采用低成本直流電機(jī)的電腦鼠動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模*

王貞炎，徐 琛，尹 仕

（華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，武漢 430074）

0 引言

電腦鼠走迷宮競賽是一項(xiàng)融合了多學(xué)科知識(shí)和實(shí)踐技能，富有競技性和挑戰(zhàn)性的機(jī)器人競賽項(xiàng)目。自1979年IEEE舉辦首屆迷宮機(jī)器人競賽以來，每年一次比賽，迄今已有40多年[1－3]。近年來，隨著我國智能化建設(shè)的不斷推進(jìn)，機(jī)器人和人工智能技術(shù)迅猛發(fā)展，作為微型智能移動(dòng)機(jī)器人的典型代表，電腦鼠涉及到運(yùn)動(dòng)控制、路徑規(guī)劃、動(dòng)態(tài)決策、傳感器與測(cè)試、人工智能等多項(xiàng)前沿技術(shù)，其影響力逐步“破圈”，相關(guān)研究和應(yīng)用的重要價(jià)值進(jìn)一步凸顯[4－5]。

傳統(tǒng)電腦鼠的研究和設(shè)計(jì)多以競賽為目標(biāo)，為追求高運(yùn)動(dòng)性能和控制精度，通常選配的元件都比較高端。電機(jī)是電腦鼠動(dòng)力系統(tǒng)中的核心部分，是影響電腦鼠速度的關(guān)鍵因素。一流電機(jī)制造商（如Faulhaber、Maxon 等）的每一款直流電機(jī)都會(huì)配有詳盡的數(shù)據(jù)手冊(cè)，提供足夠的電機(jī)參數(shù)以供系統(tǒng)控制，因此目前電腦鼠的設(shè)計(jì)和研究采用的直流電機(jī)基本都是這類[6－7]。而市面上大多數(shù)普通的直流電機(jī)則因?yàn)槿狈唧w的動(dòng)力學(xué)參數(shù)和模型，通常被排除在電腦鼠的元件選型考量之外。這些高端直流電機(jī)單個(gè)基本都在千元以上，電腦鼠一般需要配左右2 個(gè)電機(jī)，僅電機(jī)成本就在2 000 元以上。高昂的成本門檻，限制了其群體受眾面。目前電腦鼠在推出多年來仍相對(duì)小眾。

本文從電腦鼠硬件的成本大頭——直流電機(jī)著手，采用市面上低成本的普通空心杯直流永磁電機(jī)，通過計(jì)算推導(dǎo)結(jié)合反復(fù)實(shí)驗(yàn)的方式獲得通用的電機(jī)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)，并由此推導(dǎo)了基于兩輪轉(zhuǎn)速的電腦鼠動(dòng)力微分方程組，構(gòu)建了電腦鼠動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的仿真模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)其動(dòng)力學(xué)模型狀態(tài)空間的有效描述。采用此動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型結(jié)合卡爾曼濾波和LQR控制器等進(jìn)行系統(tǒng)控制，可以以不到原電機(jī)1/5 的價(jià)格，達(dá)到高水平競賽的性能需求（最大運(yùn)行速度和加速度達(dá)2 m/s和10 m/s2以上）。在保留經(jīng)典電腦鼠的競技性和挑戰(zhàn)性的基礎(chǔ)上，極大地降低了迷宮機(jī)器人學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用的門檻，有效增強(qiáng)了其推廣性。

1 電機(jī)選型和參數(shù)測(cè)算

1.1 直流永磁電機(jī)模型

電機(jī)是電腦鼠運(yùn)動(dòng)的核心元件。在電腦鼠中，通常使用空心杯結(jié)構(gòu)的永磁直流電動(dòng)機(jī)，圖1 所示為空心杯電機(jī)結(jié)構(gòu)。所謂“空心杯”是指其轉(zhuǎn)子繞組沒有鐵心，僅使用線圈和黏接劑形成一個(gè)堅(jiān)固的杯狀轉(zhuǎn)子。

圖1 空心杯電機(jī)結(jié)構(gòu)

空心杯電機(jī)的轉(zhuǎn)子質(zhì)量小、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、線圈電感也小，響應(yīng)較鐵心轉(zhuǎn)子的直流電機(jī)快。

