改進的超短基線系統自適應相位差估計器

喻敏，丁賢君，張曉亮，祝明思

(1.武漢理工大學 交通學院, 湖北 武漢 430070；2.中國船舶工業系統工程研究院，北京 100036)

0 引言

超短基線定位系統通過測量相位差來估計目標方位，準確估計基元間接收信號的相位差是超短基線定位系統的關鍵技術之一。由于海洋信道是復雜的、多途的隨機時變空變信道，自適應濾波器比固定參數濾波器具有更好的處理性能，使得自適應Notch濾波器(ANF)成為估計窄帶相位差的經典方法。

截至目前，已有大量學者研究了ANF在相位差估計中的應用。文獻[1]提出了設計極窄帶ANF的方法，介紹了將其用作相位估計器的概念，該估計器的優勢是能同時完成信號檢測和相位差估計。文獻[2]進一步提出了利用ANF來估計單頻矩形脈沖(CW)信號的瞬時頻率、信號包絡和瞬時相位。針對頻率未知或者存在頻差的情況，文獻[3]提出頻點自跟蹤自適應估計器,文獻[4]提出基于極坐標系、以幅值和相位為正交基的相位估計方法。為了研究ANF在多目標定位中的應用，文獻[5]給出了多路并聯ANF的結構，文獻[6-7]進一步分析了單通道、并行多通道和串行多通道3種濾波器的工作特性。

相位差估計器中應用最廣泛的自適應算法是最小均方(LMS)算法，它具有結構簡單、計算量小和易于硬件實現的優點。但是其步長因子μ是固定的，穩態精度與收斂速度、自適應跟蹤能力不可兼得。針對傳統LMS算法存在的固有矛盾，研究者們對步長μ提出了一系列改進算法。文獻[8]將瞬時誤差引入μ的更新過程，在迭代初期，為了加快收斂速度，μ的取值較大，但同時也增加了穩態失調。文獻[9]將瞬時誤差的Sigmoid函數作為μ的更新準則，可以同時提高收斂速度、穩態精度和跟蹤能力，但當瞬時誤差趨于0時步長變化太大，易出現穩態失調。此外，雙曲正弦函數[10]、雙曲正切函數[11]、對數函數[12]、指數函數[13]和箕舌函數[14]等函數也被作為μ的更新準則。其中，基于雙曲正切函數變步長LMS(tanh-LMS)算法的收斂速度優于Sigmoid函數，具有較好的綜合性能，但其步長受誤差函數的影響較大，導致穩態失調較大。另外一種應用較為廣泛的自適應算法是最小二乘(RLS)算法，但尚未在自適應相位差估計器中得到廣泛應用，文獻[15]僅將RLS算法作為濾波預處理，以提高廣義互相關時延估計精度。

本文針對tanh-LMS算法穩健性的不足，基于噪聲和信號的相干性提出改進的tanh-LMS算法，以增強自適應算法的抗干擾能力。同時，為避免LMS算法步長選擇，將RLS算法應用到自適應相位差估計器中，以降低估計器的穩態誤差。進而通過數值仿真分析LMS算法和RLS算法兩種自適應相位差估計器的參數取值問題，最后利用實驗數據對兩種估計器的收斂性能進行對比驗證。

1 自適應相位差估計器

在超短基線定位系統的應用中，信號頻率已知，采用基于LMS算法的兩個正交權的ANF可實現信號相位估計。將兩路ANF并聯，即可得到自適應相位差估計器，其結構如圖1所示。圖1中，rs(t)和rc(t)為兩路正交的參考信號，xi(t)(i=1,2)為輸入信號，yi(t)為輸入信號，si(t)為輸入聲源信號，ni(t)為背景噪聲，ωsi和ωci分別為rs(t)和rc(t)的權向量，εi(t)為殘差，代表不同線路的自適應Notch濾波器。

圖1 自適應相位差估計器

對于第1路ANF，s1(t)=B1cos(ω0t-φ0)，B1為第1路輸入聲源信號幅值，ω0為信號頻率，t為時間序列，φ0為初始相位。則rs(t)和rc(t)分別為

(1)

式中：A1為第1路參考信號的幅值。利用LMS算法可對兩個權向量ωs1和ωc1進行自適應學習。將其過程離散化為

(2)

當ANF穩態收斂時，可得濾波器最佳穩態權為

(3)

由此得到相位值

(4)

同理，利用第2路ANF估計輸入聲源s2(t)的相位為

(5)

兩路信號之間的相位差[1]可表示為

(6)

