改進的超短基線系統(tǒng)自適應(yīng)相位差估計器

喻敏，丁賢君，張曉亮，祝明思

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院, 湖北 武漢 430070；2.中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京 100036)

0 引言

超短基線定位系統(tǒng)通過測量相位差來估計目標(biāo)方位，準(zhǔn)確估計基元間接收信號的相位差是超短基線定位系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一。由于海洋信道是復(fù)雜的、多途的隨機時變空變信道，自適應(yīng)濾波器比固定參數(shù)濾波器具有更好的處理性能，使得自適應(yīng)Notch濾波器(ANF)成為估計窄帶相位差的經(jīng)典方法。

截至目前，已有大量學(xué)者研究了ANF在相位差估計中的應(yīng)用。文獻[1]提出了設(shè)計極窄帶ANF的方法，介紹了將其用作相位估計器的概念，該估計器的優(yōu)勢是能同時完成信號檢測和相位差估計。文獻[2]進一步提出了利用ANF來估計單頻矩形脈沖(CW)信號的瞬時頻率、信號包絡(luò)和瞬時相位。針對頻率未知或者存在頻差的情況，文獻[3]提出頻點自跟蹤自適應(yīng)估計器,文獻[4]提出基于極坐標(biāo)系、以幅值和相位為正交基的相位估計方法。為了研究ANF在多目標(biāo)定位中的應(yīng)用，文獻[5]給出了多路并聯(lián)ANF的結(jié)構(gòu)，文獻[6-7]進一步分析了單通道、并行多通道和串行多通道3種濾波器的工作特性。

相位差估計器中應(yīng)用最廣泛的自適應(yīng)算法是最小均方(LMS)算法，它具有結(jié)構(gòu)簡單、計算量小和易于硬件實現(xiàn)的優(yōu)點。但是其步長因子μ是固定的，穩(wěn)態(tài)精度與收斂速度、自適應(yīng)跟蹤能力不可兼得。針對傳統(tǒng)LMS算法存在的固有矛盾，研究者們對步長μ提出了一系列改進算法。文獻[8]將瞬時誤差引入μ的更新過程，在迭代初期，為了加快收斂速度，μ的取值較大，但同時也增加了穩(wěn)態(tài)失調(diào)。文獻[9]將瞬時誤差的Sigmoid函數(shù)作為μ的更新準(zhǔn)則，可以同時提高收斂速度、穩(wěn)態(tài)精度和跟蹤能力，但當(dāng)瞬時誤差趨于0時步長變化太大，易出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)失調(diào)。此外，雙曲正弦函數(shù)[10]、雙曲正切函數(shù)[11]、對數(shù)函數(shù)[12]、指數(shù)函數(shù)[13]和箕舌函數(shù)[14]等函數(shù)也被作為μ的更新準(zhǔn)則。其中，基于雙曲正切函數(shù)變步長LMS(tanh-LMS)算法的收斂速度優(yōu)于Sigmoid函數(shù)，具有較好的綜合性能，但其步長受誤差函數(shù)的影響較大，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)失調(diào)較大。另外一種應(yīng)用較為廣泛的自適應(yīng)算法是最小二乘(RLS)算法，但尚未在自適應(yīng)相位差估計器中得到廣泛應(yīng)用，文獻[15]僅將RLS算法作為濾波預(yù)處理，以提高廣義互相關(guān)時延估計精度。

本文針對tanh-LMS算法穩(wěn)健性的不足，基于噪聲和信號的相干性提出改進的tanh-LMS算法，以增強自適應(yīng)算法的抗干擾能力。同時，為避免LMS算法步長選擇，將RLS算法應(yīng)用到自適應(yīng)相位差估計器中，以降低估計器的穩(wěn)態(tài)誤差。進而通過數(shù)值仿真分析LMS算法和RLS算法兩種自適應(yīng)相位差估計器的參數(shù)取值問題，最后利用實驗數(shù)據(jù)對兩種估計器的收斂性能進行對比驗證。

