磁懸浮高速電機轉子非線性低頻振動機理研究

紀歷，普月，陳震民，魏凱龍

(1.河海大學 能源與電氣學院，南京 210098；2.浙江中源磁懸浮技術有限公司，杭州 310011)

0 引 言

磁懸浮高速電機，即磁懸浮軸承支撐的高速電機的轉速高達10 000 r/min以上，可以直接與高速原動機或工作機相連，從而取消了原有的增速/減速機構，大幅提高設備效率。同時，其具有很高的功率密度，體積遠小于同等功率的常規電機，能夠有效的節約材料。此外，磁懸浮軸承使定轉子之間無接觸、無摩擦，不需要潤滑系統，可降低維護成本并延長電機壽命。使用磁懸浮高速電機替代高速透平機械(如鼓風機、壓縮機、燃氣輪機等)中的常規驅動電機或發電機，開發“直驅式”的結構能夠提升設備效率10～15%，具有重大的經濟價值，對于發展我國高端制造業以及提倡低碳環保的國家政策都具有重要意義[1-4]。

磁懸浮轉子在高速旋轉時由于質量不平衡力的激勵將產生較大的同頻振動[5]，大量的文獻針對這一現象進行了研究，并提出了抑制同頻振動的補償方法[6-10]。然而，在實際設備運行中，磁懸浮轉子在高速旋轉時除了與轉速同頻的振動外，常伴隨有與轉速及轉子固有頻率無關的低頻振動。文獻[11]認為該低頻振動由磁懸浮系統中的非線性引發，文中認為非線性將會使得低頻增益下降，導致系統不穩定。針對磁懸浮系統的非線性振動問題，文獻[12]研究了非線性電磁力作用下，幾何耦合參數對磁軸承柔性轉子運動的影響。文獻[13]考慮渦流效應對電磁力的影響，建立磁懸浮轉子的動力學模型，分析轉子的頻率響應。文獻[14-15]對磁懸浮軸承的分岔行為進行了分析，研究了系統中存在的分岔、跳躍、多值響應和較大的初值敏感性。

本文針對磁懸浮轉子高速旋轉時出現低頻振動的現象進行研究。建立了磁懸浮控制系統各環節的非線性模型，分析了其導致低頻振動的機理，并基于描述函數及擴展奈奎斯特判據方法分析了含有非線性環節的磁懸浮系統的穩定性。文中通過仿真與試驗對得出的結論進行了驗證，所得結論能夠為磁懸浮技術在高速電機中的應用提供理論依據。

1 磁懸浮轉子系統的數學模型

在磁懸浮系統的控制中，通常將各個環節簡化為線性系統進行分析，其線性化后的控制框圖如圖1所示。

圖1 磁懸浮轉子線性化控制系統的控制框圖Fig.1 Linear model of maglev stator-rotor control system

圖中磁懸浮控制系統主要由控制器、功率放大器、磁懸浮轉子、位移傳感器4個部分組成，其中Gc(s)為控制器，在磁懸浮電機的工業應用中最為常用的是PID控制器，PID是一種經典的線性控制方法，其數學模型為

(1)

式中：KP、KI、KD表示比例、積分、微分系數，Tf為不完全微分環節的時間常數，用來濾除信號中的噪聲，避免微分環節過度放大系統中的噪聲。

磁懸浮控制中通常采用開關功率放大器[16]實現對勵磁電流的控制，開關功率放大器是典型的非線性設備，其工作過程會引入大量的高次諧波。但由于勵磁線圈及磁懸浮轉子系統本身具有較大慣性，高頻諧波電流對系統影響較小，因此在設計控制系統時通常將其簡化為一個線性的增益KA。

磁懸浮轉子是系統中的被控對象，可根據磁懸浮軸承-轉子的結構推導出懸浮力與勵磁電流及轉子位移間的關系從而得到其數學模型，由于電磁力的非線性及結構上的耦合，磁懸浮轉子是一個高階的非線性系統，但對于剛性轉子通常將其簡化為一個SISO的線性模型，即

