和分數階微積分階次λ。仿真和實驗的結果都表明模糊分數階滑模控制可以有效減弱系統的抖振，縮短調節時間，并具有很強的魯棒性。

2 PMSM數學模型

這里研究矢量控制方法對PMSM電機轉速進行控制。在忽略磁路飽和、空間諧波、渦流及磁滯損耗情況下，電機定子繞組三相對稱，氣隙磁場正弦分布［1］。在以上前提下，建立d-q坐標下的數學模型。

定子電壓方程為：

式中：U d、U q—d、q坐標下的定子電壓；L d、L q—d、q坐標下的定子電感；i d、i q—d、q坐標下的定子電流；R s—定子電阻；ωe—電機電角度；ψf—永磁體勵磁磁鏈。

電磁轉矩方程為：

式中：p—轉子極對數。

機械運動方程為：

式中：T e—電磁轉矩；T L—負載轉矩；B—摩擦系數；ω—轉子機械角速度，且ωe=pω。

由式（3）、式（4）得PMSM機械運動方程：

考慮參數攝動的情況下，式（5）可得：

式中：Δa、Δb、Δc—a、b、c的變化量。

d-q坐標下，PMSM矢量控制系統結構圖，如圖1所示。系統采用雙閉環控制系統，電流環采用PI控制器，速度環采用分數階滑模控制器，為這里的研究重點。

圖1 PMSM矢量控制系統結構圖Fig.1 Vector Control System Diagram of PMSM

3 分數階滑模控制器

定義轉速偏差為e(t)，即：

對式（7）求導，并代入式（6）可得：

其中，攝動總量δ(t)滿足：

選取切換函數為分數階S函數：

式中：k—滑模面增益；且k>0；—分數階微積分算子，其定義

如下：

式中：λ—分數階微積分階次；R(λ)—λ的實部。

根據式（8）、式（10），并加入開關增益ε和分數階符號函數，設計分數階滑模控制器控制率為：

式中：ε—開關增益，且ε>0。ε可以使系統在有限時間內到達滑模狀態S=0，但會產生系統抖振；0D-λ tsgn(S)—分數階符號函數，起到開關切換作用；sgn(S)—整數階符號函數，定義如下：

圖2 符號函數的整數階與分數階對比Fig.2 Comparison of sgn(S)and

由式（12）可看出，滑模控制器加入分數階符號函數，不僅起到弱化系統抖振的作用，由于增加一個調節參數λ，也使得系統的控制精度和靈活性更高。

4 分數階滑模控制器穩定性分析

所設計的滑模控制器的成立條件是滿足［8］：（1）滑模到達條件，即系統可從任意狀態到達滑模狀態；（2）滑模存在條件，即系統存在滑模狀態，使S=0。

（1）滑模到達條件：

選取Lyapunov函數驗證所設計控制器穩定性［8-9］：

根據Lyapunov穩定性理論，當?≤0時，系統滿足滑模到達條件［8］。對式（14）等式兩端求導，并將式（8）、式（12）帶入可得：

由式（13）可知：S×sgn(S)≥0

所設計的控制器滿足全局滑模到達條件。

（2）滑模存在條件：

當系統進入滑模狀態，滿足S=0，即：

當k>0時：

|arg(-k)|=π>0.5λπ

根據分數階系統穩定性理論［9-10］，微分方程（16）有解，系統漸進收斂于0。因此，所設計的分數階滑模控制器滿足滑模存在條件。

5 控制器參數整定

由前文可知，要減弱系統抖振需要設置合理的ε和λ。但通過多次實驗發現：ε和λ對系統的影響是非線性的。ε影響系統到達滑模狀態的時間。加大ε時，系統到達滑狀態時間變短，但抖振增強；減小ε時，系統抖振減弱，但系統到達滑模狀態時間變長。λ影響系統的抖振強度。系統隨著階次λ的增加，抖振變強；系統隨著階次的減小，抖振變弱，但λ減小到一定值后抖振又變強。因此，如果將ε和λ設為固定值，不能很好地適應PMSM系統的非線性、實時性。本文利用模糊算法自適應調節參數ε、λ的變化量Δε、Δλ。定義ε和λ的初始值設為ε0、λ0，則調節后參數為ε0+Δε、λ0+Δλ。

（1）參數ε整定

本文以S×S?作為模糊控制器的輸入，開關增益的變化量Δε作為模糊控制器的輸出。定義模糊輸入輸出的模糊語言變量為：S×?=Δε={NB，NM，ZO，PM，PB}，代表{負大，負中，零，正中，正大}。模糊控制規則如表1，S×?隸屬度函數，如圖3所示。Δε隸屬度函數，如圖4所示。

圖3 S×S?隸屬度函數Fig.3 Membership Function of S×S?

