基于拓撲降耦的3T1R并聯(lián)機構設計與運動學特性分析

沈惠平 顧曉陽 李 菊 鄧嘉鳴

(常州大學現(xiàn)代機構學研究中心， 常州 213016)

0 引言

并聯(lián)機構(Parallel mechanism，PM)一般為多回路空間機構，回路間存在耦合性，這種耦合性給運動學、動力學分析和運動控制帶來不便。因此，當機構具有符號式位置正解/具有運動解耦性時，其運動學、動力學分析求解簡單，且可簡化控制和軌跡規(guī)劃問題。

具有三平移一轉動(3T1R)的并聯(lián)機器人具有工作空間大、成本低等特點，在制造業(yè)中應用比較廣泛。但其結構復雜、運動耦合性強，為此國內外學者對3T1R并聯(lián)機構進行了新機型的設計、評估與優(yōu)化。文獻[1-3]設計了一類由定平臺、4條支鏈和雙動平臺組成的SCARA運動并聯(lián)機構；文獻[4-6]設計了H4、Heli4、Par4等系列四自由度3T1R并聯(lián)操作手；文獻[7-8]提出了2種具有Schoenflies運動的四自由度解耦并聯(lián)機構；文獻[9-11]對四自由度并聯(lián)機構進行了運動學分析；楊桂林等[12]提出一種4PPa-2PaR并聯(lián)機構，并對其進行了優(yōu)化；YANG等[13]基于有限螺旋理論提出一種3T1R變軸運動的并聯(lián)翼型結構的遞階綜合方法；杭魯濱等[14]設計了一種新型三平移一轉動解耦并聯(lián)機構；莫徽君等[15]基于螺旋理論構建了一種新型四自由度完全解耦并聯(lián)機構；趙鐵石等[16]提出一種空間4-URU并聯(lián)機構；黃田等[17]將移動副代替螺旋副設計了新型無裝配間隙的并聯(lián)機構；賈凱凱等[18]提出一種具有空間SCARA運動的四自由度并聯(lián)機構；趙鐵石等[19]基于螺旋理論提出一種混合型空間并聯(lián)平臺機構。

本文設計一種低耦合度(k=1)的3T1R并聯(lián)機構，在拓撲分析的基礎上，根據(jù)機構降耦原理[20-21]對該機構進行拓撲優(yōu)化，得到耦合度為零、但基本功能(DOF、POC)及部分運動解耦性不變的優(yōu)化機構，通過對該優(yōu)化機構進行運動學分析(符號式位置正逆解求解、奇異位置、工作空間)，以期得到該優(yōu)化機構的運動特性。

1 機構設計與拓撲分析

1.1 機構設計

根據(jù)基于方位特征(Position and orientation characteristic，POC)方程的并聯(lián)機構拓撲設計方法[22-23]，設計的三平移一轉動(3T1R)并聯(lián)機構如圖1所示。該機構由靜平臺0、動平臺1和3條支鏈(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)組成。

其中，支鏈Ⅰ為混合支鏈(Hybrid single-open-chain，HSOC)，包含由移動副P1和4個轉動副的平行四邊形(Ra1-Rb1-Rc1-Rd1)串聯(lián)組成的運動平面分支，記作P1-Pa；該分支的平動輸出桿2，又與移動副P2及2個平行軸線的轉動副R1、轉動副R2串聯(lián)組成的分支，即P2‖R1‖R2，構成一個平面機構；顯然，該平面機構的輸出桿2的輸出運動為兩維平移；進一步，在輸出桿2上又串聯(lián)2個平行軸線的轉動副R3、R4，這樣構成了混合支鏈Ⅰ，轉動副R4再與動平臺1相連。

易知，混合支鏈Ⅰ末端構件(即動平臺1的一部分)的POC集為三平移以及繞R4軸線的一維轉動。

但由于機構自由度為4，因此，再設計2條無約束支鏈，即取支鏈Ⅱ、Ⅲ分別為無約束支鏈P3-S1-S3、P4-S2-S4，且移動副P3、P4共線，平行于P1、P2。

1.2 機構拓撲分析

1.2.1方位特征(POC)計算

串、并聯(lián)機構的POC方程為[23-24]

(1)

(2)

式中MJi——第i個運動副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

支鏈的拓撲結構為：混合支鏈Ⅰ(HSOC1)由1條等效支鏈{P1-Pa}與支鏈{P2‖R1‖R2}形成子并聯(lián)機構后，再串聯(lián){R3‖R4}組成。支鏈Ⅱ、Ⅲ 的拓撲結構為：SOCⅡ：{P3-S1-S3}、SOCⅢ：{P4-S2-S4}。

