基于工作空間的踝關節康復廣義球面并聯機器人運動學參數優化

劉秀瑩 張建軍 劉承磊 牛建業 戚開誠 郭士杰

1.河北工業大學機械工程學院，天津，3001302.河北省機器人感知與人機融合重點實驗室，天津，300130

0 引言

踝關節為人體重要關節之一，調查顯示每天踝關節損傷病人占醫院急診科所有入院人數的7%～10%[1]。踝關節損傷后較難進行及時、規范的康復治療，康復訓練時長也難保證，因此，研發性能優良的踝關節康復機器人既可使患者得到規范、充分的康復訓練，又可緩解我國患者多、康復醫師少的問題。

國內外學者對踝關節康復機器人進行了大量研究。SAGLIA等[2]提出了多種少自由度并聯機構，可實現踝關節的背伸跖屈、內外翻運動。JAMWAL等[3]提出了一種用于腳踝輔助康復訓練的三自由度柔性并聯機構。ZHANG等[4]提出了一種順應性踝關節康復機器人。MA等[5]提出了具有柔性機構的康復機器人。姚立綱等[6]提出了一種混聯式踝關節康復裝置，并基于章動原理對康復運動進行軌跡規劃，滿足踝關節康復運動的安全性需求。戚開誠等[7]采用并聯機構3-UrPS作為兩足步行器的腿部機構，并對其工作空間進行了分析。俞志偉等[8]基于踝關節簡化成虎克鉸的等效模型設計了一種新型的雙足機器人，并通過優化運動學參數使其在小功率驅動元件下運動性能良好。文獻[9-12]以球為模型分別設計了3-RRR、3-SPS/S、3-RRRPP、2-UPS/RRR機構，并用于踝關節康復訓練。文獻[13-14]基于空間RR串聯等效模型模擬了關節軸線交錯的運動，并將其應用于踝關節康復機構上。上述研究工作推動了機器人的技術進步，改善了踝關節康復機器人的性能，然而，現有踝關節康復機器人多采用并聯機構，并普遍將踝關節運動等效為轉動軸線匯交于一點的球面副，使得康復機器人與踝關節的真實運動存在差異，造成人機運動不協調，機器人對人體產生額外非運動方向作用力，易造成人體二次損傷。

本文根據人體踝關節解剖結構和運動特性，提出一種用于擬合踝關節運動的雙球心廣義球面并聯機器人，對該機器人進行了逆運動學、工作空間的分析，并基于雙球心的特點，采用先局部優化動球心、后整體優化動平臺工作空間的方法，求出滿足踝關節運動需求的運動學參數。

1 踝關節運動串聯擬合模型

人體踝關節是主要的負重部位之一，它包括脛距關節和距下關節兩個獨立的關節，脛距關節由脛腓骨下端與距骨上端組成，距下關節由距骨下端與跟骨組成。人體踝關節解剖結構如圖 1 所示，其關節軸線在三維空間內呈現傾斜狀態[15-16]，且相互不垂直、不交叉、方向位置隨其運動改變，踝關節圍繞多個瞬時旋轉中心運動[17]。

圖1 人體踝關節實際解剖圖

空間RR踝關節運動擬合模型(一個固定的轉動副軸心線模擬脛距關節軸線，另一個轉動副軸心線模擬距下關節軸線)不能充分擬合人體踝關節運動[18]，RR模型如圖2a所示。本文提出的空間UR模型(虎克鉸U，可視為兩個轉動副，其中一個轉動副R1軸心線模擬脛距關節軸線，另一個轉動副R2的作用是使R1軸心線運動，轉動副R3軸心線模擬距下關節軸線)能更好地模擬踝關節運動軸線，它的模型如圖 2b所示。

文獻[18]中采用X-Y-Z歐拉角表示踝關節運動串聯擬合模型末端的位姿。根據人體坐標系，原點為轉軸中點，右腿Z軸由內向外為正。UR模型坐標系如圖2c所示，慣性系{0}系的原點為脛骨中點，Z0軸與膝關節軸線平行，由內向外。內外旋坐標系{1}系的原點為脛骨中點，Z1軸沿下肢長軸，垂直腳底向上。背伸跖屈(脛距關節)坐標系{2}系的原點為脛骨中點，Z2軸沿脛距關節軸線，由內向外。內外翻(距下關節)坐標系{3}系的原點為距骨中點，Z3軸沿距下關節軸線，由舟骨指向跟骨。末端坐標系{4}系的原點在距骨正下方的腳面上，Z4軸與Z0軸同向。在初始位置為人體直立姿勢時，各坐標系旋轉變化矩陣的旋轉角度如表 1 所示，其中{0}-{1}表示{0}系到{1}系的旋轉變換矩陣。