1 自適應(yīng)相位差估計器

在超短基線定位系統(tǒng)的應(yīng)用中，信號頻率已知，采用基于LMS算法的兩個正交權(quán)的ANF可實現(xiàn)信號相位估計。將兩路ANF并聯(lián)，即可得到自適應(yīng)相位差估計器，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中，rs(t)和rc(t)為兩路正交的參考信號，xi(t)(i=1,2)為輸入信號，yi(t)為輸入信號，si(t)為輸入聲源信號，ni(t)為背景噪聲，ωsi和ωci分別為rs(t)和rc(t)的權(quán)向量，εi(t)為殘差，代表不同線路的自適應(yīng)Notch濾波器。

圖1 自適應(yīng)相位差估計器

對于第1路ANF，s1(t)=B1cos(ω0t-φ0)，B1為第1路輸入聲源信號幅值，ω0為信號頻率，t為時間序列，φ0為初始相位。則rs(t)和rc(t)分別為

(1)

式中：A1為第1路參考信號的幅值。利用LMS算法可對兩個權(quán)向量ωs1和ωc1進行自適應(yīng)學(xué)習(xí)。將其過程離散化為

(2)

當(dāng)ANF穩(wěn)態(tài)收斂時，可得濾波器最佳穩(wěn)態(tài)權(quán)為

(3)

由此得到相位值

(4)

同理，利用第2路ANF估計輸入聲源s2(t)的相位為

(5)

兩路信號之間的相位差[1]可表示為

(6)

式中：k為采樣點序號，k=1,2,…,n，n為采樣點個數(shù)。

2 改進的LMS自適應(yīng)算法

2.1 改進LMS算法的原理

LMS算法中步長的取值是影響整個算法收斂性能的關(guān)鍵參數(shù)之一。文獻[11]提出的變步長tanh-LMS自適應(yīng)算法，在低信噪比時，該算法收斂性、跟蹤性、穩(wěn)態(tài)性均優(yōu)于其他多種變步長算法，但該算法存在步長μ受誤差函數(shù)ε(n)影響較大的問題。為此，本文將tanh-LMS自適應(yīng)算法中μ值的更新過程改進為

(7)

式中：μ0為初始步長；參數(shù)a控制雙曲正切函數(shù)的幅度；參數(shù)b和c控制函數(shù)的形狀，決定曲線上升的速度。在起始迭代階段，要有較大的μ值，以保證較快的收斂速度和跟蹤速度；在達到收斂狀態(tài)后，μ值保持較小的值，以減少穩(wěn)態(tài)失調(diào)。為了分析改進tanh-LMS算法的性能，定義權(quán)系數(shù)的偏差矢量為

Δω(n)=ωo-ω(n)，

(8)

式中：ωo為最佳權(quán)系數(shù)。則有第n次迭代的期望信號為

(9)

式中：ζ(n)為零均值白噪聲，且與輸入信號x(n)相互獨立。根據(jù)LMS算法，d(n)可表示為

d(n)=ε(n)+ωT(n)x(n)，

(10)

式中：ε(n)第n次迭代的濾波器誤差。(8)式和(9)式代入(10)式，可得

ε(n)=ΔωT(n)x(n)+ζ(n).

(11)

由(11)式可得

E[ε2(n)]=E[ΔωT(n)x(n)xT(n)Δω(n)]+

E[ΔωT(n)x(n)ζ(n)]+

E[ΔωT(n)x(n)xT(n)Δω(n)]+E[ζ2(n)]=

E[ΔωT(n)x(n)xT(n)Δω(n)]+E[ζ2(n)]，

(12)

E[ε(n)ε(n-1)]=

E[ΔωT(n)x(n)xT(n-1)Δω(n-1)]+

2E[ΔωT(n)x(n)xT(n)ζ(n-1)]+

E[ζ(n)ζ(n-1)]=

E[ΔωT(n)x(n)xT(n-1)Δω(n-1)].

