基于改進響應面法的電纜-碳纖維增強復合材料集成構件電纜埋置位置優化

楊 旭 周德儉, 莊功偉 宋 微 劉瀟龍 佘雨來

1.西安電子科技大學機電工程學院，西安，7100712.桂林電子科技大學機電工程學院，桂林，541004 3.中國電子科技集團公司第十研究所，成都，610036

0 引言

隨著無人機機載電子設備和電纜數量的不斷增加，電纜布線空間變得越來越擁擠。碳纖維增強復合材料(CFRP)具有重量輕、強度高、穩定性好等特點，已被廣泛應用于航空、航天和汽車等領域[1-2]。本研究將多根電纜埋入到CFRP基體中形成集成構件，既可以節省寶貴的布線空間，又能很好地保護和定位電纜，具有很好的應用前景。

現階段集成構件已經成為研究熱點，部分學者已對復合材料集成構件的可行性和應用效果進行了研究。LING等[3]將光纖埋入到復合材料結構中形成集成構件，已得到應用并取得了很好的效果；ARELLANO等[4]和TORRES等[5]使用有限元法(FEM)研究了傳感器嵌入復合材料后對構件力學性能的影響，結果表明這個影響并不顯著，證明了在復合材料中嵌入元器件的可行性。電纜的埋置位置是電纜-CFRP集成構件的重要參數，但目前綜合考慮力學性能、電磁兼容性能和制造約束條件的電纜埋置位置優化的研究還未見報道。響應面法(RSM)適用于統計建模和參數優化問題，近年來在機械工程和復合材料等領域得到了廣泛應用。學者們使用RSM對多因素交互作用下中部槽磨損問題[6]、塑制汽車離合器總泵的上下泵體在旋轉摩擦焊接工藝中的焊接參數[7]和高性能納米復合材料的參數優化問題[8]進行了研究，都取得了很好的效果。但現有的響應面法在求解包含高階項的非線性問題時，可能會存在預測值與實際驗證值吻合情況不佳的情況。

本文針對電纜-CFRP集成構件中電纜埋置位置的優化問題，提出了一種改進響應面法，并在此基礎上提出了一種求解電纜埋置位置參數優化問題的方法。

1 建立問題模型

在建立問題模型之前，使用模壓工藝制造出了一批電纜-CFRP集成構件的樣件，如圖1所示，可見，將電纜埋入CFRP基體后，會在電纜周圍形成一個楔形的樹脂富集區。一方面，本研究根據樣件富集區的大小比例來建立后續的幾何模型、有限元模型和電纜串擾仿真模型，從而保證計算精度；另一方面，通過前期的加工過程發現一些約束條件，它們將作為本研究中優化問題的約束條件，保證研究結果的可加工性。

圖1 電纜-CFRP集成構件的樣件

本研究中電纜-CFRP集成構件的結構示意圖見圖2，其長度、寬度和厚度尺寸分別為400 mm、160 mm和14 mm，頂面距離鋁制接地板7 cm，內埋有三根平行布置的電纜。設電纜1和電纜2中心線的間距為D1,電纜2和電纜3中心線的間距為D2，電纜中心線距離接地板的距離為H。這三根電纜處于工作狀態時，均傳輸pulse型信號，信號的延遲時間和峰值保持時間為0.003 μs，上升沿時間和下降沿時間為0.001 μs，各電纜的信號周期、幅度、內徑和外徑如表1所示。

表1 電纜參數

定義彎曲載荷工況1如下：以圖2所示的集成構件底面的2個支撐線處為支撐，支撐跨距為320 mm；在構件頂面的加載線上施加100 N的彎曲載荷，加載線位于頂面的中間位置。集成構件幾何模型的正面視圖見圖3。

圖2 電纜-CFRP集成構件的結構示意圖

圖3 集成構件幾何模型的正面視圖

由于集成構件受到彎曲載荷時其內埋電纜也會產生應力，為了避免電纜的過度變形和損壞[9]，必須使電纜的最大應力小于最大允許值；另外，電纜近端串擾過大會對敏感設備造成干擾[10-11]。綜合考慮系統整體設計的需求和制造工藝約束，給出本研究優化問題的約束條件如下。