子并聯(lián)機構POC集由P1-Pa分支、P2‖R1‖R2分支的POC作“交”運算而得，即由式(1)得

再串聯(lián){R3‖R4}后，由式(2)得HSOC的POC集為

由式(2)得支鏈Ⅱ、Ⅲ的POC集

由式(1)得

因此，動平臺1具有3個移動和1個轉動(繞轉動副R4軸線)的運動輸出特性。

1.2.2自由度(DOF)計算

并聯(lián)機構的通用DOF公式[23-24]為

(3)

(4)

v=m+n-1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數(shù)

v——獨立回路數(shù)n——構件數(shù)

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件的POC集

由等效支鏈{P1-Pa}和支鏈{P2‖R1‖R2}組成第1個平面回路(子并聯(lián)機構)，顯然，其獨立位移方程數(shù)ξL1=3。

由式(3)得由第1個回路構成的子并聯(lián)機構的自由度

第2回路由上述子并聯(lián)機構和支鏈Ⅱ或Ⅲ組成，如第2回路取為{R3‖R4-S3-S1-P3}，則第3個回路由支鏈{P4-S2-S4}組成，顯然，ξL2=ξL3=6。

由式(3)得該機構自由度為

因此，當取靜平臺0上的4個移動副P1、P2、P3、P4為主動副時，動平臺1可實現(xiàn)3個移動和1個轉動(繞轉動副R4軸線)的運動輸出。

1.2.3耦合度κ計算

由基于序單開鏈SOC單元的機構組成原理可知，任一機構可分解為一系列有序單開鏈，第j個SOCj的約束度為

(5)

式中mj——第j個SOCj的運動副數(shù)

fi——第i個運動副的自由度(不含局部自由度)

Ij——第j個SOCj的 驅動副數(shù)

一組有序的v個SOC可分解為若干個最小的子運動鏈(Sub-kinematics chain，SKC)，而SKC僅含1個零自由度的獨立回路數(shù)為v的基本運動鏈(Basic kinematics chain，BKC)。

而SKC的耦合度為

(6)

顯然，由第1個回路構成第1個SKC，即SKC1，由式(6)得其耦合度κ1=0，其位置可獨立求解。

由第2、3個回路構成第2個SKC，即SKC2，由式(6)得其耦合度κ2為

這樣，該機構包含2個SKC，即SKC1、SKC2，機構耦合度為κ=1。

因驅動副P1、P2位于SKC1，而驅動副P3、P4位于SKC2，因此，該機構具有部分運動解耦性。

同時表明，SKC2的位置須由第2、3回路聯(lián)立求解，即須在第2回路上設定1個虛擬變量，在第3回路上建立1個位置約束方程，可通過一維搜索法求出數(shù)值解。

但數(shù)值型位置正解，不利于該機構后續(xù)的尺度優(yōu)化、誤差分析及動力學分析，為此，對其進行拓撲降耦優(yōu)化設計，即在基本功能(DOF、POC)以及部分運動解耦性不變的情況下，使其耦合度κ=0并具有符號式位置正解。

1.3 機構拓撲降耦設計和分析

根據(jù)并聯(lián)機構拓撲降耦原理中的“動平臺上轉動副/球副的重合法”[25]，將動平臺1上支鏈Ⅱ、Ⅲ中的球副S3、S4合并，這樣，原Ⅱ、Ⅲ支鏈合并成為1條混合支鏈Ⅱ，它由3個球副和2個移動副(3S-2P)組成一個空間五桿機構，再串聯(lián)一個球副S4組成，即混合支鏈Ⅱ通過S4與動平臺1相連，得到拓撲優(yōu)化機構如圖2所示。

拓撲降耦后，動平臺1一端R4處的連接方式可采用兩鉸鏈同轉動軸線的結構，如圖3所示。動平臺1仍具有以R41、R42、S4為3點的平面連接方式，機構仍具有較好的穩(wěn)定性；同時，拓撲降耦后，該類機構的剛度會有提高[21]。

因該機構的4個驅動副均為移動副，當導軌長度擴大時，操作工作空間也會隨之擴大，即基于該機構的機器人操作手不僅適用于小范圍內的三平移一轉動(如抓取、噴涂)等精密操作(當4個移動副取不同的速度時)，也能用于沿導軌方向的大范圍內的一維移動(如工件搬運、傳輸?shù)?運動輸出(當4個移動副取相同速度時)，因此，具有潛在的應用前景。