(13)

文獻[11]提出的變步長tanh-LMS自適應(yīng)算法使用ε2(n)來調(diào)整步長，而本文采用ε(n)ε(n-1)來調(diào)整步長。通過比較(12)式和(13)式可以發(fā)現(xiàn)，E[ε2(n)]受到背景噪聲ζ2(n)的影響，而E[ε(n)·ε(n-1)]不受ζ2(n)的影響，背景噪聲對步長μ的影響較小。因此，本文提出的改進算法利用噪聲與輸入信號間的相關(guān)性，進一步提高了LMS算法的抗干擾能力。

2.2 參數(shù)對改進LMS算法的影響

下面通過仿真計算，對參數(shù)a、b和c的取值進行分析。仿真條件設(shè)置為：SNR=20 dB，權(quán)向量初始值為0，后續(xù)仿真中均沿用上述仿真條件。步長初始值μ0=0.004，單次仿真只改變一個參數(shù)，相位差估計的均方誤差如圖2～圖4所示。

圖2 a值對改進tanh-LMS算法相位差估計器收斂特性的影響(b=2.5，c=0.05)

圖3 b值對改進tanh-LMS算法相位差估計器收斂特性的影響(a=2.5，c=0.05)

從圖2～圖4中可以看出：a值對μ的起始迭代速度影響較小，當(dāng)?shù)螖?shù)增加時，a值越大，估計器收斂的速度越快，但穩(wěn)態(tài)后的均方誤差增加；b值對穩(wěn)態(tài)精度的影響較大，b值越大，穩(wěn)態(tài)誤差越大；c值越小，估計器的收斂時間越長。綜合考慮，并經(jīng)過大量仿真研究，認為較合適的估計器參數(shù)取值為a=2，b=0.5，c=0.005.

如圖5所示，對基于傳統(tǒng)LMS算法、tanh-LMS算法和改進tanh-LMS算法的3種自適應(yīng)相位差估計器性能進行數(shù)值仿真。其中，傳統(tǒng)LMS算法的步長μ=0.02；tanh-LMS算法的參數(shù)取值為：α=2.5，β=0.005[11].由圖5可知，與傳統(tǒng)LMS算法估計器和tanh-LMS算法估計器相比，改進tanh-LMS算法相位差估計器的收斂速度更快，而且穩(wěn)態(tài)誤差更小。

圖5 3種算法相位差估計器收斂特性的對比

3 RLS算法自適應(yīng)相位差估計器

除了LMS算法，RLS算法本身就具有更快的收斂速度，也可以應(yīng)用到自適應(yīng)相位估計器中。

基于RLS算法的自適應(yīng)相位差估計器的代價函數(shù)可以表示為

(14)

式中：ξ(n)為估計誤差和；λ為遺忘因子；en為估計誤差。通常，賦予更新的采樣點的估計誤差更多的權(quán)重。

濾波器的抽頭權(quán)系數(shù)可以通過最小化公式(14)式中的ξ(n)來更新：

餐廳名稱，也是別有學(xué)問的?！熬謿狻保本┰?，“氣”字讀輕音，指公平、公正、守規(guī)矩、講道理，也有仗義，大方，豪爽之意。

(15)

式中：

Ψλ(n)=λΨλ(n-1)+r(n)rT(n)，

(16)

r(n)為輸入信號的自相關(guān)矩陣；

θλ(n)=λθλ(n-1)+r(n)x(n).

(17)

為了計算矩陣Ψλ(n)的逆，根據(jù)矩陣求逆引理，得到Ψλ(n)逆矩陣的遞推形式為

(18)

為了簡化，定義增益向量為

(19)

(20)

重新整理(20)式，增益矩陣k(n)也可以簡化為

(21)

(n)=(n-1)+k(n)n-1(n),

(22)

在第n次迭代中，抽頭權(quán)系數(shù)的改變量取決于先驗估計誤差n-1和增益向量k(n)的內(nèi)積。增益矩陣的作用類似于傳統(tǒng)估計器中的步長參數(shù)，由于增益矩陣可以根據(jù)各個時刻的采樣數(shù)據(jù)實時更新，使得基于RLS算法的自適應(yīng)相位差估計器具有更充分利用新信息的能力。

圖6 RLS算法相位差估計器收斂特性

從圖6中可以看出，與傳統(tǒng)LMS算法估計器相比，RLS算法估計器估計精度較高，抗噪能力強，具有較好的收斂性能和穩(wěn)定性。對RLS算法而言，λ值取值越小，收斂時間越短，但收斂后的噪聲也偏大?？紤]到λ值越趨近于1，估計器具有更長的有效記憶長度，穩(wěn)態(tài)誤差更小。因此，認為λ取0.95較為合適。