圖4 Δε隸屬度函數Fig.4 Membership Function ofΔε

從表1看出，當S×?>0時，開關增益ε增大，使系統快速向狀態運動；當S×S?<0時，開關增益ε減小，減小系統抖振，使系統逐漸穩定于滑模狀態。

表1 模糊控制規則表Tab.1 Fuzzy control rules

（2）參數λ整定

文獻［6］設計一種模糊控制器，以轉速偏差e為模糊控制器輸入，以λ為模糊控制器輸出。其模糊控制器設計合理，取得良好控制效果，系統可快速達到穩態，魯棒性良好。但當系統接近及到達滑模面時，e只能反映系統的抖振大小，不能反映抖振變化趨勢。

這里設計一種模糊控制器：以轉速偏差e和轉速偏差變化率e?為模糊控制器的輸入，以分數階階次的變化量Δλ為模糊控制器的輸出。模糊輸入的模糊語言變量為：e=e?=｛NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB｝，代表{負大，負中，負小，零，正小，正中，正大}。模糊輸出的模糊語言變量為：Δλ={NB，NM，ZO，PM，PB}，代表{負大，負中，零，正中，正大}。模糊控制規則如表2，e(t)、e?(t)、Δλ隸屬度函數，如圖5～圖6所示。

圖5 e、e?隸屬度函數Fig.5 Membership Function of e and e?

圖6 Δλ隸屬度函數Fig.6 Membership Function ofΔλ

從表2看出，當e×e?正大時，系統抖振最強，此時，減小λ，抑制系統抖振；當e×e?負大時，系統抖振減弱的速度最快，系統以最快速度向滑模狀態運動，λ維持不變；當e×e?=0時，系統穩定在滑模狀態，此時，λ維持不變。

表2 模糊控制規則表Tab.2 Fuzzy Control Rules

6 仿真及實驗

6.1 仿真分析

為驗證本文所設計模糊分數階滑模控制器的有效性，分別將本文方法與滑模控制器（SMC）、分數階滑模控制器（FOSMC）做性能對比。在MATLAB仿真平臺上對3種算法進行仿真。設定仿真步長T s=10ms，目標轉速ωr=1000r∕min。電機參數如下：P N=1kW，U N=240V，R s=1.5Ω，L d=L q=4e-3H，n p=4，J=1.85e-3kg?m2，B m=1.0e-3N?ms。仿真實驗分別從PMSM系統抖振性、魯棒性兩方面分析對比。

6.1.1 抖振性對比

當目標轉速信號為階躍信號step=1000，3種滑模控制器切換函數S曲線，如圖7所示。控制輸出，如圖8所示。

圖7 切換函數S曲線Fig.7 Switching Function Curves

通過圖7的S曲線對比看出：當系統到達滑模狀態后，本文方法的系統抖振頻率和抖振幅度最小；分數階滑模控制器的抖振幅度和抖振頻率要低于整數階滑模控制器。圖8的控制輸出對比也體現出相同的結論：當系統進入穩態后，本文方法的控制輸出最穩定，PMSM系統的抖振頻率和抖振幅度最小。

圖8 控制輸出Fig.8 Controllers Output

（2）魯棒性對比

當目標轉速信號為階躍信號step=1000，在t=0.25s時突加大小為0.5N?m的干擾負載。3種滑模控制器的電機轉速對比，如圖9所示。轉矩對比，如圖10所示。

圖9 電機轉速Fig.9 Motors Speed

圖10電機轉矩Fig.10 Electromagnetic Torque of Motors

圖9 ～圖10表明：①基于本文方法，系統到達穩態的時間最短。②當突加干擾時，基于本文方法的PMSM轉速及轉矩波動最小，魯棒性最強。③分數階滑模控制器的魯棒性要優于整數階滑模控制器。

6.2 實驗分析

采用TMS320F28335 DSP處理器作為電機主控制器，電機參數與仿真一致。給定轉速ωr=1000r∕min，在t=1s，加入負載0.5N?m。將實驗數據以十進制導入MATLAB，整數階滑模控制器、分數階滑模控制器、這里方法的實驗結果，如圖11～圖13所示。

圖11 整數階滑模控制器實驗結果Fig.11 Experimental Result of SMC Controller

圖12 分數階滑模控制器實驗結果Fig.12 Experimental result of FOSMC controller

圖13 本文方法實驗結果Fig.13 Experimental result of the proposed method

電機實驗結果可得出如下結論：（1）實驗環境相同的前提下，在3種滑模控制器作用下電機都產生不同程度的轉速波動。在加入負載前，本文方法的電機轉速波動及電磁轉矩波動最小，總體上轉速波動范圍為（-5，5），其次是分數階滑模控制器，總體上轉速波動范圍為（-12，12），整數階滑模控制器的轉速波動最大，總體上轉速波動范圍為（-23，23）。在加入負載轉矩后，同樣是本文方法的電機轉速及電磁轉矩波動最小。可以證明：①模糊自適應參數調節可以有效抑制系統抖振及突加干擾。②分數階控制器的控制精度和靈活度高于整數階控制系統，也可以抑制系統抖振及突加干擾。（2）在系統響應速度方面，本文方法的電機轉速上升時間最短（約0.2s），其次是分數階控制器（約0.32s），最后是整數階控制器（約0.35s）。可以證明：①模糊自適應參數調節可以縮短系統到達穩態的時間。②分數階控制器的響應速度要高于整數階控制系統，也可以縮短系統到達穩態的時間。

7 結論

首先，針對PMSM滑模控制器存在抖振過大、性能指標不高等現象，選取分數階滑模切換S函數，并結合PMSM機械運動方程設計一種分數階滑模控制器。其次，通過Lyapunov原理和分數階微積分理論證明了所設計控制器的穩定性。再次，利用模糊算法實現滑模切換項ε和分數階次λ的在線自適應調節。最后，仿真及實驗結果都表明所提方法有效抑制系統抖振，縮短系統到達穩態的時間，并具有較強的魯棒性。