(a)RR模型 (b)UR模型(c)UR模型坐標系

表1 踝關節運動串聯擬合模型旋轉變換參數表

踝關節運動過程中，Z1變化范圍為-14.24°～32.76°，Z2變化范圍為-25°～50°，Z3變化范圍為42.09°～83.09°。從{4}系到{0}系旋轉變換矩陣為

(1)

對踝關節運動串聯擬合模型進行運動學分析，經旋轉變換矩陣得到末端參考點的工作空間，將工作空間投影到人體解剖學的冠狀面、矢狀面和水平面中，得到{4}系原點的最大運動范圍，該最大范圍能夠滿足人體踝關節做背伸跖屈-30°～45°、內外翻-17°～22°、內外旋-25°～22°的運動，故模型建立正確。

2 廣義球面并聯機器人自由度分析

2.1 廣義球面并聯機器人描述

UR模型是針對踝關節結構擬合出的運動模型，不能作為康復機構本體，且人體距骨尺寸微小，串聯機構電機無法安裝。為滿足UR串聯模型運動特性，提高踝關節康復運動精度，采用一種雙球心廣義球面并聯機器人實現踝關節康復運動，該機器人結構如圖 3 所示。該機器人主要部分是一個廣義球面并聯機構，如圖 4 所示，機構的定球心O和動球心O1分別匹配脛距關節與距下關節，且兩球心間的距離滿足距骨尺寸要求。機構由動平臺、靜平臺和連接兩平臺的三條支鏈組成，其中支鏈一和支鏈三具有相同的結構，包含三根球面連桿和四個轉動副，相對于定球心O呈對稱分布；支鏈二包含四根球面連桿和五個轉動副。三條支鏈與動平臺相連的球面連桿的轉動副鉸接孔軸心線均通過動球心O1，剩余球面連桿的轉動副鉸接孔軸心線通過定球心O。在機器人運動過程中，動平臺繞O1做球面轉動，O1繞O做球面轉動。支鏈一和支鏈三的球面連桿l1、l2、l8、l9與定平臺組成以定球心為匯交中心的球面五桿閉環，當支鏈一和支鏈三的輸入轉角θ1和θ3確定時，就可以求得動球心的空間位置。

圖3 踝關節康復廣義球面并聯機器人

圖4 廣義球面并聯機構

2.2 自由度分析

為了分析該機器人的運動性能，采用螺旋理論計算廣義球面并聯機構的自由度。支鏈一和支鏈二坐標系如圖5所示，在該機構運動的任意位置，以定球心O為原點、OO1為Z0軸建立瞬時坐標系。定義Rij為第i條支鏈第j個轉動副，其中R11、R12、R21、R22、R23、R31、R32軸心線過原點，R13、R14、R24、R25、R33、R34軸心線過Z0軸。

(a)支鏈一 (b)支鏈二

第一條支鏈運動螺旋系為

(2)

式中，l為OO1的長度；a0ij、b0ij、c0ij為與各轉動副的方向和位置相關的量。

根據螺旋理論和線幾何原理，轉動副鉸接孔軸心線不會出現空間三個力線矢共面匯交于一點、共面平行或共軸的情況，故支鏈一的四個螺旋線性無關。對式(2)求反螺旋，可得到支鏈一的約束螺旋系:

(3)

同理可得支鏈三的反螺旋系:

(4)

q=b0m4b0m3-b0m3b0m4r=c0m4b0m3-c0m3b0m4

tm=1m=1、3

第二條支鏈運動螺旋系為

(5)

對式(5)求反螺旋，得支鏈二的反螺旋系:

(6)

每條支鏈中都提供給動平臺一個經過坐標系原點且平行于Z0軸的約束力，其中兩個為虛約束，利用修正的G-K公式，可求得機構的自由度:

M=6×(12-13-1)+13+2-0=3

(7)