本文電機(jī)采用市售玩具四旋翼飛行器采用的微型空心杯有刷直流永磁電機(jī)，為外空心線圈轉(zhuǎn)子，內(nèi)稀土永磁定子結(jié)構(gòu)，慣量小、轉(zhuǎn)速高、成本極低，雖壽命不高，但用于研究、教學(xué)和競賽足矣，且可以作為易耗品適時(shí)更換。主要缺點(diǎn)是參數(shù)無法查證，本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)測(cè)算獲取到足夠用于動(dòng)力系統(tǒng)建模的參數(shù)。

根據(jù)直流永磁電機(jī)模型[8－9]：

式中：u、i、ω、τ分別為輸入電壓、線圈中的電流、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、輸出扭矩，均為時(shí)間的函數(shù)。繞線電阻R、繞線電感L、反向電動(dòng)勢(shì)常數(shù)Ke、扭矩常數(shù)Km、轉(zhuǎn)子阻尼D、轉(zhuǎn)子慣量J為描述一個(gè)永磁直流電機(jī)特性的6個(gè)重要常量。

搭建直流電機(jī)信號(hào)流模型如圖2 所示。這個(gè)模型使用輸入電壓和轉(zhuǎn)子角加速度作為輸入，使用線圈電流和輸出扭矩作為輸出，在Matlab Simulink 模型仿真中，可以在扭矩輸出外增加傳動(dòng)輪轂和質(zhì)量等部分，然后反饋回角加速度，構(gòu)成整體。

圖2 直流電機(jī)信號(hào)流模型

一流電機(jī)制造商（如Faulhaber、Maxon 等）的每一款電機(jī)都會(huì)配有詳盡的數(shù)據(jù)手冊(cè)，會(huì)提供這些參數(shù)。而市面上大多數(shù)電機(jī)并不會(huì)明確告知用戶這幾個(gè)參數(shù)，因此需要進(jìn)行測(cè)算。

1.2 參數(shù)測(cè)算

R和L可以直接測(cè)量得到。使用萬用表電阻擋直接測(cè)量繞組直流電阻R，使用RCL電橋直接測(cè)量繞組電感L，測(cè)量時(shí)注意旋動(dòng)一下轉(zhuǎn)子，避免換向器處在換向間隙處，測(cè)得電阻和電感偏小。

反向電動(dòng)勢(shì)常數(shù)Ke、扭矩常數(shù)Km和轉(zhuǎn)子阻尼D 可通過給電機(jī)施加額定電壓U0，空載測(cè)量轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時(shí)的電流I0轉(zhuǎn)速ω0得到。此時(shí)，根據(jù)式（1）有：

理想情況下，扭矩常數(shù)Km＝Ke（國際單位制下），初步建模仿真時(shí)可取兩者相等。空載穩(wěn)速旋轉(zhuǎn)時(shí)，式（2）中因而：

轉(zhuǎn)子慣量J、繞組電感L和轉(zhuǎn)子阻尼D相對(duì)整個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的慣量（車體質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）和阻尼（車體平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼）非常微小，實(shí)際仿真和應(yīng)用中可忽略。

1.3 電機(jī)選型

高水平的競賽中，電腦鼠的最大運(yùn)行速度和加速度可達(dá)2 m/s和10 m/s2以上。以此為基準(zhǔn)，在3.7 V系統(tǒng)供電下，如果要在2 m/s時(shí)達(dá)到10 m/s2最大加速度，設(shè)此時(shí)電機(jī)的輸出扭矩為τ1，電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)速為ω1，繞組電流為i1，忽略繞組電感和轉(zhuǎn)子慣量，根據(jù)式（1）有：

根據(jù)電腦鼠質(zhì)量m、輪轂半徑r 和齒輪減速比λ（如表2所示），有：

根據(jù)式（6）～（7）及多次采購測(cè)算，最終采用的電機(jī)參數(shù)如表1所示，為某品牌型號(hào)為K120的航模直升機(jī)的尾旋翼電機(jī)。根據(jù)式（6），其在2 m/s 運(yùn)行時(shí)，輸出扭矩τ1≈3.55 mN·m，堵轉(zhuǎn)時(shí)，短時(shí)輸出扭矩可達(dá)τstall≈4.3 mN·m 。因繞組電阻較小，電機(jī)的電流受電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路的1.8 A限制，實(shí)際最大輸出扭矩為τmax≈Km×1.8－D·899 ≈1.22 mN·m，大于要產(chǎn)生10 m/s2加速度所需的1.13 mN·m。

表1 電機(jī)的主要參數(shù)

2 動(dòng)力學(xué)模型

記電腦鼠線性位移為x，航向角為ψ（定義俯視逆時(shí)針為正），左右兩輪距離為W，可知電腦鼠兩電機(jī)轉(zhuǎn)速和兩輪的轉(zhuǎn)速與它們的關(guān)系：