(2)

式中：m為轉子單端的等效質量；Ki為電流剛度；Kx為位移剛度。

轉子的振動量由傳感器檢測并轉換為電壓信號用于反饋控制，該環節用增益Ks來表示，通常情況下傳感器及其檢測電路帶有低通濾波器，可以由一個一階慣性環節來描述。

從以上的模型中可以看出，在磁懸浮控制系統當中，非線性主要由開關功率放大器及磁懸浮軸承-轉子系統引入，此外由于功率放大器的輸出能力有限，在控制系統當中需要加入限幅環節，限制輸出電流的大小，這也導致非線性的因素之一，主要從這3個方面進行分析。

1.1 功率放大器的數學模型

磁懸浮控制系統中最為常用的功率放大器是基于H橋的三電平變換器[16]。其主電路拓撲結構如圖2(a)所示，其中主電路由電壓源E、開關管S1～S4及負載組成。S1(S2)與S3(S4)互補導通，其負載等效為L和R串聯的形式。根據S1～S4不同的開關情況，該變換器有3種工作狀態：

圖2 H橋三電平變換器拓撲結構及開關時序Fig.2 Topology diagram and timing diagram of H bridge three level converter

狀態1：開關S1與S4導通，S2與S3關斷，此時變換器輸出電壓E，負載電流上升；

狀態2：開關S2與S3導通，S1與S4關斷，此時變換器輸出電壓-E，負載電流下降；

狀態3：開關S1與S2導通，S3與S4關斷或開關S3與S4導通，S1與S2關斷，此時變換器輸出電壓為零，負載電流通過開關管與二極管續流。

變換器在每一個控制周期中包含兩種開關狀態，以輸出正電壓，負載電流上升過程為例。其調制原理如圖2(b)所示，圖中uT+、uT-為一組幅值與頻率相同、相位相反的三角載波，uin為控制器輸入的控制信號，ug1、ug4分別表示開關管S1與S4的驅動信號。

控制信號uin分別與兩個三角波進行比較，當uin大于uT+時ug1輸出高電平S1開通，當uin大于uT-時ug4輸出高電平S4開通，反之S1、S4關斷。根據圖2(a)主電路結構以及圖2(b)中的開關時序圖，此時變換器包含狀態1與狀態3兩種開關狀態，對負載輸出等效的正向PWM電壓。將控制信號與載波信號做歸一化處理，即uTmax=1、uTmin=-1、uin∈[-1,1]、占空比d=|uin|，則可以推導出該H橋變換器的輸出模型如下：

(3)

基于H橋變換器設計電流環控制電路，其原理通過互感器檢測勵磁電流，并與參考電流做差，該差值通過比例積分控制器產生控制信號經PWM調制和驅動電路控制H橋變換器中4個功率管的通斷，輸出適當的電壓使負載電流跟蹤參考電流，其控制框圖如圖3所示。

圖3 功放電流環控制系統結構圖Fig.3 Current loop control system structure

圖中：KV為變換器的等效電壓放大倍數；Km=1/R，β為電流反饋系數；Tli=L/R為負載的時間常數；Ti為數字延時等效的小慣性環節時間常數，其中Ti=1/f，f為變換器的工作頻率。電流環采用PI調節器進行校正，KP、γi分別為電流調節器比例系數、積分時間常數。

通過圖3系統可以推導出功率放大器的數學模型，相比圖1中用KA來等效功放環節有更高的準確性，更進一步用式(3)替代等效電壓放大倍數KV，則可以得到功放的非線性模型。

1.2 磁懸浮軸承-轉子系統的數學模型

圖4展示了典型的8極電磁式磁懸浮軸承-轉子的截面示意圖，其中x、y方向各有一對差分的電磁鐵控制轉子在一個平面內的運動。

圖4 磁懸浮軸承-轉子截面示意圖Fig.4 Cross-section of the magnetic levitation stator-rotor

如圖所示，8個磁極向轉子施加的電磁力沿法線方向向外，忽略鐵磁材料的磁阻，其幅值為

(4)