根據運動螺旋系與約束螺旋系互易積為零的關系，可以求出機構的運動螺旋和節距為

(8)

(9)

與一般有固定球心的三自由度球面并聯機構相比，廣義球面并聯機構存在兩個球心，動球心繞定球心轉動，同時動平臺繞動球心轉動，沒有固定的轉動中心；廣義球面并聯機構動平臺的運動螺旋系為一個三階螺旋系，既包含節距為零的特殊螺旋(線矢量)，也包含節距不等于零的螺旋，故廣義球面并聯機器人能夠從自由度上滿足踝關節康復需求。

3 運動學分析

為了得到廣義球面并聯機器人動平臺的位置，需要對廣義球面并聯機構進行逆運動學分析。建立機構運動學坐標系如圖6所示，以定球心O為原點，OR21為x0軸，OR31為y0軸，垂直于定平臺方向為z0軸,建立定坐標系{0}系；以O為原點，OO1為z1軸，初始位置y1平行于y0，x1軸方向由右手定則確定,建立中間坐標系{1}系；在動球心O1處，初始位置與定坐標系完全平行，建立動坐標系{2}系；(a1，b1，c1)表示O1點的坐標，(aij，bij，cij)表示Rij轉動副中心點的坐標，ηij為各個球面連桿所對應的圓心角。

圖6 廣義球面并聯機構坐標系簡圖

運動學逆解是已知廣義球面并聯機構動平臺的位姿，求解輸入轉角。本文采取封閉矢量法進行運動學逆解的計算，并通過機構的幾何關系和實際裝配關系得到逆運動學的唯一解。在進行逆解運算時，用球面坐標表示機構動平臺位置，采用歐拉角表示機構動平臺姿態的方法來給定動平臺的位姿參數。由定坐標系{0}系繞z軸轉α，繞新的y軸轉β，沿新的z軸移動固定距離l得到中間坐標系{1}系，再繞新的z軸轉γ，繞y軸轉φ，繞x軸轉δ得到動坐標系{2}系。在中間坐標系{1}系下，R13、R33位置可以確定，后三個轉角γ、φ、δ只有一個獨立，此時機構能夠運動的部分見圖7。

圖7 旋轉變換角關系圖

由{0}系到{1}系的旋轉變換矩陣為

(10)

由{1}系到{2}系的旋轉變換矩陣為

(11)

nz=cosγcosφ

oz=cosγsinφsinδ-sinγcosδ

az=cosγsinφcosδ+sinγsinδ

ny=sinγcosφ

oy=sinγsinφsinδ+cosγcosδ

ay=sinγsinφcosδ-cosγsinδ

nx=-sinφox=cosγsinδ

ax=cosφcosδ

由定坐標系{0}系到動坐標系{2}系的旋轉變換矩陣為

(12)

d11=cosαcosβnz-sinαny+cosαsinβnx

d21=sinαcosβnz+cosαny+sinαsinβnx

d31=-sinβnz+cosβnx

d12=cosαcosβoz-sinαoy+cosαsinβox

d22=sinαcosβoz+cosαoy+sinαsinβox

d32=-sinβoz+cosβox

d13=cosαcosβax-sinαay+cosαsinβax

d23=sinαcosβax+cosαay+sinαsinβax

d33=-sinβax+cosβax

由式(12)旋轉變換矩陣T的位置矢量可知,動坐標系的位置坐標只與α、β有關，而動坐標系的姿態與α、β、γ、φ、δ五個旋轉變換角有關。

當給定機構動平臺原點位置坐標時，即在中間坐標系{1}系下，通過封閉矢量法可得R12的位置：

(13)

式中，lij為第i條支鏈第j個轉動副軸心線的長度。

使用數學計算軟件MATLAB R2014a的solve函數解方程組可得R12坐標矢量，其中c12為

(14)

f=a1b11-a11b1g=a1a11+b1b11

h=(l11lcosη12-gcosη11)

e=f2+(l11c1)2-(l11l)2n+m

由上可知，支鏈一的輸入轉角

(15)

式中，li(i=1，2，…，10)為球面連桿的長度。

同理可得，支鏈三的輸入轉角

(16)

