基于原子范數最小化的步進頻率ISAR一維高分辨距離成像方法

呂明久陳文峰 徐 芳 趙 欣 楊 軍

(空軍預警學院 武漢 430019)

1 引言

逆合成孔徑雷達(Inverse Synthetic Aperture Radar,ISAR)系統采用具有大寬帶的發射信號實現對目標的探測，高的距離分辨可以提供更為精細的目標特征。而步進頻率(Stepped Frequency,SF)波形通過發射載頻連續跳變的窄帶子脈沖，在接收端實現大的合成寬帶。因此，將步進頻率波形與現代ISAR相結合，不僅可以實現高的1維距離分辨能力，對于降低系統復雜度、實現雷達多模工作方式均具有重要意義，因此眾多學者對SF ISAR高分辨距離成像方法進行了廣泛研究[1,2]。

當前，對SF信號的距離合成方法主要有IFFT方法、目標抽取算法以及寬帶合成方法等[3]。其中，最常用的就是對接收采樣信號直接進行IFFT變換。但是這類方法存在分辨率不高，在信號缺失、干擾等條件下成像效果較差等缺點[4]。將稀疏表示特別是壓縮感知理論(Compressive Sensing,CS)與SF相結合，通過利用ISAR觀測目標的稀疏特性，可以實現信號缺失條件下的1維高分辨成像，已成為SF距離成像研究的重要手段[5]。然而，目前基于CS的SF高分辨成像方法大都是一種離散化稀疏表示模型，均是基于目標散射點準確位于預設網格點的理想假設[6]。實際上，目標散射點分布的隨機性加之ISAR成像過程中存在的距離走動現象使得網格失配問題總是存在，從而嚴重制約了稀疏重構性能的提升。針對這一問題，主要有以下兩種解決思路：一是提高網格劃分密度，使得目標最大可能落入網格點上[7]。但是這種方法不僅可能導致處理復雜度的急劇增加，相應的重構性能也會因為字典相關性的提高而嚴重退化。二是通過字典優化的方法減小網格失配的影響[8,9]。如文獻[10]提出了一種自適應字典的網格失配優化方法，通過頻移在一個分辨單元內構造自適應網格，減少失配帶來的影響。文獻[11]將網格失配視作為模型誤差，基于貝葉斯理論提出了一種網格失配稀疏貝葉斯重構(Off-Grid Sparse Bayesian Inference,OGSBI)算法。但這些算法均是基于網格離散的前提，通過網格進一步細化或者搜索優化等方式逼近真實的散射點位置，因此并沒有完全消除網格失配的影響。文獻[12]提出了一種基于原子范數最小化(Atom Norm Minimization,ANM)的連續壓縮感知理論(Continuous Compressed Sensing,CCS)，通過在連續域中進行稀疏建模，從而避免了網格離散化操作，實現了網格失配下正弦信號頻率的精確估計。文獻[13]將這一理論運用至DOA估計領域，得到了比傳統離散化CS方法更好的估計性能。受上述思想啟發，若能將原子范數理論應用至ISAR成像領域，對于解決網格失配條件下的SF ISAR 1維高分辨距離成像將具有十分重要的研究價值。

基于上述分析，本文將原子范數理論運用至SF ISAR成像領域，提出了一種基于ANM的SF ISAR 1維高分辨距離成像方法。首先，在原子范數域構建SF ISAR距離向稀疏表示模型，將1維距離成像問題轉化為原子范數最小化問題。然后，將原子范數最小化問題轉化為半正定規劃問題，并利用交替方向乘子(Alternating Directon Method of Multipliers,ADMM)方法進行快速求解。最后，利用Vandermonde分解實現最終的高分辨1維距離成像。由于該方法直接在連續域中進行距離像稀疏建模，避免了網格離散化操作帶來的網格不匹配問題，具有網格失配條件下估計性能精確的優勢，且在低量測值條件下保持了較好的重構性能。相比于傳統離散化稀疏重構方法，所提方法具有更普遍的應用范圍。

2 原子范數理論

原子范數理論是一種描述連續參量的范數形式，其涵蓋了多種常用范數，如?1范數、核范數等。假設原子集合A對 應的凸包表示為c onv(A)， 且conv(A)為包含原點的中心對稱緊集[14]。因此，原子范數就是由凸包conv(A)的尺度函數所定義的范數形式，可以表示為