式中：μ0為真空磁導率；A為每個磁極的面積；N為每個電磁鐵線圈的匝數；I為線圈中的電流；δ表示磁極與轉子之間的氣隙。其中每個勵磁線圈中的電流及每個氣隙的大小如下：

(5)

(6)

式中δ0與I0為平衡位置的氣隙及磁懸浮軸承的偏置電流。

將式(5)、式(6)代入式(4)得到每個磁極對轉子的電磁力，并根據圖4中的結構與磁懸浮系統的工作原理，得到轉子在x、y方向受到的合力為：

(7)

從式(7)可以看出，轉子受到的電磁力與勵磁電流及轉子位移呈非線性關系，且在x與y方向存在耦合。若將式(7)在平衡位置(x=0,y=0,ix=0,iy=0)處作泰勒展開，并略去二階以上小量得線性化后的電磁力表達式：

(8)

對比式(8)與式(7)可以看出，通過簡化，電磁力中非線性的部分及x與y方向的耦合完全被忽略，進一步可通過式(8)推導出式(2)的形式，得到線性化的磁懸浮軸承-轉子系統傳遞函數。

1.3 輸出限幅環節的數學模型

由于功率放大器的輸出能力有限，在實際系統中需要對控制器的輸出增加限幅環節，其原理如圖5所示。

圖5 功率放大器限幅環節原理示意圖Fig.5 Schematic diagram of the amplitude limiter

由于引入了限幅環節，當磁懸浮軸承控制電流超過最大閾值時，系統的輸入輸出將表現出一定的非線性，可以通過描述函數的方法建立該環節的數學模型。

當該環節的輸入為正弦信號i(t)=Asin(ωt)時，其輸出i′(t)為奇函數，且在四分之一個周期內對稱，其表達式為

(9)

對非線性環節的穩態輸出進行諧波分析，將其展開為傅里葉級數形式

(10)

其中：

由于限幅后輸出仍然為奇函數，所以An=0，而i′(t)又為半周期內對稱，故

(11)

忽略一次以上的諧波分量，可得限幅環節的非線性描述函數，表示為

(12)

考慮非線性因素后，磁懸浮控制系統可以變化為該非線性環節N(A)與原有部分串聯的形式。根據描述函數分析非線性系統穩定性的原理，若開環幅相曲線ΓG包圍-1/N(A)曲線，則對于非線性環節具有任一確定振幅A的正弦輸入信號，系統不穩定。因此，按照表1中的參數繪制系統的奈奎斯特曲線及非線性環節曲線，如圖6所示。

圖6 考慮限幅環節的磁懸浮系統穩定性判據Fig.6 Stability criteria for the nonlinear control system

表1 磁懸浮高速電機的主要參數Table 1 Parameters of the magnetic levitation motor

根據圖6以及擴展奈奎斯特判據的原理，開環幅相曲線ΓG與-1/N(A)曲線相交，且-1/N(A)曲線沿振幅A增加的方向由不穩定區域進入穩定區域。可以得出結論，當勵磁電流的幅值超過限幅范圍后，系統將發生自激振蕩，而振動頻率應在17 rad/s附近。

2 仿真分析

文中在MATLAB/Simulink中建立了磁懸浮控制系統的仿真模型，模型的主要參數如表1中所示。為驗證各非線性環節對低頻振動的影響，建立了如圖1所示的全線性化模型以及基于式(3)、式(7)的非線性模型，并對比了不同激勵下的轉子振動情況，如圖7、圖8所示。

圖7 勵磁電流未飽和時磁懸浮轉子振動波形及頻譜分析Fig.7 Simulation waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor without current saturation