約束1：所有電纜的近端串擾電壓均不能超過其所傳輸信號幅度的4%。

約束2：電纜的應力最大值不能超過4 MPa。

約束3：1.5 cm≤D1≤4.5 cm；2 cm≤D2≤6 cm；1 cm≤H≤1.6 cm；D1+D2≤7.5 cm。

本研究電纜埋置位置優化問題的目標是：集成構件處于工況1時，在滿足以上所有約束的前提下，所有電纜的近端串擾電壓都盡可能小。

2 分析方法

2.1 基于FEM的應力計算

本研究選用型號為T300/5208的各向異性碳纖維增強樹脂基復合材料作為集成構件的基體材料，其材料屬性如表2所示。

表2 T300/5208的材料屬性

電纜內芯、絕緣層和樹脂富集區的材料屬性如表3所示。

表3 電纜內芯、絕緣層和樹脂富集區的材料屬性

使用ANSYS有限元分析軟件計算在工況1下集成構件的應力分布，如圖2所示，建立集成構件的幾何模型后，以其底面的2個支撐線處為支撐，在頂面的加載線上施加100 N的彎曲載荷，支撐跨距為320 mm，然后劃分網格，基于FEM計算得到應力分布。

2.2 基于多導體傳輸線法的電纜串擾電壓計算

本研究基于多導體傳輸線法，使用CST電磁仿真軟件建立電纜和接地板的幾何模型，然后采用集總法和模式法兩種方法提取出電纜的分布參數，生成等效電路模型并設置激勵信號和負載，計算出接收線上的串擾電壓[12-14]。以電纜2為發射線，電纜1和電纜3為接收線時的等效電路模型如圖4所示。

圖4 等效電路模型

激勵源設置在發射線上，每次仿真只設置一個激勵源，然后基于疊加原理，計算出所有激勵源同時工作時每根電纜的近端串擾電壓的最大值。疊加原理的表達式如下：

(1)

式中，U1為電纜1上的總串擾電壓；U1k為電纜k對電纜1產生的串擾電壓。

2.3 RSM試驗設計與分析方法

本研究使用Design-Expert.v8.0.6.1軟件進行響應面分析和優化，在完成了試驗方案的設計和試驗結果數據的輸入之后，先嘗試使用一階模型進行擬合，擬合公式如下：

(2)

其中，y表示響應，x表示設計變量，e表示擬合誤差。如果一階擬合的擬合程度不能滿足要求，則采用二階模型進行擬合，其表達式如下：

(3)

得到各因變量與響應之間的數學表達式之后，基于方差分析對模型的質量進行評價，以驗證模型的正確性[8，15]。

3 電纜埋入位置的優化

3.1 優化方法

本研究提出一種求解電纜埋置位置參數優化問題的方法，其流程如圖5所示。具體步驟如下：首先，建立優化問題的ANSYS仿真模型和CST電磁兼容仿真模型；然后，建立RSM模型和基于Box-Behnken design(BBD)的優化模型，得到初步的埋置位置參數后，將預測值與實際值進行對比，判斷計算誤差是否滿足要求，若是，則優化完成，否則使用改進RSM法進一步優化；得到最優解后，計算預測誤差和約束條件是否滿足，如果不滿足，根據誤差分布，在計算時對約束條件進行適當的“修正”以抵消建模誤差，直至優化結果滿足所有要求。

圖5 優化方法的流程圖

3.2 基于RSM的優化

定義電纜間距D1和D2為設計變量A和B；定義電纜中心與接地板間的距離H為設計變量C；電纜1、電纜2、電纜3的近端串擾電壓最大值U1、U2、U3和電纜的應力最大值σ1為擬合模型中的4個響應。采用BBD針對這3個設計變量和4個響應設計了17組試驗，包含5組中心重復試驗，試驗方案和試驗結果如表4所示。

表4 試驗方案和試驗結果

計算出初步的擬合模型后，使用AB2、AC2等高階項對擬合模型進行修正，并去除對響應影響不大的因素項，得到各響應模型的方差分析結果，如表5所示。使用F檢驗來判斷模型的顯著性[8]，回歸平方和(F值)的值越大，說明模型越顯著；失效概率的值越小，說明擬合模型失效的概率越小，模型越有效。

