基于橢圓球面波信號的多支路連續相位調制解調方法

楊大偉，劉傳輝，張磊，康家方

(1.海軍航空大學 航空通信教研室, 山東 煙臺 264001; 2.91439部隊, 遼寧 大連 116041)

0 引言

現有甚低頻通信中普遍采用最小頻移鍵控(MSK)的標準通信調制模式[1]，但是甚低頻通信可用頻段較窄，信息傳輸速率較低，難以滿足實時信息傳輸要求。MSK調制是基帶調頻信號為矩形脈沖、最小調制指數為0.5的連續相位調制(CPM)特例，而CPM信號具有恒包絡特性、對功放的非線性特性不敏感，較高的頻帶利用率和功率效率等特點[2]，廣泛應用在移動通信、衛星通信、軟件無線電通信等[3-6]領域。現有CPM的基帶調頻脈沖信號主要有矩形脈沖、升余弦脈沖、(類)高斯脈沖等信號，且隨著這些脈沖信號對CPM相位路徑平滑程度的優化，使得CPM信號具有更高的頻譜效率。

橢圓球面波函數(PSWF)是貝爾實驗室Slepian等[7]于1961年提出的一類特殊函數集合，具有高時頻能量聚集性、時間帶寬積靈活可控性、完備雙正交性、奇偶對稱性等優良基礎特性[8-10]，目前在移動通信、超寬帶通信、衛星通信等應用領域[11-13]都有相關深入研究。從數學角度來看，PSWF屬于橢圓坐標系下球體波函數方程——Helmholtz微分方程解的形式之一，它是Slepian等[7]在尋找有限時域內具有最佳能量聚集性的帶限函數時，發現的一類完備正交帶限函數集合。

現有CPM基帶調頻脈沖信號并非最優時頻能量聚集性信號，而PSWF信號相對于其他函數信號具有更高的時頻域能量聚集性，能夠使CPM信號相位變化更加柔和，有望進一步提升CPM調制信號頻譜效率，且在多載波通信系統中，通過引入PSWF作為基帶信號波形，替代矩形脈沖信號，能夠有效提升系統性能[14-15]。此外，由于相同參數、不同階PSWF信號相互正交，且占用相同的時寬、帶寬資源，這為拓展新的信息加載維度，提高信息傳輸速率提供了一種新的思路，除了在原有CPM調制基礎上加載符號信息序列外，還可以增加PSWF多波形映射方式加載信息，從信號維度的角度來看，這將進一步提升系統的頻帶利用率。

本文結合甚低頻通信應用背景及PSWF信號的優良基礎特性，探索研究一種基于PSWF信號的CPM(CPM-PSWF)多支路信號調制解調方法。該方法是利用多階PSWF信號同時作為CPM的基帶調頻脈沖信號，產生CPM-PSWF多支路調制信號；在接收端，采用分層處理方案，先利用傳統MSK類差分相干方法對原符號序列映射信息進行檢測與解調，然后，應用多比特周期內信號與PSWF模板信號求互相關值和的方法，對另一支路PSWF波形映射信息進行檢測與解調。該方法對于提高現有甚低頻通信方式信息傳輸速率和頻譜效率具有一定的參考價值和借鑒意義。

1 CPM-PSWF多支路信號調制原理

根據連續相位調制基本原理[16]、充分利用PSWF信號基礎特性，同時將多階PSWF信號作為CPM基帶調頻脈沖信號，提出基于PSWF的CPM多支路信號調制方法，其調制信號產生主要包含比特分離、二維信號映射、基帶信號成形、信息加載、載波相位調制等過程。CPM-PSWF多支路信號調制原理如圖1所示。

首先，對發送數據進行比特分離，分為p1、p22個支路，第1路p1用于產生信息符號序列ai，第2路p2對應PSWF波形信號選擇。對輸入串行二進制數據比特流進行分幀，每幀包含(D+1)n個比特序列，D表示多比特周期數(如D=2,3,…，且D為整數)，n為比特數且為正整數，時寬為(D+1)nT，T為單個比特周期(s)；再對每(D+1)n個比特流進行分組，采用比例間隔(D：1)直接分組方法，每組比特數分別為Dn、n，對應時寬分別為DnT、nT.數據分幀分組方案如圖2所示，分兩路進行比特分離，其中單個比特計為1個碼元(或比特)周期，持續時間為T.