仿真中，對磁懸浮控制系統施加一個頻率為430 Hz的激振力，首先驗證功率放大器及電磁力非線性對振動的影響，因此施加的激振力幅值較小，輸出電流未達到限幅閾值。圖7(a)、7(b)展示了線性模型及非線性模型中轉子振動的波形及其頻譜分析，可以看出，兩個模型的輸出結果中都只體現出了與轉速同頻的振動量，且振動的幅值基本相同。功率放大器及電磁力的非線性并未對轉子的振動產生較大的影響。

改變激振力的幅值，致使兩個模型的控制電流都出現飽和情況，得到的結果如圖8所示，其中圖8(a)為使用線性模型仿真時轉子振動的波形及其頻譜分析，圖8(b)為使用非線性模型的情況。

圖8 勵磁電流飽和時磁懸浮轉子振動波形及頻譜分析Fig.8 Simulation waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor with current saturation

從圖8的仿真波形中可以看出，在控制電流飽和的情況下，除了430 Hz的同頻振動量有所增大外，圖8(a)線性模型與圖8(b)非線性模型都出現了相同頻率(6.5 Hz)的低頻振動，其中非線性模型中該低頻振動的幅值大于線性化模型。通過以上兩個仿真(圖7與圖8)可以看出，限幅環節的引入及控制電流的飽和是導致磁懸浮轉子發生低頻振動的主要原因。

3 試驗研究

為驗證理論分析的正確性，文中以一臺100 kW的磁懸浮永磁電機(圖9)為對象進行了試驗研究。

圖9 100 kW磁懸浮高速電機Fig.9 100 kW high-speed magnetic levitation motor

對該磁懸浮電機進行升速試驗，隨著轉速的上升，轉子受到的不平衡力逐漸增大，導致控制電流隨之上升，至430 Hz時，控制電流飽和，此時轉子的振動波形如圖10所示。從圖中可以看出，除了與轉速同頻的振動外，轉子還表現出了較大的低頻振動，通過頻譜分析，該振動的頻率在5 Hz附近，試驗波形與仿真的結果十分接近。通過示波器讀出該通道轉子振動的峰峰值為880 mV，對應傳感器的靈敏度為20 000 V/m，此時轉子的振動量約為44 μm。

圖10 勵磁電流飽和時磁懸浮轉子試驗波形及頻譜分析Fig.10 Vibration waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor with current saturation

通過在轉子上配置不平衡質量的方法，將轉子的不平衡質量由167 mg修正到37.4 mg，調整不平衡力至一個較低的水平，后升速至430 Hz，此時控制電流未達到限幅閾值，對比轉子的振動波形如圖11所示。可以看出當控制電流未出現飽和時，磁懸浮轉子只表現出了與轉速同頻的振動，原先5 Hz附近的低頻振動完全消失，與仿真得到的結果基本相同。此時轉子波形的峰峰值為480 mV，對應振動量24 μm，遠小于出現低頻振動時的水平。

圖11 勵磁電流飽和時磁懸浮轉子試驗波形及頻譜分析Fig.11 Vibration waveforms &spectral analysis of magnetic suspension rotor without current saturation

4 結 論

本文研究了磁懸浮電機高速旋轉時出現低頻振動的現象及其產生機理。文中建立了磁懸浮系統各環節的非線性模型，并基于描述函數及擴展奈奎斯特判據方法分析了含有非線性環節的磁懸浮系統的穩定性，并通過試驗對理論分析的正確性進行了驗證。通過研究本文可以得到以下結論：

1)仿真及試驗證明，當磁懸浮電機高速旋轉時，除同頻振動外，轉子還有可能產生與轉速無關的低頻振動；

2)基于描述函數及擴展奈奎斯特判據方法證明當勵磁電流的幅值超過限幅范圍后，系統將發生低頻的自激振蕩；

3)仿真分析證明該低頻振動與系統中的非線性因素有關，其中控制電流飽和與限幅是導致該低頻振動的主要原因。