表5 各響應模型的方差分析結果

如表5所示，本研究中所有響應的F值都很大，失效概率均小于0.05，且失擬項的數值都很小，這說明模型的擬合效果較好，建立的擬合模型是顯著的和正確的。

通過三維響應值曲面圖來分析各因素對響應的影響關系。由于篇幅原因，只列出其中三個三維響應值曲面圖，見圖6。由圖6a可知，D1對U1的影響大于D2；由圖6b可知，D2對U3的影響大于H，當D2和H的取值分別在2.0～2.5 cm和1.3～1.6 cm區間時，這兩個因素之間有較強的相互作用；由圖6c可知，H對σ1的影響大于D2。結合其余所有三維響應值曲面圖可知：所有電纜的近端串擾電壓均隨著D1和D2的增大而減小，隨著H的增大而增大；電纜的最大應力σ1隨著D1和D2的增大而增大，隨著H的增大而減小。

(a)U1相對于D1和D2

應用RSM進行基于BBD的優化，以獲得初步的電纜布置優化方案。由前面的分析可知，目標函數G的表達式如下：

(4)

其中，ω1、ω2、ω3都取1。約束條件的數學表達式如下：

(5)

計算得到各響應的預測值和參數組合后，將這些參數代入仿真模型中進行計算，得到的優化結果如表6所示，可見，有三個響應的實際值與預測值的誤差大于5%，且σ1沒有滿足約束條件，說明使用傳統的RSM進行優化無法滿足精度要求和部分約束條件。

表6 優化結果

3.3 基于改進RSM的優化

本研究提出基于貪心策略和切比雪夫多項式采樣策略的改進響應面法，以提高擬合模型的精度和預測性能。對于一個連續的擬合函數f(x)，其表達式可用n階多項式pn(x)來無限逼近，由于切比雪夫級數與最佳逼近函數十分相近[16]，故f(x)近似表達如下：

(6)

i=0,1,…,n

其中，Ci(x)為切比雪夫多項式，fi為常數項系數，可用式(7)近似表示[16]：

(7)

針對預測效果不理想的響應，基于前面的RSM分析，找出影響最大的設計變量x，設其最小值為x1,最大值為x2,引入貪心因子δ1和δ2，縮減采樣點的區間，其采樣點集合X0的表達式為

(8)

x′1=x1+δ1(x2-x1)

x′2=x2-δ2(x2-x1)

如果滿足下面的式(9)和式(10)，則說明其取值范圍往左縮小能夠更接近優化目標值的區間，應令δ1小于δ2；同理，如果滿足式(11)和式(12)，應令δ1大于δ2；對于其他情況，可令δ1和δ2取相近值;為了避免陷入局部最優，δ1和δ2的取值范圍為(0,0.3)。

(9)

(10)

(11)

(12)

在X0的基礎上，根據切比雪夫多項式零點得出的采樣點集合X1為

(13)

在X1的基礎上，為了提高全局搜索的能力，引入貪心補償項Δ1和Δ2，確保前一步得到的x的最優值xr不在采樣區間的邊緣，以免陷入局部最優，得到X2的表達式如下：

(14)

xr-(x″1+Δ1)<0.25(x″2+Δ2-x″1-Δ1)

(x″2+Δ2)-xr<0.25(x″2+Δ2-x″1-Δ1)

根據提出的改進響應面法，本研究對設計變量A的采樣策略進行改進，最終計算得到采樣點空間A2為(3.1,3.6,4.1)；其余設計變量的采樣點不變，計算得到各響應模型的表達式如下：

U1=0.243 72-0.130 11A-0.048 216B+

0.215 19C+0.011 05AB-0.036 133AC+0.017 768A2+

0.005 2131B2-0.001 232 5AB2

(15)

U2=0.671 04-0.217 52A-0.178 91B+0.304 01C+

0.019 777AB-0.041 567AC-0.007 304 17BC+

0.027 343A2+0.018 543B2-0.002 163 75AB2

(16)

U3=0.830 08-0.236 04A-0.226 17B+0.142 42C+

0.035 082AB-0.013 95BC+0.028 965A2+

0.015 624B2-0.004 26A2B

(17)

σ1=32.872 35+0.002 15A-0.004 056 25B-

37.560 01C+0.003 75BC+11.629 03C2

(18)