4 數(shù)值仿真

下面通過數(shù)值仿真對兩種估計器的收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤能力進行對比。

改進tanh-LMS算法自適應(yīng)相位差估計器的參數(shù)取值為：a=2，b=0.5，c=0.005，步長初始值μ0=0.004.RLS算法的遺忘因子λ=0.95.權(quán)向量初始值均取為0.仿真條件同上，兩種相位差估計器的均方誤差曲線如圖7所示。

圖7 兩種自適應(yīng)相位差估計器的收斂特性

由圖7可知，改進tanh-LMS算法自適應(yīng)相位差估計器的收斂時間更短，而RLS算法估計器的穩(wěn)態(tài)誤差更小，二者總體性能接近。

由于水聲信道復(fù)雜且多變性，系統(tǒng)接收到的信號可能會發(fā)生突變。針對信號突變的現(xiàn)象，仿真比較兩種自適應(yīng)相位差估計器的跟蹤性能，并與傳統(tǒng)的LMS算法進行對比。接收信號為CW窄帶信號，在第500次采樣點處設(shè)置幅值和相位突變。仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 3種自適應(yīng)相位差估計器的跟蹤曲線

由圖8可知，針對信號突變，本文提出的兩種方法對信號突變的適應(yīng)能力都優(yōu)于傳統(tǒng)LMS算法。其中，改進tanh-LMS算法自適應(yīng)相位差估計器的穩(wěn)態(tài)失調(diào)較小，權(quán)值重新調(diào)整的速度更快，對時變信號具有更好的跟蹤能力。

5 實驗驗證

為了驗證兩種改進算法自適應(yīng)相位差估計器的性能，在實驗水池中進行了聲學(xué)實驗。聲源采用頻率為14 kHz的正弦信號，相鄰陣元接收信號的真實相位差為π/6 rad.對直達聲信號進行預(yù)處理后，作為自適應(yīng)相位差估計器的輸入。基陣接收到的兩路原始信號和預(yù)處理后的信號曲線如圖9所示。

圖9 相鄰陣元的接收信號曲線

由圖9可知，兩個自適應(yīng)相位差估計器的中心頻率都與聲源相同，其他參數(shù)設(shè)置保持一致。分別使用改進tanh LMS算法和RLS算法的自適應(yīng)相位差估計器來測量預(yù)處理后信號的相位差，測量曲線如圖10所示。

圖10 改進算法自適應(yīng)相位差估計器的估計曲線

由圖10可知，兩種自適應(yīng)相位差估計器均能較快收斂，表明兩種估計器收斂速度快且穩(wěn)定性好。經(jīng)過誤差分析，改進tanh-LMS算法自適應(yīng)相位差估計器的絕對誤差為0.078 5°，RLS算法自適應(yīng)相位差估計器的絕對誤差為0.069 9°，因此RLS算法自適應(yīng)相位差估計器的波動小，估計精度更高。

6 結(jié)論

本文針對基于窄帶信號的超短基線定位系統(tǒng)相位差估計器存在穩(wěn)態(tài)精度與收斂速度、自適應(yīng)跟蹤能力不可兼得的問題，對自適應(yīng)相位差估計器展開研究，并通過數(shù)值仿真和水池實驗結(jié)果進行了驗證。得到如下主要結(jié)論：

1)利用噪聲與輸入信號間的相關(guān)性，對變步長tanh-LMS自適應(yīng)算法進行改進，提高了LMS算法的抗干擾能力。

2)開展了基于RLS算法的ANF研究，與基于LMS算法的濾波器相比，基于RLS算法的自適應(yīng)濾波器收斂速度更快和穩(wěn)態(tài)精度更高，不受輸入信號的頻譜限制。

3)針對信號突變，本文提出的兩種改進算法對時變信號有較好的適應(yīng)性，信號跟蹤能力都優(yōu)于傳統(tǒng)LMS算法。

4)將改進tanh-LMS算法的自適應(yīng)濾波器和基于RLS算法的自適應(yīng)濾波器應(yīng)用于超短基線定位系統(tǒng)相位估計算法中，證明了這兩種算法的優(yōu)越性，豐富了超短基線定位系統(tǒng)相位估計算法。