式中：λ 為傳動(dòng)比，定義為電機(jī)軸轉(zhuǎn)速和輪轂轉(zhuǎn)速之比；r為輪胎半徑；R為左側(cè)，L為右側(cè)。

電機(jī)輸出的扭矩經(jīng)過傳動(dòng)齒輪傳遞到輪轂，地面對(duì)電腦鼠的推力即輪胎對(duì)地面的推力：

考慮輪轂和輪胎的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JW，式（9）修正為：

如果電腦鼠總質(zhì)量為m，平動(dòng)阻尼為b，則：

式中：x為電腦鼠平動(dòng)位移[10]。

如果電腦鼠轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j，轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼為d，則：

式（1）、（8）、（10）、（11）、（12）共同組成了電腦鼠的整個(gè)動(dòng)力微分方程組。基于此，搭建整個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)流模型如圖3 所示。其中，MotorR 和MotorL 為圖2 所示的電機(jī)模型。

在Simulink 中，為上面的模型輸入幾個(gè)階躍信號(hào)，即從UR和UL輸入幾個(gè)突變的電壓，得到輸出的階躍響應(yīng)。如果圖2～3 中的參數(shù)如表2 所示，則可以仿真得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖4所示。

圖4 線迷宮鼠模型的階躍響應(yīng)

表2 線迷宮鼠動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)表

3 動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)空間

這里使用狀態(tài)空間模型來描述系統(tǒng)，如圖5所示。

圖5 電腦鼠動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

以車體位移、速度、航向角和角速度為系統(tǒng)狀態(tài)，以右左2個(gè)電機(jī)的激勵(lì)電壓為系統(tǒng)輸入，則：

式中：u的下標(biāo)1、2分別為右電機(jī)、左電機(jī)，下同。

根據(jù)直流電機(jī)的模型有關(guān)于2個(gè)電機(jī)的微分方程：

根據(jù)電機(jī)輸出扭矩τ1,2與車體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系有：

其中：

分別為右左輪胎凈輸出扭矩。

根據(jù)電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)速與車體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系有：

忽略J、L和D，整理式（13）～（14）和式（16）可得：

其中：

其可控性矩陣和觀測(cè)矩陣均滿秩，系統(tǒng)可控可觀測(cè)。

基于此狀態(tài)空間模型可進(jìn)行電腦鼠控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。所在團(tuán)隊(duì)研發(fā)的Tiva－C 線迷宮鼠產(chǎn)品即是采用上述模型，控制采用卡爾曼濾波結(jié)合LQR控制器[11－12]方案。通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試，獲得電腦鼠運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)如表3所示，與傳統(tǒng)電腦鼠對(duì)比，運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)能夠保持在同一水平。由于本文主體內(nèi)容在電機(jī)及電腦鼠動(dòng)力系統(tǒng)參數(shù)和模型的設(shè)計(jì)研究，同時(shí)也受篇幅限制，電腦鼠的控制算法不在本文詳細(xì)展開。

表3 電腦鼠的運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)

4 結(jié)束語

本文采用市面上極低成本的空心杯永磁直流微型電機(jī)，構(gòu)建了電腦鼠動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的仿真模型和狀態(tài)空間模型，為電腦鼠的精準(zhǔn)控制奠定了基礎(chǔ)。基于本文提出的方案和模型，本團(tuán)隊(duì)研發(fā)的Tiva－C 線迷宮鼠產(chǎn)品，采用文中所述空心杯永磁直流微型電機(jī)結(jié)合簡易編碼器和加速度傳感器，成本不到400 元，遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)電腦鼠動(dòng)輒2 000 元以上的電機(jī)（含編碼器）成本。因其性能優(yōu)越、性價(jià)比高、通用性強(qiáng)，非常適合學(xué)校、科研機(jī)構(gòu)、相關(guān)企業(yè)等組織學(xué)習(xí)、研究、比賽。尤其其集技術(shù)性、挑戰(zhàn)性和趣味性于一體，融合多學(xué)科知識(shí)，是在高校開展工程實(shí)踐創(chuàng)新教育的極好載體，有利于培養(yǎng)新一代科技人才。目前所在團(tuán)隊(duì)開發(fā)的Tiva－C 線迷宮鼠已經(jīng)獲得美國德州儀器（Texas Instruments,TI）公司中國大學(xué)計(jì)劃部批量采購，具有較高的推廣應(yīng)用價(jià)值。