得到的優化結果如表7所示，可見，改進后所有響應的實際值與預測值的平均誤差僅為3.37%，另外，改進后各響應模型的F值、Adj R-Squared和Pred R-Squared均比改進前有所提高，這說明改進后的各響應模型的質量得到了提高。但是，改進后σ1的實際值仍比預測值稍大，導致優化結果未能滿足所有約束條件。

表7 改進后的優化結果

由于電纜最大應力的實際值比預測值稍大，為了抵消誤差，在優化時將應力約束條件“修正”為：σ1≤3.88 MPa，其余約束條件不變。最終得到的最優設計變量是：D1=3.39 cm,D2=4.11 cm,H=1.28 cm。得到的電纜最大應力的位置如圖7所示，優化結果如表8所示。可見所有響應的實際值與預測值間的平均誤差僅為3%，且優化結果滿足所有的約束條件。

圖7 電纜最大應力的位置

表8 滿足約束條件的優化結果

3.4 預埋電纜對CFRP基體力學性能的影響

預埋電纜前后CFRP基體的彎曲應力分布如圖8所示。可見埋入電纜后，CFRP基體的應力分布變化不大，且埋入電纜前后CFRP基體的最大應力分別為2.154 MPa和2.168 MPa，可見，預埋電纜對CFRP基體的力學性能影響很小。

(a)預埋電纜前

為了驗證使用仿真方法對電纜-CFRP集成構件進行應力應變分析的有效性，首先，根據本研究優化得到的最優設計變量(D1=3.39 cm,D2=4.11 cm,H=1.28 cm)加工得到電纜-CFRP集成構件的實物；然后，使用應變儀對其進行實驗測量，如圖9a所示。實驗時施加的載荷和約束條件與前面有限元仿真中的保持一致(即前面定義的彎曲工況1)。

由于電纜被埋置在構件內部，故無法直接測量電纜的應力應變。CFRP基體應力應變最大的部位下面剛好是支撐底座，也不適合測量。由圖8b可見，集成構件底面的中心部位的應變較大且容易測量，因此，本研究在此處粘貼三向應變花來測量其應變(圖9)，并與仿真結果進行對比。測量得到該部位在0°、45°和90°方向的應變分別為-0.95×10-6、-17.05×10-6和46.05×10-6，通過三向應變花的應變計算公式可得應變花粘貼位置的最大和最小主應變的值分別為6.86×10-5和-2.35×10-5。有限元仿真得到的電纜-CFRP集成構件底面上的應變分布如圖10所示，仿真得到的最大和最小主應變的值分別為7.40×10-5和-2.25×10-5。

1.實驗樣件 2.支撐底座 3.加載件 4.信號線 5.應變儀 6.測量界面

(a)最大主應變分布

計算得到應變花粘貼位置的最大和最小主應變的仿真結果與實驗結果的誤差分別為7.9%和4.3%，仿真結果與實驗結果具有很高的吻合度，實驗結果驗證了仿真分析結果的準確性，故采用仿真方法對電纜-CFRP集成構件進行應力應變分析是有效的。造成仿真結果與實驗測試結果之間誤差的原因可能是樣件加工時由工藝因素帶來的制造誤差和仿真模型中樹脂區的建模誤差。

4 結論

(1)電纜間距和電纜與接地板之間的距離對電纜間串擾和電纜上的最大應力都有重要影響，且這些因素之間存在一定的相互作用。

(2)本文提出了基于貪心策略和切比雪夫多項式采樣策略的改進響應面法，與傳統響應面法相比，使用提出的改進響應面法計算得到的擬合模型，其顯著性、擬合度和預測效果都有較大的提高，表明該方法更適合求解包含高階項的非線性問題。

(3)優化結果滿足所有約束條件，所有指標的預測值與實際值的平均誤差僅為3%。最優參數組合為：D1=3.39 cm，D2=4.11 cm，H=1.28 cm。結果表明，本文提出的基于改進RSM的優化方法是非常有效的，可以預測高質量的優化結果。

(4)使用最優埋置參數組合得到的集成構件，埋置電纜對CFRP基體力學性能的影響很小,說明使用所提方法設計的電纜-CFRP集成構件應用于工程實踐是安全可靠的。