一種多維信源衰減延時混合的欠定盲源分離方法

馬寶澤張天騏 安澤亮 張 剛

(重慶郵電大學通信與信息工程學院 重慶 400065)

1 引言

盲源分離(Blind Source Separation,BSS)是一種僅利用觀測信號就可恢復出源信號的信號處理技術[1]。然而，觀測信號在采集過程中會受到傳感器數量的限制，很難滿足觀測信號數目不少于源信號數目的要求[2,3]。同時，源信號的混疊往往伴隨著信道衰減和時延現象[4–6]。傳統的瞬時混合欠定盲源分離(Underdetermined BSS,UBSS)方法沒有考慮時延的影響，混合矩陣僅包含衰減系數[7]。在實際情況下，每個源信號不可能同時達到所有的傳感器，不同的源信號到達傳感器的時間延時也有差別，時延的大小取決于傳感器與信源間的相對位置以及源信號的傳播速度[8]。由于信號到達每個傳感器的幅度衰減和時間延遲不同，衰減延遲混合比線性瞬時混合更符合實際環境。因此，有必要對帶衰減延時混合的欠定盲源分離問題進行深入的研究，即在傳感器數量小于信源數的情況下不僅需要考慮源信號的幅度衰減，還要考慮源信號到達傳感器所產生的時延。

在欠定混合系統中，文獻[9]利用稀疏編碼技術從時頻點集合中發現1-D子空間，然后通過層次聚類對子空間中向量分組就可估計出混合矩陣，最后采用最小二乘方法實現源信號恢復。文獻[10]利用一種新的子空間補償匹配追蹤算法實現欠定盲源分離源信號的恢復，該算法通過每次迭代選取多于一個原子的方式降低計算復雜度，同時為了提高恢復精度用L2范數最小化代替L0范數最小化。由于上述UBSS方法僅考慮了衰減系數而沒有考慮時延，因此，文獻[11]提出了一種基于先驗信息的UBSS方法處理延時混合信號，從復值混合矩陣中提取先驗信息確定單源區間，然后利用凝聚層次聚類法和子空間法分別估計混合矩陣和源信號。同時，根據延時混合模型，文獻[12]提出了一種混合矩陣估計方法，在時頻域中先建立一個變換矩陣構造實譜矩陣，然后根據單源區間的聚類中心推導出混合矩陣。由以上描述可知，欠定混合模型是盲源分離研究的熱點，考慮時延的欠定盲源分離方法有待進一步研究。此外，信源數估計是盲信號處理的重要組成部分，尤其是非正定混合系統[13–15]。估計的源信號個數將直接影響分離結果的準確性，因此有必要在欠定混合系統分離階段之前進行信源數估計[16]。

本文研究了一種針對多維信號衰減延時混合的UBSS方法。首先，為了利用觀測信號在稀疏域中的線性聚類特性，需要計算觀測信號的短時頻譜能量來消除時延的影響；其次，由于散點呈現出的線性聚類只與衰減系數有關，所以可以利用勢函數估計信源數。再次，根據估計出的信源數篩選能量和峰值對應的頻點構造二進制時頻掩碼，進而得到分離信號的短時頻譜。最后，在時域通過填充線消除分離信號存在的邊界效應。此外，將基于子空間表示的Subspace方法[17]和基于稀疏分量分析(Sparse Component Analysis,SCA)的UBSS-SCA方法[18]作為對比算法。

2 理論背景

2.1 數學模型

那么，式(2)的矩陣形式可以表述為

利用短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform,STFT)將信號從時域轉換到時頻域，式(2)的時頻域形式為

由于信號在傳輸過程中存在衰減aij和時延σij，傳統的UBSS方法只能解決信號衰減問題。

2.2 問題分析

3 衰減延時混合UBSS方法

3.1 勢函數估計信源數

通過計算勢函數的大小來衡量散點聚類成線性

3.2 二進制時頻掩碼預測

3.3 消除邊界效應

4 實驗分析

4.1 模擬信號仿真

圖1 模擬信號時域波形

圖2 模擬信號散點圖

圖3 峰值分布情況

根據式(16)計算出每個估計信源的短時頻譜，然后通過填充線消除時域分離信號的邊界效應。從圖4(a)虛方框可以看出未考慮填充線情況下時域分離信號首尾會存在較為明顯的邊界效應；通過填充線消除邊界效應的時域波形如圖4(b)所示，本文方法對模擬的源信號進行了有效的估計。