現(xiàn)證明這種拓撲優(yōu)化可使機構的基本功能(POC、DOF)不變，但耦合度從1降為0，從而具有符號式位置正解，且仍具有部分運動解耦性。

1.3.1方位特征計算

可見，拓撲降耦設計后，混合支鏈Ⅰ保持不變，因此，以下僅對混合支鏈Ⅱ作POC分析。

顯然，空間五桿機構(3S-2P)末端的POC為兩平移一轉動(繞S1S2連線)，而該轉動產(chǎn)生一個沿平行于變邊長S1S2的三角形平面S1S2S3法線的移動，因此，混合支鏈Ⅱ(HSOC2)的拓撲結構，可等效表示為HSOC2{(R-P-P)-S4}。顯然，由式(2)可得POC集為

于是，動平臺1的POC集，由式(1)得

可見，動平臺1仍具有3個移動和1個轉動(繞轉動副R4軸線)的運動輸出特性。

1.3.2自由度計算

第1個回路同前，仍為2-DOF兩平移并聯(lián)機構，其獨立位移方程數(shù)ξL1=3。

如圖4所示的3S-2P空間五桿機構中，S1S2之間的距離在運動過程中會發(fā)生變化，相當于存在1個虛擬的移動副Po作用，此外，還存在1個繞這2個球副連線S1S2的轉動自由度R′(S1S2)，因此，可把球副S1、S2、S3視為1個變邊長S1S2的整體三角形平面構件，而3-DOF球副S3的作用相當于轉動軸線繞整體三角形S1S2S3平面法線的1-DOF轉動副，而這個整體三角形平面構件的姿態(tài)要由第3回路(而不是第2回路)確定。

整體三角形平面構件轉動R′(S1S2)的連線S1S2與動平臺上的R4副軸線平行時，即使給定驅動副輸入P3與P4，動平臺1的運動也不能完全確定。因此，P3與P4所在的導軌應與P1與P2所在的導軌不平行；反之，應使P3S1與P4S2的長度取不同值。

顯然，實際上，第2回路應為平面機構{P3-S1-Po-S2-P4}，其中，3-DOF球副S3可用1-DOF轉動副替代(S3的其余2個DOF均為消極自由度)；而3-DOF球副S1、S2各相當于2-DOF的虎克鉸，即一個是繞三角形S1S2S3平面法線的轉動；另一個是繞連線S1S2的轉動，但它僅對第3回路有作用，對第2回路來說，它是局部自由度，不應計入(其余的1個DOF為消極自由度)。

第2回路的獨立位移方程數(shù)為ξL2=6，由式(3)可得其自由度為

FL2=8-6=2

第3回路由R3‖R4-S4-R′(S1S2)組成，記為{R3‖R4-S4-R′(S1S2)}，顯然，ξL3=6。

由式(3)可得，該機構自由度為

可見，機構的自由度仍為4。因此，當靜平臺0上的4個移動副P1、P2、P3、P4為主動副時，動平臺1仍可實現(xiàn)3個移動和1個轉動的運動輸出。

1.3.3耦合度計算

1.3.2節(jié)已計算出了3個回路的獨立位移方程數(shù)，分別為ξL1=3，ξL2=ξL3=6，由式(5)得，它們的約束度分別為

因此，上述3個回路分別構成該機構的3個SKC，即SKC1、SKC2、SKC3，它們耦合度分別為k1=k2=k3=0，因此，該機構的符號式位置正解，可依次通過3個SKC位置的獨立求解而求出。

同時，因驅動副P1、P2位于SKC1，而驅動副P3、P4位于SKC2，因此，機構具有的部分運動解耦性不變。

2 拓撲優(yōu)化機構位置分析

2.1 基于拓撲特征的機構位置正解求解原理

由基于有序單開鏈的機構組成原理可知，機構可分解為若干個SKC，而每個SKC又可分解出約束度為正值、零、負值3種形式的單開鏈，因此，機構位置正解的求解，可轉換為3種單開鏈回路的位置求解。對于本機構而言，3個SKC的耦合度均為零，即所有單開鏈的約束度為零，其運動具有確定性，即其位置正解能獨立求出，因此，可直接求出其符號式解，從而求出整個機構的符號式位置正解。

2.2 機構坐標系建立和參數(shù)標注

建立機構的運動學模型如圖5a所示，在靜平臺0上建立靜坐標系OXYZ，且點O位于移動副P1、P2所在導軌的中點，X軸與導軌所在直線重合，Y軸與導軌所在直線垂直，Z軸由右手法則確定。