圖2 數據分幀分組

其次，對分離后的兩支路比特序列按照特定規則分別進行映射，p1路為符號信息序列映射，p2路為PSWF波形選擇性映射。符號信息序列映射采用雙極性不歸零二進制碼的映射規則，用aib(t-iT)表示，其中ai為信息符號序列，b(t)為沖激函數序列，b(t-iT)為在iT個比特周期持續時間上的沖激序列，i為正整數，i=1,2,3,….由線性運算特性可知，相同參數PSWF信號占用相同時寬、帶寬，故不同階PSWF信號線性疊加后，信號占用時寬、頻寬不發生變化，且不改變PSWF信號間正交性，所以PSWF波形映射是將輸入的比特信息‘1’和‘0’碼，分別對應映射為0階PSWF波形信號ψ0(c,t)、‘0+2階’PSWF波形信號ψ0+2(c,t)，c表示PSWF的時間帶寬積(Hz·s)。二維映射規則為

PSWF有多種定義和表示方法，包括積分方程表示法、微分方程表示法、多項式逼近表示法等，以下以PSWF積分方程定義式來表示PSWF，其表達式為

(1)

式中：ψn(c,t)是帶限區間為[-Ω,Ω]，且時限區間為[-t0,t0]的第n階PSWF，Ω表示半帶寬，c=t0Ω；λn為對應于ψn(c,t)的特征值。PSWF積分方程的物理意義為：一個時限于[-t0,t0]的函數ψn(c,t)通過帶寬為[-Ω,Ω]的理想低通濾波器后的輸出是λnψn(c,t)，即濾波器將ψn(c,t)衰減為原來的λn倍。

0階PSWF信號ψ0(c,t)和‘0+2階’PSWF信號ψ0+2(c,t)的積分表達式分別為

(2)

式中：ψ2(c,t)是帶限區間為[-Ω,Ω]，又在時域區間[-T/2,T/2]集中分布的2階PSWF；λ0和λ2分別對應于ψ0(c,t)、ψ2(c,t)的特征值。

然后，對PSWF波形信息映射支路采用多比特周期[17]傳輸的方式，隨機選擇多個比特周期的0階PSWF波形信號和‘0+2階’PSWF波形信號同時作為CPM基帶調頻脈沖信號，統一用ψ(c,t)表示，多比特周期傳輸方式如圖3所示。

圖3 p2支路多比特周期信息傳輸方式

對ψ(c,t)進行積分獲取相位成形函數q(t)，并對q(t)進行歸一化處理。使得q(t)滿足在[0,t]范圍內為單調遞增函數，且在t>T時函數值恒等于1/2.q(t)的表達式為

(3)

以0階PSWF為例，其波形信號及積分后的信號q0(t)如圖4所示。

圖4 0階PSWF信號及其相位成形信號

通過對信息符號序列ai、相位成形函數q(t)、調制參數2πh(h為調制指數)求乘積，得到載波相位φ(t)，即將信息符號序列加載到載波相位上，φ(t)為攜帶信息的載波時變相位，其表達式為

(4)

式中：αi為發送的信息符號序列。

最后，經過載波相位調制產生多支路CPM-PSWFs調制信號s(t)，其表達式為

s(t)=cos(ωct+φ(t)+φ0)，

(5)

式中：ωc為載波角頻率，且ωc=2πfc，fc為載波中心頻率；φ0為載波初始相位。

該調制方法采用雙維度信息映射，在原有CPM信息符號序列映射的基礎上，增加PSWF波形信號選擇性映射，拓展了CPM系統信息加載維度，相比采用信息符號序列單維度信息加載的CPM調制方式，信息傳輸效率可以進一步提高，且CPM-PSWF調制信號同樣具有恒包絡、相位連續等特點。

2 CPM-PSWF多支路信號解調原理

由CPM-PSWF多支路信號調制基本原理可知，原CPM單支路對信息符號序列映射信息的解調是多支路的一部分，多支路信號檢測包含單支路信號檢測，故引入分層處理思想，即首先對第1層單支路信息符號序列映射信息進行解調，然后對第2層PSWF波形映射支路信息進行解調。第1層信息解調采用傳統MSK類差分相干解調方法[18]，第2層波形信號的檢測采用多個比特信號周期內，與PSWF參考信號求互相關值和的檢測解調方法。CPM-PSWF多支路信號解調原理框圖如圖5所示。

圖5 CPM-PSWF多支路信號解調方法原理框圖

第1層符號序列映射信息解調原理如圖6所示。假設過信道后接收端接收到的信號為r(t)，其表達式為

圖6 符號序列映射信息差分相干解調原理框圖

r(t)=cos(ωct+φ(t)+n(t))=

(6)