圖4 分離信號時域

為了驗證本文算法的性能，分別采用基于子空間表示的Subspace方法和基于稀疏分量分析的UBSS-SCA算法作為對比算法。在不同信噪比條件下，計算3種方法的分離性能，將SAR(Sources to Artifacts Ratio)作為衡量分離信號的評價指標[23]。

圖5是3種算法在不同SNR(Signal to Noise Ratio)情況下對應的SAR對比圖，可以看出本文所提算法優于其余兩種算法，隨著SNR的增加SAR最終都趨于平穩。

圖5 3種算法分離性能對比

4.2 實測懸臂梁錘擊測試中固有頻率估計

采用規格為0.9×0.05×0.008 m3的均衡鋼制懸梁臂作為實驗平臺，通過安裝在懸梁上的3個位移傳感器來收集由錘擊激發的位移響應信號，其中觀測信號的采樣頻率為1600 Hz，3個信道的截止頻率為800 Hz[24]。

圖6是3個傳感器采集到的信號，從時域圖中可以看出，觀測信號不具有稀疏性。圖7(a)為觀測信號在時頻域上的散點圖，可以明顯地看出散點聚類成閉合曲線，這種橢圓曲線說明源信號在混疊過程中存在時延。能量域散點圖如圖7(b)所示，在3維稀疏域中出現了4條聚類直線，為了估計信源數將3維散點圖映射到2維，利用勢函數峰值估計信源數。

圖6 觀測信號時域波形和頻譜

對稀疏域中的散點進行預處理，消除不可靠數據對生成勢函數的影響。不失一般性，將圖7(b)中的3維散點圖映射到以E1和E2組成的2維平面，計算勢函數并檢測峰值，如圖8(a)所示。被標記出的5個峰值可以作為信源數的估計。圖8(b)是能量和在不同頻點上的峰值分布，利用估計信源數選取前5個能量和峰值對應的頻點來構造二進制時頻掩碼。

圖7 實測信號散點圖

圖8 測試實驗中峰值分布情況

通過式(16)計算出估計信源的短時頻譜，再利用ISTFT將估計信源由時頻域變換到時域，最終每個時域分離信號分別乘以填充線來消除邊界效應的影響。本文算法估計出的源信號時域和頻譜如圖9所示，5個模態響應信號頻率由低到高依次列出，說明該算法在處理實測信號時是有效性的。

圖9 估計源信號時域和頻域

由文獻[24]可知，5個模態的理論固有頻率分別為8.9 Hz,55.78 Hz,156.20 Hz,306.09 Hz,505.84 Hz。為了直觀地對比每個算法的準確度，采用式V=|Vtheo?Vesti|/Vtheo來衡量計算值與理論值間的差距，其中Vtheo表示固有頻率的理論值，Vesti表示估計出的固有頻率值。表1為理論固有頻率和4種算法估計出的模態分量固有頻率，其中小括號中的數值越小就說明計算值與理論值越接近。可以得出，雖然文獻[24]處理的是5個傳感器采集到的信號，但計算出的固有頻率與理論值還是差距較大。實驗表明本文所提方法優于Subspace和UBSSSCA方法，在處理帶時延的模態信號分離過程中所計算出的固有頻率與理論值最接近。

表1 固有頻率估計結果(Hz)

5 結束語

由于信號采集過程中傳感器數量會受到嚴重限制，這就會造成信源數往往大于傳感器數，再加上傳輸信道的復雜性，信號時延也是不可避免的。所以研究帶延時信息的UBSS方法很有實際意義。本文研究了一種考慮衰減延時的UBSS算法，首先，分析問題尋找稀疏域并利用勢函數估計信源數；然后，根據信源數選取能量和峰值對應的頻點構造時頻掩碼估計源信號的短時頻譜；最后，利用填充線恢復時域估計源信號。實驗表明該方法對模擬信號進行了有效分離，在處理實測懸臂梁錘擊信號時，實現了多個模態的分離，成功地識別出了各階模態固有頻率。