實際上，原子范數具有半正定規劃(SemiDefinite Programming,SDP)性質，因此可以將原子范數最小化(Atomic Norm Mnimization,ANM)轉化為如式(2)所示的SDP問題，然后利用相應的半正定規劃優化方法進行求解[12]。

3 基于原子范數的SF ISAR距離成像方法

SF ISAR雷達系統距離向通過發射SF信號實現對目標的觀測，在接收端進行距離像合成實現高的距離分辨。雷達對K個散射點目標進行觀測，其相應的接收回波信號可以表示為[15]

對于式(9)所示的半正定規劃問題，可以利用SDPT 3,SeDuMi等基于內點法的優化算法進行求解，但上述方法存在運算量大、計算效率低的問題。針對上述優化求解問題，已經提出了較多的快速優化算法[13,17,18]，其中ADMM在確保重構性能的同時，可以顯著降低計算復雜度。為此，本文使用ADMM快速算法實現對式(9)問題的求解，具體實現步驟可以參考文獻[13]。通過優化后即可得到最終的t,T oep(u)以及z?。在得到待恢復信號后，可以利用傳統IFFT合成方法或者字典離散化CS方法再進行距離像合成，但這將會失去求解原子范數帶來的“無網格”優勢。

根據Caratheodory定理[19]，對于任意一個N×N維的半正定Toeplitz矩陣T oep(u)，若矩陣的秩K=rank(Toep(u))

圖1 基于原子范數的高分辨距離成像方法流程示意圖

4 方法性能分析

4.1 重構性能分析

4.2 量測性能分析

另外，在ANM理論中，一般要求待恢復信號的稀疏度K滿足的條件為

4.3 復雜度分析

5 仿真分析與驗證

為更好地全面分析方法性能，本節主要從量測值大小、信噪比高低以及運算量3個方面來分析驗證算法重構性能。為綜合比較分析，采用傳統基于離散網格劃分的CS方法(OMP算法)、文獻[11]所提OGSBI算法作為對比算法(迭代次數設置為500次)，本文所提基于ANM的1維高分辨距離成像方法簡稱為ANM算法，并分別給出基于SDPT3以及ADMM方法進行重構的結果，其中ADMM方法中的參數ρ設置為1，最大迭代次數設置為500次。

5.1 仿真數據驗證

仿真1重構精度仿真對比

首先驗證所提方法在目標散射點與距離網格匹配以及失配條件下的重構性能。仿真生成4個散射點目標，其位置與幅度均隨機產生(網格匹配目標位置設置在網格點上)，信噪比設置為20 d B。圖2為利用不同重構方法得到的1維高分辨距離成像結果示意。

從圖2的仿真結果可以看出，在網格匹配的條件下，3種方法均可以得到正確的距離像合成結果。而當存在網格失配時，OMP方法存在較多的虛假重構，OGSBI方法由于具有誤差修正能力，重構結果的誤差相對于OMP方法來說有所降低。而本文所提的ANM方法(不論是基于SDPT3還是ADMM的重構方法)，由于在連續域直接進行重構，因此可以完美重構出正確的位置，顯示出在網格失配條件下優良的性能。

圖2 不同算法1維距離像重構結果對比示意圖

仿真2不同條件下性能對比

本仿真主要驗證該方法在不同量測值以及不同信噪比條件下的重構性能。在相同的參數條件下，設置不同的信號量測值，信噪比設置為20 d B。圖3為不同量測數M以及不同信噪比條件下(設置不同的信號信噪比，量測值設置為40)不同方法稀疏重構結果對比。此處主要以支撐集(即正確距離像位置集合)估計精度來對算法估計性能進行評價。

圖3 不同條件下支撐集估計精度對比示意圖

從圖3(a)可以看出，在不同的量測值條件下，OMP算法具有較差的估計精度，這是由于在網格失配條件下其支撐集估計誤差是始終存在的，OGSBI算法具有網格失配修正功能，因此估計精度有較大提升。而本文基于ANM的方法由于在連續域直接進行重構，因而具有最好的支撐集估計精度。相比較而言，基于SDPT3的ANM重構方法在低量測值條件下性能略好于基于ADMM方法的重構結果，但結果相差較小。從圖3(b)可以看出，在不同的信噪比條件下，本文基于ANM的方法同樣具有最好的支撐集估計精度，且不論是基于SDPT 3方法還是基于ADMM方法，均具有較高的估計精度，顯示出較強的魯棒性。