式中：n(t)為加噪聲后引起的相位噪聲；φ(t)為載波時變相位函數。對過信道后接收到的信號r(t)數字下變頻，進行相干載波恢復，分成上、下兩個支路即同相支路信號rI(t)與正交支路信號rQ(t)：對于(同相)上支路，將r(t)與相干載波cosωct相乘得到信號rI(t)(ωc表示載波中心頻率)，其表達式為

rI(t)=r(t)cosωct=

(7)

對于(正交)下支路，將r(t)與相干載波-sinωct相乘可得信號rQ(t)，其表達式為

rQ(t)=-r(t)sinωct=

(8)

將上支路和下支路提取載波后的信號分別經過低通濾波處理，濾除高頻分量后得到輸出基帶信號分別為I(t)、Q(t)，其表達式為

(9)

對同相支路和正交支路分別做延遲差分處理，延遲一個比特周期分別得到信號cos[φ(t-T)+n(t-T)]、sin[φ(t-T)+n(t-T)]；兩路延遲信號(交叉)相乘、求和處理后得到信號θ(t)，θ(t)是相位變化量的正弦值，即θ(t)=sin[ΔΦ(t)]，它與單個比特周期內相位變化量極性相同；那么CPM-PSWF信號在一個碼元周期內的相位改變量θ(t)表示為

θ(t)=sin[ΔΦ(t)]=

sin[φ(t)-φ(t-T)+n(t)-n(t-T)]=

sin[φ(t)+n(t)]cos[φ(t-T)+n(t-T)]-

cos[φ(t)+n(t)]sin[φ(t-T)+n(t-T)]=

(10)

因為θ(t)=sin[ΔΦ(t)]和相位的改變量ΔΦ(t)有相同的極性，而ΔΦ(t)等價關系式為

ΔΦ(t)=φ(t)-φ(t-T)+n(t)-n(t-T).

(11)

在一個碼元周期內，ΔΦ(t)在閾值點與初始相位差只有兩種情況即(πh)或(-πh)。ΔΦ(t)的大小可以采用一個比特周期內的相位極值點數值進行判決：當ΔΦ(t)的值大于0時，即θ(t)>0，則判接收到的數據dk是“1”，k表示收到的第k個比特數據；當ΔΦ(t)的值小于0時，即θ(t)<0，則判接收到的數據dk是“0”.

第2層PSWF波形映射信息解調原理如圖5所示。考慮到對第2層PSWF波形信號的檢測需要求導處理，但是對加噪信號求導，會使得信干比成倍減小，如果直接對過信道后的接收信號進行載波恢復，會影響接收端PSWF波形信號檢測性能，所以需要分別對上、下支路進行載波恢復，且下支路載波恢復處理前需要先進行小波去噪預處理。故首先，對接收端接收到的r(t)信號采用小波閾值去噪[19-21]，得到去噪后的恢復信號r′(t)，其表達式為

r′(t)=cos(ωct+φ(t)+(n(t)-σn(t)))=

(12)

式中：n(t)為相位噪聲(服從均值為0、方差為1的高斯隨機變量)；σn(t)的方差為σ2.對去噪后的信號r′(t)進行相干載波恢復(該過程與(7)式、(8)式處理過程類似)，分成上、下兩個支路即同相支路信號rI2(t)與正交支路信號rQ2(t)；分別對上、下兩個支路rI2(t)、rQ2(t)信號進行低通濾波處理，去掉高頻分量后得到基帶信號I2(t)、Q2(t)：

(13)

取同相支路信號單獨處理：對低通濾波后的同相支路信號I2(t)信號取反余弦得到信號φ1(t)，取絕對值求導處理，獲取與PSWF波形相關的信號G(t)，G(t)信號是含有PSWF信號ψ(c,t)及調制參數的函數：

(14)

式中：ψ(c,t)是含有0階PSWF或者‘0+2階’PSWF波形信號。

再對G(t)在多比特周期內與PSWF波形信號求互相關值：分別在每個比特周期內，計算G(t)與模板信號βψ0(c,t)、γψ0(c,t)的互相關值，β和γ分別是0階PSWF模板信號、‘0+2階’PSWF模板信號的系數，

(15)

并在D個符號周期內對其互相關值取絕對值、求和處理后，得到相關值R0(t)、R0+2(t)：

(16)

最后，判決、解映射得到信息數據：對求得的D個符號周期互相關值R0(t)、R0+2(t)進行判決，判決條件為

(17)

從而對波形信號解映射得到輸入信息數據‘1’和‘0’：0階PSWF波形信號，解映射為‘1’；‘0+2階’PSWF波形信號，解映射為‘0’.