由θ1和θ3的表達式可知支鏈一和支鏈三的輸入轉角只與α、β有關，即支鏈一和支鏈三為機構的位置支鏈。又因為R12R13O1O在同一平面上，故可求出R13、R33的坐標矢量。

通過旋轉變換矩陣T1可得在中間坐標系{1}下R131、R331的坐標矢量，為求解后三個轉角γ、φ、δ的關系做鋪墊。當給定位置支鏈某一輸入轉角時，部分能動機構如圖 7 所示，由位置解關系式可得到后三個轉角γ、φ、δ的關系：

(17)

此時動平臺繞O1做一自由度的轉動，設在某一瞬時繞W軸轉動θ角度，即

(18)

(19)

動平臺上支鏈二轉動副中心點在動坐標系下的坐標為

R′25=(l25sinη26，0，l25cosη26)

(20)

R25=TR′25

(21)

通過l24、η25、η24、l、l23、面OO1R24R23的法向量和η21、η22、l22三組方程組可求得R24、R23、R22坐標矢量，其中c22為

(22)

q0=a21b23-a23b21s=a21a23+b21b23

w=l21l23cosη21cosη22

由此可知，支鏈二的輸入轉角為

(23)

根據式(23)可知，θ2與α、β、γ、φ、δ五個旋轉變換角有關，故稱支鏈二為機構的姿態支鏈。

支鏈一和支鏈三決定動平臺的位置，支鏈一、支鏈二、支鏈三共同決定動平臺姿態，廣義球面并聯機器人存在位置和姿態部分解耦特性。

4 廣義球面并聯機器人工作空間分析

踝關節主要通過關節運動練習進行康復，所以對廣義球面并聯機器人工作空間進行分析是必要的。本文采用數值搜索法求解可達工作空間，并將工作空間分析結果作為后續運動學參數優化的依據。

4.1 工作空間的約束條件

本文主要考慮廣義球面并聯機器人驅動轉動副的轉動范圍，理論上驅動轉角可在[0，2π]取值，但由于實際裝配情況，選取驅動轉角θi范圍為[0，π]，且驅動轉角的取值為實數。

4.2 工作空間算例

本文求解廣義球面并聯機器人工作空間的MATLAB程序流程圖見圖8。

圖8 工作空間求解流程圖

選取動球心和動平臺中心的點為輸出散點，得到動球心和動平臺工作空間的可視化散點圖，分別如圖9和圖10所示。

圖9 動球心工作空間

圖10 動平臺工作空間

依據初始運動學參數，從散點圖上可以看出，廣義球面并聯機器人的工作空間在各個基準面上的投影都具有一定的對稱性，且內部沒有空洞，表明在有效的工作空間內機器人的運動性能良好。然而，該尺寸下的工作空間并沒有滿足踝關節運動串聯擬合模型的工作空間，故需要對該機器人的運動學參數進行優化。

5 廣義球面并聯機器人運動學參數優化

以廣義球面并聯機器人動球心和動平臺的工作空間與踝關節運動串聯擬合模型的 U 和 UR 工作空間的匹配度為目標函數，以運動學參數為設計變量，在球面五桿閉環運動學條件和仿生條件等約束下，通過MATLAB遺傳算法(GA)工具箱進行優化計算。

5.1 設計變量

據GB/T10000—1988《中國成年人人體尺寸》中人體尺寸百分位數取50% 中數據[19]，25～35歲的男性足長223～271 mm、足寬86～106 mm。定平臺半徑取足長的一半130 mm。動平臺底板長300 mm、寬150 mm，動平臺轉動副中心線長173 mm，為了方便腳進入廣義球面并聯機器人，三條支鏈采取90°均布。依據裝配關系可知，所有的轉動副中心線長度都是確定的。

由上述分析可知，影響該機器人工作空間的運動學參數為η11=η31=A1、η12=η32=A2、η21=η22=A3、η23=A4、η24=η13=η33=A5、η13=η34=η25=A6、η26=η14=η34=A7。

5.2 目標函數

廣義球面并聯機器人與人體理論工作空間的匹配程度越高，對踝關節康復的效果越好，二次損傷越小，人機協調性越好。對該機器人的局部和整體工作空間進行優化，以踝關節運動擬合模型{3}系和{4}系原點工作空間與該機器人的動球心和動平臺工作空間散點的坐標差值的平方和最小為目標建立目標函數：

(24)