式中：k為采樣點序號，k=1,2,…,n，n為采樣點個數。

2 改進的LMS自適應算法

2.1 改進LMS算法的原理

LMS算法中步長的取值是影響整個算法收斂性能的關鍵參數之一。文獻[11]提出的變步長tanh-LMS自適應算法，在低信噪比時，該算法收斂性、跟蹤性、穩態性均優于其他多種變步長算法，但該算法存在步長μ受誤差函數ε(n)影響較大的問題。為此，本文將tanh-LMS自適應算法中μ值的更新過程改進為

(7)

式中：μ0為初始步長；參數a控制雙曲正切函數的幅度；參數b和c控制函數的形狀，決定曲線上升的速度。在起始迭代階段，要有較大的μ值，以保證較快的收斂速度和跟蹤速度；在達到收斂狀態后，μ值保持較小的值，以減少穩態失調。為了分析改進tanh-LMS算法的性能，定義權系數的偏差矢量為

Δω(n)=ωo-ω(n)，

(8)

式中：ωo為最佳權系數。則有第n次迭代的期望信號為

(9)

式中：ζ(n)為零均值白噪聲，且與輸入信號x(n)相互獨立。根據LMS算法，d(n)可表示為

d(n)=ε(n)+ωT(n)x(n)，

(10)

式中：ε(n)第n次迭代的濾波器誤差。(8)式和(9)式代入(10)式，可得

ε(n)=ΔωT(n)x(n)+ζ(n).

(11)

由(11)式可得

E[ε2(n)]=E[ΔωT(n)x(n)xT(n)Δω(n)]+

E[ΔωT(n)x(n)ζ(n)]+

E[ΔωT(n)x(n)xT(n)Δω(n)]+E[ζ2(n)]=

E[ΔωT(n)x(n)xT(n)Δω(n)]+E[ζ2(n)]，

(12)

E[ε(n)ε(n-1)]=

E[ΔωT(n)x(n)xT(n-1)Δω(n-1)]+

2E[ΔωT(n)x(n)xT(n)ζ(n-1)]+

E[ζ(n)ζ(n-1)]=

E[ΔωT(n)x(n)xT(n-1)Δω(n-1)].

(13)

文獻[11]提出的變步長tanh-LMS自適應算法使用ε2(n)來調整步長，而本文采用ε(n)ε(n-1)來調整步長。通過比較(12)式和(13)式可以發現，E[ε2(n)]受到背景噪聲ζ2(n)的影響，而E[ε(n)·ε(n-1)]不受ζ2(n)的影響，背景噪聲對步長μ的影響較小。因此，本文提出的改進算法利用噪聲與輸入信號間的相關性，進一步提高了LMS算法的抗干擾能力。

2.2 參數對改進LMS算法的影響

下面通過仿真計算，對參數a、b和c的取值進行分析。仿真條件設置為：SNR=20 dB，權向量初始值為0，后續仿真中均沿用上述仿真條件。步長初始值μ0=0.004，單次仿真只改變一個參數，相位差估計的均方誤差如圖2～圖4所示。

圖2 a值對改進tanh-LMS算法相位差估計器收斂特性的影響(b=2.5，c=0.05)

圖3 b值對改進tanh-LMS算法相位差估計器收斂特性的影響(a=2.5，c=0.05)

從圖2～圖4中可以看出：a值對μ的起始迭代速度影響較小，當迭代次數增加時，a值越大，估計器收斂的速度越快，但穩態后的均方誤差增加；b值對穩態精度的影響較大，b值越大，穩態誤差越大；c值越小，估計器的收斂時間越長。綜合考慮，并經過大量仿真研究，認為較合適的估計器參數取值為a=2，b=0.5，c=0.005.

如圖5所示，對基于傳統LMS算法、tanh-LMS算法和改進tanh-LMS算法的3種自適應相位差估計器性能進行數值仿真。其中，傳統LMS算法的步長μ=0.02；tanh-LMS算法的參數取值為：α=2.5，β=0.005[11].由圖5可知，與傳統LMS算法估計器和tanh-LMS算法估計器相比，改進tanh-LMS算法相位差估計器的收斂速度更快，而且穩態誤差更小。

圖5 3種算法相位差估計器收斂特性的對比

3 RLS算法自適應相位差估計器

除了LMS算法，RLS算法本身就具有更快的收斂速度，也可以應用到自適應相位估計器中。

基于RLS算法的自適應相位差估計器的代價函數可以表示為

(14)

式中：ξ(n)為估計誤差和；λ為遺忘因子；en為估計誤差。通常，賦予更新的采樣點的估計誤差更多的權重。

濾波器的抽頭權系數可以通過最小化公式(14)式中的ξ(n)來更新：

餐廳名稱，也是別有學問的?！熬謿狻?，北京話，“氣”字讀輕音，指公平、公正、守規矩、講道理，也有仗義，大方，豪爽之意。

(15)

式中：

Ψλ(n)=λΨλ(n-1)+r(n)rT(n)，

(16)

r(n)為輸入信號的自相關矩陣；

θλ(n)=λθλ(n-1)+r(n)x(n).