至此，實現CPM-PSWF多支路信號的解調，將第1層符號序列解映射比特信息與第2層PSWF波形信號解映射比特信息合并，可以得到發送數據信息。

3 仿真結果與分析

由于PSWF到目前為止還沒有閉式解析解，在實際應用中都是采用數值求解的方式產生，所以，為驗證所提CPM-PSWF多支路信號調制解調方法的有效性，需要結合計算機數值計算、仿真分析CPM-PSWF調制信號與系統解調性能。仿真以載波中心頻率為15 kHz、常規的高斯白噪聲信道(在整個信道帶寬下功率譜密度為常數、幅度服從高斯概率分布)為例，仿真具體參數設置為：信息傳輸速率S為50 bit/s，調制指數h為0.5，PSWF信號的時間帶寬積c為4 Hz·s，時域采樣點數N為1 024，產生PSWF信號為0階PSWF、2階PSWF；小波去噪分解層數為8，閾值選擇標準為極大極小閾值，閾值使用方式為軟閾值；總傳輸比特個數為10 000 s×50 bit/s，PSWF波形選擇映射比特周期D為2(即表示2 bit波形信息代表1 bit信息數據)。表1為時間帶寬積為4 Hz·s條件下的0階PSWF和‘0+2階’PSWF數值解(以N=16為例)。

表1 0階PSWF與‘0+2階’PSWF數值解(N=16)

3.1 調制信號功率譜

以0階PSWF信號和‘0+2階’PSWF信號同時作為CPM基帶調頻脈沖信號，將CPM-PSWF調制信號與MSK信號的功率譜密度特性進行對比，如圖7所示。

圖7 CPM-PSWF與MSK調制信號功率譜密度(D=2)

由圖7可知，CPM-PSWF多支路調制信號的功率譜密度帶外衰減和功率百分比占用帶寬性能略低于MSK信號，原因在于該時間帶寬積條件下，CPM基帶采用的‘0+2階’PSWF信號能量聚集度并不高，從而導致調制信號能量聚集度降低。CPM-PSWF多支路調制信號與MSK信號功率百分比占用歸一化帶寬具體數值如表2所示。

表2 CPM-PSWF與MSK調制信號占用帶寬

由表2可知，從調制信號角度來看，CPM-PSWF多支路調制信號在不同功率帶寬條件下，其頻帶利用率都略低于MSK信號，在調制信號包含90%功率帶寬條件下二者系統頻帶利用率較為接近。所以對CPM-PSWF多支路信號調制解調信號的頻譜效率計算，需要結合解調性能和信息加載方式及調制信號性能綜合考量。

3.2 CPM-PSWF多支路信號解調性能

圖8是基于PSWF的多支路CPM信號解調性能曲線圖。由于p1支路沿用的是傳統MSK差分相干解調方法，所以其誤比特率性能可保持原MSK解調性能；p2支路為0階PSWF和‘0+2階’PSWF波形映射信息，該支路解調性能取決于比特周期選擇的0階PSWF或‘0+2階’PSWF波形數量D，選取的比特周期數越多，該支路的解調誤碼性能越好，但相應該支路的傳輸效率會有所降低，當然這也是在MSK調制模式傳輸效率基礎上額外得到的一路傳輸效率，其輸入信息量可以大于MSK調制方式，故這里分為p1支路和p2支路，分別比較解調性能。由于p2支路解調端需要利用0階PSWF和‘0+2階’PSWF波形求相關的檢測方法，而其相關值與PSWF波形采樣點數有關，所以圖8中采用信噪比(SNR)作為橫坐標度量。當比特差錯概率(BER)為10-4時，p1支路即傳統MSK差分相干解調方法所需信噪比SNR約為8.74 dB，MSK相干解調方法所需信噪比SNR約為8.36 dB；p2支路PSWF兩種波形映射多比特周期解調法所需SNR約為7.30 dB(D=2)、6.00 dB(D=3)、4.40 dB(D=4)、3.50 dB(D=5)，對應為MSK調制模式信息傳輸速率的1.5倍(D=2)、1.3倍(D=3)、1.25倍(D=4)、1.2倍(D=5)。

圖8 CPM-PSWF多支路信號解調性能曲線

CPM-PSWF多支路信號解調方法，充分利用PSWF信號的高時頻能量聚集性、完備正交特性，可有效提高現有CPM系統的信息傳輸速率。雖然對第2維PSWF波形映射數據解調采用了多個比特周期信號檢測的方法，且隨著檢測比特周期數D的增加，這一支路信息傳輸效率會降低，但是該方法也是在原有CPM系統單支路信息數據解調的基礎上，結合PSWF獨特性質，額外得到另一支路信息傳輸效率。雖然表2中CPM-PSWF信號與MSK信號相比，在不同功率百分比條件下，占用帶寬略大，但是由于0階PSWF和‘0+2階’PSWF波形映射信息支路額外增加了信息量，所以信息傳輸速率有所提高。從頻帶利用率定義式可知，CPM-PSWF信號在不同功率百分比(90.0%、99.9%)帶寬條件下，相比MSK信號頻帶利用率有所提升，但在99.0%信號功率帶寬條件下略有降低。