在動平臺1上建立動坐標系O′X′Y′Z′。O′位于直線D2C4的中點，X′與直線D2C4垂直，Y′沿著直線D2C4方向，Z′由右手法則確定；動平臺1的姿態(tài)角γ如圖5b所示，即為Z軸正向和Z′軸正向之間的夾角。

該機構參數(shù)為：靜平臺0上兩導軌之間的距離為a1，動平臺D2C4的長度為a2，主動桿長A1B1=A2B2=A4B4=l1，A3B3=l7；平行四邊形Pa副短邊長度為2l2，長邊長度為l3，C1D1長度為2l2，C2D1長度為l2，D1D2長度為l4，B4C3長度為l5，C3C4長度為l6，B3C3長度為l8。

設4個移動副與原點O在X軸方向上的距離分別為h1、h2、h3、h4，并且為方便計算，將B4C3與C4C3的夾角設為180°，即點B3、C3、C4在一條直線上。

2.3 機構正解求解

機構位置正解求解為：已知h1、h2、h3、h4，求動平臺O′位置(x,y,z)及姿態(tài)角γ。

2.3.1SKC1的位置求解

圖5的回路{A1-B1-C1-D1-C2-B2-A2}(即第1回路{P1-Pa-R2-R1-P2})中，易知A1=(h1,0,0)、A2=(h2,0,0)、B1=(h1,0,l1)、B2=(h2,0,l1)。

由機構拓撲結構可知：在X軸方向上，有XD2=XD1=XC4=x。

由1.2節(jié)可知，第1回路的運動為XOZ平面內的兩維平移，則C1與C2的坐標分別為C1(XD1-2l2,0,ZD1)、C2(XD1+l2,0,ZD1)。

由幾何約束條件B1C1=B2C2=l3，并求得：當h2-h1≠3l2時，點D1的坐標為

(7)

其中，ZD1舍去一值，因為會發(fā)生干涉。當h2-h1=3l2時，子并聯(lián)機構發(fā)生奇異，失去Z軸方向的自由度，如圖6所示。

2.3.2SKC2、SKC3的位置求解

對BKC2而言，即在第2回路{P3-S1-Po-S2-P4}(在A3-B3-B4-A4)中，易知，A3=(h3,a1,0)；A4=(h4,a1,0)；B3=(h3,a1,l7)；B4=(h4,a1,l1)。

由2個桿長約束條件B3C3=l8，B4C3=l5，解得

(8)

其中N=2(ZB3-ZB4)

由B4、C3、C4在同一直線，求得點C4坐標為

(9)

對SKC3而言，即在第3回路由R3‖R4-S4-R′(S1S2)(D1-D2-C4)中，由2個桿長條件D2C4=a2，D2D1=l4，可得點D2坐標為

其中

因此，動平臺上O′的坐標為

(10)

此時，轉角γ為

(11)

因此，該機構具有輸入-輸出部分解耦性。

2.4 位置逆解求解

已知動平臺O′的坐標(x，y，z)以及姿態(tài)角γ，求解驅動副的行程h1、h2、h3、h4。

由桿長約束D2D1=l4可得

因此，點C1、C2的坐標分別為C1(x-2l2, 0,ZD1)、C2(x+l2, 0,ZD1)。

在SKC1中，由2個桿長約束B1C1=B2C2=l3，可求得移動副P1、P2的行程為

(12)

在BKC2中，易由點C4的坐標、式(9)求得點C3的坐標。

進一步，由2個桿長約束B3C3=l8，B4C3=l5，可求得P3、P4的行程h3、h4分別為

(13)

2.5 正逆解驗證

設并聯(lián)機構結構參數(shù)為l1=10 mm，l2=10 mm，l3=60 mm，l4=30 mm，l5=70 mm，l6=20 mm，l7=15 mm，l8=80 mm，a1=80 mm，a2=50 mm；取4個移動副的輸入值分別為h1=-55.42 mm、h2=35.42 mm、h3=-49.46 mm、h4=19.01 mm

將上述參數(shù)代入式(7)～(11)，求得機構正解數(shù)值如表1所示。

表1 機構正解數(shù)值

將表1序號1數(shù)據(jù)代入式(12)、(13)，可得4組逆解，如表2所示。

表2 機構逆解數(shù)值

易知，表2中的第1組數(shù)據(jù)與機構設定的4個輸入值一致，故驗證了機構正逆解公式的正確性。

3 奇異位置分析

3.1 奇異性分析原理

Jpv=Jqw

(14)