另外，為進一步對比不同方法在處理時間上的差異，以上述信號參數(發射信號子脈沖個數為30個)為例且保持算法設置參數不變，此時OMP算法需要的處理時間約為0.08 s，OGSBI方法的處理時間約為0.45 s，ANM-SDPT 3方法的處理時間約為2.1 s，而ANM-ADMM方法的處理時間約為0.5 s。從上述結果可以看出，OMP算法具有最少的運算量，基于ADMM的ANM重構方法約與OGSBI算法處于同一運算量級，而基于SDPT 3的ANM方法具有較長的運算時間，上述結果也驗證了理論分析結論的正確性。

5.2 MIG-25數據驗證分析

進一步采用MIG-25數據驗證本文基于ANM算法的有效性，該數據發射信號為步進頻率波形，其載頻為9 GHz，共發射64個子脈沖，合成帶寬為512 MHz，相應的子脈沖帶寬為8 MHz，方位向共有512組子脈沖，脈沖重復頻率為15 kHz，在成像時間內目標轉動角速度近10(°)/s，已經經過運動補償。由于無法事先知道正確距離像結果，因此找不出合適的衡量距離成像質量的指標。但是，在ISAR成像中，距離像成像質量會對最終的2維成像結果產生影響。為此，本實驗中同時給出了距離像合成結果以及最終的2維ISAR成像結果，并利用衡量ISAR成像質量的熵值(Entr op y)以及對比度(Contrast)來比較不同算法的重構性能。其中，距離像合成采用本文4種不同的重構算法，方位向均利用FFT方法進行處理。在仿真實驗中，選取前第128組子脈沖進行2維成像結果重構，并設置采樣率為0.5，即隨機選擇32個方位向子脈沖進行處理，利用不同方法得到的距離合成結果以及最終ISAR成像結果如圖4所示。其中圖4(a)、圖4(c)、圖4(e)、圖4(g)為距離像合成結果，圖4(b)、圖4(d)、圖4(f)、圖4(h)為ISAR成像結果。

從圖4的實驗結果可以看出，利用OMP算法得出的距離像合成結果具有較多的虛假重構。OGSBI算法距離像合成結果稍好于OMP算法。相比較而言，本文方法的距離像合成結果虛假重構點較少，因而性能最好，也進一步驗證了本文方法的有效性。從ISAR成像結果也可以看出，由于距離像合成結果影響到最終的ISAR成像質量，因此OMP算法以及OGSBI算法的2維成像質量虛假散射點較多，成像質量較差。而本文基于ANM的稀疏重構方法(基于SDPT 3方法以及基于ADMM方法)得到的ISAR成像結果聚焦性最好，虛假散射點也最少，也證實了本文所提方法的優勢。

圖4 不同算法重構結果對比示意圖

為進一步衡量不同算法的性能，圖5給出了不同距離向采樣率條件下的2維ISAR成像結果的熵值以及對比度曲線。可以看出，本文方法在低距離向采樣率條件下的成像熵值均低于其他兩種方法，成像對比度均高于另外兩種，也有利地驗證了本文方法在低采樣率條件下的重構性能。另外，可以看出，不論是基于SDPT 3方法還是基于ADMM方法的ANM稀疏重構算法，均具有相似的成像結果，成像質量均較好。

圖5 不同算法重構性能對比示意圖

此外，在上述信號參數條件下，對不同算法實現距離像合成的總運算時間進行了統計對比，基于本仿真平臺，本文所提基于SDPT 3的ANM方法實現128組距離像合成需要約343.93 s，而相同情況下基于ADMM的ANM距離像合成方法需要約104.20 s,OGSBI方法需約108.79 s，而OMP算法僅需約2.86 s，可以看出，雖然利用了ADMM的快速求解方法，其運算效率仍有較大的改進空間。但隨著現代超級計算機運算性能的急速提升，復雜度并非首要考慮的因素。

6 結束語

本文提出了一種基于原子范數最小化的SF ISAR高分辨1維距離像合成方法，通過將距離成像問題轉化為原子范數最小化問題，在連續域上實現了1維高分辨距離成像，并利用ADMM方法實現了快速稀疏重構。與傳統離散化方法相比，在網格失配、低量測數據條件下重構性能好的優點，且保持了高的距離分辨能力。但是，本文方法同時存在運算量較大的缺點，這也是下一步需要著重研究與加以解決的問題。