結合CPM-PSWF多支路調制信號與解調性能，綜合考量該方法所得信號頻帶利用率。假設MSK調制模式信息傳輸速率為50 bit/s，相同條件下，由于CPM-PSWF多支路調制解調方法增加了第2維波形信息映射，在多比特周期D為2時，CPM-PSWF多支路信息傳輸速率為75 bit/s.

根據系統頻帶利用率計算公式：

(18)

式中：Rb為信息傳輸速率；B為頻帶寬度。結合表2數據可知，占調制信號90.0%、99.9%功率帶寬條件下，由(18)式計算可得，CPM-PSWF多支路調制解調系統相對于MSK模式系統頻帶利用率可提高約47.41%、9.43%，占調制信號99.0%功率帶寬條件下頻帶利用率會降低約1.24%，即90.0%、99.0%、99.9%功率百分比帶寬條件下頻帶利用率分別為(75/(0.87×50))bit/(s·Hz)-(50/(0.80×50))bit/(s·Hz)≈47.41%bit/(s·Hz)、(75/(1.92×50))bit/(s·Hz)-(50/(1.26×50))bit/(s·Hz)≈-1.24%bit/(s·Hz)、(75/(3.36×50))bit/(s·Hz)-(50/(2.84×50))bit/(s·Hz)≈9.43%bit/(s·Hz).

CPM-PSWF信號解調性能與MSK相干解調、差分相干解調方法相比，MSK相干解調比差分相干解調性能較好，CPM-PSWF信號解調方法p1支路解調性能保持了MSK差分解調性能，p2支路解調性能隨著多比特周期數D的增加，解調性能越好，但是復雜度也會相應增加。從可實現角度而言，MSK差分相干解調方法在解調時，只需要對單個比特周期內相位極值點進行檢測判決，所以更容易實現，而本文所提方法由于增加了新的波形映射支路及小波去噪處理過程，所以實現復雜度較高。假定余弦函數的運算量為3次乘法運算量，由于不同解調方法均有載波恢復過程，且該過程運算量相同，這里省略此過程運算復雜度計算。以CPM-PSWF信號多支路解調方法為例，小波去噪的運算復雜度為O(nN[log2(nN)])，PSWF波形相干檢測的乘法運算量為O(nN)、加法運算量為O(n(N-1))，相關值求和的加法運算量為O(n(D-1)/D)，總的乘法實現復雜度為O(nN[log2(nN)]+nN)、加法實現復雜度為O(n(N-1)+n(D-1)/D)。不同解調方法的算法實現復雜度詳如表3所示。

表3 不同解調方法實現復雜度

4 結論

本文探索研究了一種基于PSWF信號的多支路CPM解調方法，可在一定帶寬條件下，提升現有甚低頻通信模式的頻帶利用率。得出以下主要結論：

1)當PSWF波形映射支路，多比特周期D分別為2、3、4、5時，系統信息傳輸速率可較MSK調制方法分別提升1.5倍、1.3倍、1.25倍、1.2倍，但同時需要結合調制信號占用帶寬，綜合評價該信號頻帶利用率性能。

2)當誤比特率性能為10-4時，基于多比特周期的PSWF波形映射信息支路解調性能，在SNR條件下，可優于現有MSK差分非相干解調方法約2.50 dB，且隨著比特周期數的增加，該支路解調性能越好，但是相應的信息傳輸效率會有所降低。

3)在兩支路解調性能相當的情況下，該方法可在90.0%、99.9%信號功率帶寬條件下，提升現有MSK調制信號頻帶利用率，但在99.0%信號功率帶寬條件下，頻帶利用率略有降低。后期可通過對PSWF信號定量截短，得到與MSK功率譜密度、占用帶寬幾近相當的調制信號性能，從而進一步提高現有甚低頻通信模式的頻帶利用率，但同時還需要考慮PSWF信號截短的方式對多支路CPM-PSWF信號檢測、解調性能的影響程度。本文所提方法的局限性在于，需要對波形映射信息支路接收端信號進行小波去噪預處理，較傳統的MSK類調制解調方法實現復雜度較高。