式中，XPi、YPi、ZPi為踝關節運動擬合模型理想坐標值；xti、yti、zti為廣義球面并聯機器人的工作空間點坐標經過繞定坐標系x0、y0各旋轉90°得到的值；i為工作空間的散點數目。

5.3 約束條件

(1)球面五桿閉環能組成又能運動的條件為

(2)動平臺理想轉角約束如表2所示。

表2 約束轉角

(3)連桿不干涉條件：兩回轉副中心點的距離不小于連桿寬度。

(4)仿生條件：中醫上稱外踝尖到足底為三寸(99.9 mm)，設置動平臺定平臺間的距離為100～180 mm。人體脛距關節軸線和距下關節軸線間距為30 mm[20]，故球心距為30 mm。

綜上，設計變量的約束范圍設置分別為

Amax=[0° 45° 0° 0° 90° 0° 0°]T

Amin=[90° 90° 60° 90° 180° 30° 45°]T

5.4 運動學參數優化算例

通過MATLAB軟件中的GA算法工具箱對廣義球面并聯機器人運動學參數進行求解，工具箱的優化參數設置如表3所示。

表3 GA算法的優化參數

求解廣義球面并聯機器人運動學參數的GA程序流程圖見圖11。

圖11 GA程序流程圖

利用GA算法求解得到的進化曲線見圖12，進化代數在26和80左右，最優適應度函數值和平均適應度函數值逐漸接近，表明適應度函數已經收斂到最優解，即此時廣義球面并聯機器人工作空間與踝關節運動串聯擬合模型工作空間最為接近。

(a)球面五桿閉環運動學參數優化曲線

將各運動學參數取整，如表4所示。使用優化后的運動學參數，在MATLAB中編程繪制出廣義球面并聯機器人動球心O1和動平臺O2工作空間散點圖，與踝關節運動串聯擬合模型的{3}系和{4}系最大工作空間作對比，如圖 13 所示，可以看出優化后的工作空間完全滿足踝關節工作空間，而且優化后的工作空間對稱，內部沒有空洞，表明在工作空間內部無球面連桿干涉現象的發生，因此廣義球面并聯機器人具有良好的工作能力，更符合工程實際。

(a){3}系與動球心工作空間對比圖

表4 優化后的機器人運動學參數

依據“散點圖”區域內“散點”數量，工作空間大小的計算公式[21]可以表示為

V=iΔαΔβΔγ

(25)

式中，Δα、Δβ、Δγ為變量步長。

為了使廣義球面并聯機器人的空間完全包容踝關節運動串聯擬合模型空間，將對比結果量化，評價機器人可達空間有效尺度域(無奇異、性能良好的可達空間)的相對大小，有效工作空間比ξ[22]的計算公式如下：

ξ=Vt/Vw

(26)

式中，Vt為踝關節運動串聯擬合模型空間體積；Vw為廣義球面并聯機器人的工作空間體積。

{3}系與動球心的有效工作空間比ξ1為

{4}系與動平臺的有效工作空間比ξ2為

有效工作空間比的結果表明，踝關節運動串聯擬合模型的工作空間與機器人的可達工作空間接近，表明優化后的機器人能夠滿足踝關節運動需求，且機器人的運動學參數合理。

6 結論

(1)通過對人體踝關節解剖結構和運動特點進行分析，基于 RR 模型提出 UR 模型，建立了 UR 踝關節運動串聯擬合模型的運動學正解模型，得到了踝關節的運動范圍。

(2)用球面坐標表示動平臺位置、歐拉角表示機構動平臺姿態的方法，確定了動平臺的位姿參數，采用封閉矢量法對機器人進行了逆運動學求解。根據逆運動學得到了廣義球面并聯機器人的運動范圍和工作空間的約束條件，并通過MATLAB編程對其進行了工作空間的分析。

(3)以踝關節運動串聯擬合模型與廣義球面并聯機器人的工作空間點的匹配程度為優化目標，通過遺傳算法對該機器人的運動學參數進行了優化，得到了符合人體踝關節工作空間的運動學參數。將廣義球面并聯機器人與踝關節運動串聯擬合模型的工作空間散點圖進行對比，并求得有效工作空間比分別為0.79和0.86，驗證了優化結果的合理性，能夠滿足人體踝關節的工作空間。