其中

3.2 奇異性分析

當機構發(fā)生輸入奇異時，機構的執(zhí)行構件將失去某一方向的運動能力，一般發(fā)生此種情況是因為某個運動鏈達到了工作空間的邊界。

此時，det(Jq)=0，從而得到矩陣Jq的行列式解的集合為

w={w1∪w2∪w3∪w4}

其中，wi={XCi=XBi}(i=1,2,3,4)，即點Ci與點Bi的X軸坐標相等；滿足條件w1的三維CAD構型如圖7所示。

當det(Jp)=0時，機構發(fā)生輸出奇異，此時，當所有的主動件鎖住時，機構仍可以產(chǎn)生局部運動，從而使輸出產(chǎn)生不確定性。設

Jp=[e1e2e3e4]

為使det(Jp=0)，則有以下3種情況：

(1)存在2個向量線性相關

設ke1=e2(即e1、e2線性相關)，即滿足k[f11f12f13f14]=[f21f22f23f24]，則能求出

即當B1C1‖B2C2時，表示2個向量線性相關，其中一位形如圖8所示。

(2)存在3個向量線性相關

設e3=k1e1+k2e2，此時有

[f31f32f33f34]=k1[f11f12f13f14]+k2[f21f22f23f24]

通過Matlab計算表明，該種情況下，k1、k2無法算出，因此，此種情況不存在。

(3)綜合奇異

此時，det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發(fā)生。這種奇異位形只有當上述第一、二類奇異同時發(fā)生時才會產(chǎn)生，此時，機構將失去原有的運動特性。

上述奇異性的分析，有利于樣機調試時易于避開奇異位置，并進行軌跡規(guī)劃與運動控制。

4 機構工作空間分析

并聯(lián)機構的可達工作空間是指在考慮運動副轉角范圍、桿長不干涉情況下末端執(zhí)行器的工作區(qū)域，它是衡量并聯(lián)機器人性能的一個重要指標。目前，絕大多數(shù)學者基于位置逆解進行工作空間分析，該方法計算編程復雜、計算量大。本文提出基于符號式位置正解的工作空間分析方法，該方法計算簡易、計算量小。

4.1 基于位置逆解的工作空間

基于極限邊界搜索法的機構工作空間分析方法是：首先，根據(jù)桿長及大致的運動范圍，估計設定包含工作空間在內的一個搜索范圍(略大于桿件的活動范圍即可)。

本文取-50 mm≤x≤50 mm、-50 mm≤y≤50 mm、30 mm≤z≤130 mm；然后，對逆解式(12)、(13)，用Matlab軟件編程，得到該機構的三維工作空間，如圖9所示。

其在xoy、yoz、xoz平面上的投影，如圖10所示。

4.2 基于符號式位置正解的工作空間

因該優(yōu)化機構具有符號式位置正解，可直接采用位置正解來計算工作空間，計算量更少、計算更準確。因此，對正解式(7)～(11)，用Matlab軟件編程，直接求得該機構的工作空間，如圖11所示。

取相同參數(shù)，其在xoy、yoz、xoz平面上的投影，如圖12所示。

4.3 工作空間分析

由圖9、11可知，用2種方法求得的工作空間一致；同一參量的(z，x，y)下，所對應的工作空間截面(xoy、yoz、xoz)大小基本相同。

用位置正解公式計算工作空間，較簡單，計算量減少大約50%。

隨著x軸向變化，工作空間變得越來越小，工作空間對于y軸的對稱性較好。

5 結論

(1)3T1R并聯(lián)機構僅由移動副和轉動副組成，有利于制造和安裝；該機構耦合度k=0，具有正向位置符號解，有利于誤差分析、尺度綜合、剛度分析及動力學研究等；該機構具有部分輸入-輸出運動解耦性，有利于機構的軌跡規(guī)劃及運動控制；該機構操作工作空間大。

(2)利用基于拓撲特征的運動學建模原理，建立了該優(yōu)化機構位置正解的求解模型，求解出其符號式的位置正解。

(3)基于導出的雅可比矩陣分析了該機構的奇異性，同時采用基于位置逆解、位置正解兩種方法進行工作空間分析，研究表明，該機構的工作空間對稱性好，且工作空間較大。

(4)對具有符號式位置正解的并聯(lián)機構宜直接采用位置正解計算工作空間，這樣計算量更少、計算更為精確。