(17)

為了計算矩陣Ψλ(n)的逆，根據矩陣求逆引理，得到Ψλ(n)逆矩陣的遞推形式為

(18)

為了簡化，定義增益向量為

(19)

(20)

重新整理(20)式，增益矩陣k(n)也可以簡化為

(21)

(n)=(n-1)+k(n)n-1(n),

(22)

在第n次迭代中，抽頭權系數的改變量取決于先驗估計誤差n-1和增益向量k(n)的內積。增益矩陣的作用類似于傳統估計器中的步長參數，由于增益矩陣可以根據各個時刻的采樣數據實時更新，使得基于RLS算法的自適應相位差估計器具有更充分利用新信息的能力。

圖6 RLS算法相位差估計器收斂特性

從圖6中可以看出，與傳統LMS算法估計器相比，RLS算法估計器估計精度較高，抗噪能力強，具有較好的收斂性能和穩定性。對RLS算法而言，λ值取值越小，收斂時間越短，但收斂后的噪聲也偏大?？紤]到λ值越趨近于1，估計器具有更長的有效記憶長度，穩態誤差更小。因此，認為λ取0.95較為合適。

4 數值仿真

下面通過數值仿真對兩種估計器的收斂速度、穩態誤差和跟蹤能力進行對比。

改進tanh-LMS算法自適應相位差估計器的參數取值為：a=2，b=0.5，c=0.005，步長初始值μ0=0.004.RLS算法的遺忘因子λ=0.95.權向量初始值均取為0.仿真條件同上，兩種相位差估計器的均方誤差曲線如圖7所示。

圖7 兩種自適應相位差估計器的收斂特性

由圖7可知，改進tanh-LMS算法自適應相位差估計器的收斂時間更短，而RLS算法估計器的穩態誤差更小，二者總體性能接近。

由于水聲信道復雜且多變性，系統接收到的信號可能會發生突變。針對信號突變的現象，仿真比較兩種自適應相位差估計器的跟蹤性能，并與傳統的LMS算法進行對比。接收信號為CW窄帶信號，在第500次采樣點處設置幅值和相位突變。仿真結果如圖8所示。

圖8 3種自適應相位差估計器的跟蹤曲線

由圖8可知，針對信號突變，本文提出的兩種方法對信號突變的適應能力都優于傳統LMS算法。其中，改進tanh-LMS算法自適應相位差估計器的穩態失調較小，權值重新調整的速度更快，對時變信號具有更好的跟蹤能力。

5 實驗驗證

為了驗證兩種改進算法自適應相位差估計器的性能，在實驗水池中進行了聲學實驗。聲源采用頻率為14 kHz的正弦信號，相鄰陣元接收信號的真實相位差為π/6 rad.對直達聲信號進行預處理后，作為自適應相位差估計器的輸入?；嚱邮盏降膬陕吩夹盘柡皖A處理后的信號曲線如圖9所示。

圖9 相鄰陣元的接收信號曲線

由圖9可知，兩個自適應相位差估計器的中心頻率都與聲源相同，其他參數設置保持一致。分別使用改進tanh LMS算法和RLS算法的自適應相位差估計器來測量預處理后信號的相位差，測量曲線如圖10所示。

圖10 改進算法自適應相位差估計器的估計曲線

由圖10可知，兩種自適應相位差估計器均能較快收斂，表明兩種估計器收斂速度快且穩定性好。經過誤差分析，改進tanh-LMS算法自適應相位差估計器的絕對誤差為0.078 5°，RLS算法自適應相位差估計器的絕對誤差為0.069 9°，因此RLS算法自適應相位差估計器的波動小，估計精度更高。

6 結論

本文針對基于窄帶信號的超短基線定位系統相位差估計器存在穩態精度與收斂速度、自適應跟蹤能力不可兼得的問題，對自適應相位差估計器展開研究，并通過數值仿真和水池實驗結果進行了驗證。得到如下主要結論：

1)利用噪聲與輸入信號間的相關性，對變步長tanh-LMS自適應算法進行改進，提高了LMS算法的抗干擾能力。

2)開展了基于RLS算法的ANF研究，與基于LMS算法的濾波器相比，基于RLS算法的自適應濾波器收斂速度更快和穩態精度更高，不受輸入信號的頻譜限制。

3)針對信號突變，本文提出的兩種改進算法對時變信號有較好的適應性，信號跟蹤能力都優于傳統LMS算法。

4)將改進tanh-LMS算法的自適應濾波器和基于RLS算法的自適應濾波器應用于超短基線定位系統相位估計算法中，證明了這兩種算法的優越性，豐富了超短基線定位系統相位估計算法。