基于圖論的矩陣模型在管網水力計算的應用

呂思凱 李根

（1 南京科遠智慧科技集團股份有限公司 江蘇南京 211102 2 江蘇省熱工過程智能控制重點實驗室 江蘇南京 211102）

1 供熱管網水力計算的重要性

管網是輸送物料的主要設施，是工業領域物料流通的“血管”。其中熱水供熱管網尤其具有代表性，它連接著熱源與眾多用戶，需要將熱能有效、合理地輸送與分配。供熱管網具有延伸距離長、覆蓋范圍廣、分支結構復雜等特點。

流體在供熱管網中流動時，由于原有熱用戶的使用負荷不斷變動、新增熱用戶數量不斷增加，使某些管段的流量分配值無法很好地匹配設計要求，嚴重影響熱網的可用性與經濟性，同時也給熱源的正常生產運行產生不良的影響。為了使供熱管網更好地適應不同的相關因素的變化，始終保持良好的輸送質量，就需要對供熱管網進行水力工況分析，以判斷整個管網的可靠性與安全性。

由于供熱管網繁雜的結構特征，只依靠手工計算已經難以達到模擬計算的要求。隨著計算機技術及管網計算理論的快速發展，運用計算機進行供熱管網的水力計算模擬成為可能。以計算機為硬件基礎，以可靠的計算理論為指導思想，對大型供熱管網進行方案優化、可靠性推斷、經濟性分析對于國民經濟的可持續性發展、實現節能環保的目標具有十分重要的意義。

2 圖論在管網系統中的應用

圖論是數學的1 個分支，它以圖為研究對象。圖論中的圖是由多個確定的點及連接兩點的線所組成的結構，這種圖形通常用來表達某些對象之間某種確定的關聯，用點代表事物，用連接兩點的線表示相應兩個事物間具有這種關系［1］。

20 世紀70 年代，圖論研究隨著計算機技術的迭代更新，在各種領域的運用都得到了迅速的發展。將供熱管網抽象成各節點和管段的集合，利用圖論和矩陣方程將管網的結構關系數字化，是目前管網流體分析不可或缺的手段。在圖論中運用基爾霍夫定律研究流體管網就是1 個非常典型的應用。

在圖論中，管網的結構可以簡化成點與線所組成的線圖，某管網的模型如圖1 所示。

圖1 某管網模型

圖論的基本概念如下。

（1）節點：在流體網絡中，節點即管段的交點。有些節點只有介質流入或流出，稱之為邊界點。有些節點既有介質流入、也有介質流出，稱之為中間點。所有節點所組成的集合稱為V，圖1 中的V={v1，v2，v3，v4，v5，v6}，一般用N 表示節點數量。

（2）支路：各個節點之間的管段稱為分支，所有分支所組成的集合稱為E，圖1 中的E={e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7}，一般用M 表示支路數量。

（3）關聯矩陣：表示管網中各個節點流向與各支路拓撲關系，用N×M 階矩陣A=aij表示，其中i=1，2，…N，j=1，2…M［2］。

由圖1 可得到矩陣A。由于矩陣A 的秩是5，矩陣A 所對應的方程組中有1 個方程是多余的，因此，在進行運算時，需要去掉1 個行向量，得到滿秩矩陣，稱之為降階關聯矩陣Alow。

3 模型計算的相關定理

3.1 基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律表明：所有流入某節點的電流之和與所有流出這個節點的電流之和相等。或者，若流入某節點的電流為正值，流出這節點的電流為負值，則所有關聯這節點的電流的代數和為0［3］。

基爾霍夫電流定律同樣適用于管網流量的計算，以列向量q 表示各管段流量，以列向量Qlow表示各節點的凈流出量，用降階關聯矩陣Alow左乘流量向量q 可得到節點流量Qlow，此方程稱為節點流量方程，如式（1）～（3）。

3.2 基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律表明：在任何一個閉合的回路中，各部件上的電壓降低值的代數和與電動勢的代數和相等，即從某點開始圍繞回路1 圈后回到該點，各段電壓的代數和恒等于0，即∑U=0［3］。

與基爾霍夫電流定律相對應的是，基爾霍夫電壓定律同樣適用于管網壓力降的計算，以列向量Hlow表示各節點壓力，以列向量ΔH 表示各管段的壓降，用降階關聯矩的轉置矩陣AlowT左乘流量向量Hlow可得到節點流量ΔH，此方程稱為管段能量方程，如式（4）～（6）。

3.3 管段壓降方程

管段中流體的阻力即單位質量的流體的機械能的損失，產生機械能損失的原因是流體內部的黏性耗散。流體在直管段中的流動因摩擦和流出生成的渦流導致的機械能損失稱為直管阻力；流體通過各種管道附件因流通截面積變化、流動方向變化形成的大量旋渦而導致的機械能損失稱為局部阻力；因此，管道中流體的壓降等于直段的阻力與局部阻力的總和［4］，如式（7）～（9）。

式中：hf1為直管阻力；λ 為摩擦因子；L 為管段長度；D 為管道內徑；u 為流體平均流速；hf2為局部阻力；∑Ki為所有管件的管道阻力系數，與管件的結構特性有關。

將hf1、hf2相加后整理可得ΔH=S｜q｜q，其中ρ 為流體密度，在管網中實際水流方向與管段的取向不一致時，流量q 取絕對值可以算出壓力降為負，保證運算的一致性，如式（10）。

4 供熱管網水力計算模型的建立

將上述3 個方程聯立，采用節點方程法求解。對于已知的N 個節點，M 條管段的管網，結合霍爾基夫定律及供熱管網水力計算的基本理論，可得到如下通用的供熱管網數學模型，如式（11）。

式中：Alow為（N-1）×M 的降階關聯矩陣；AlowT為降階關聯矩陣的轉置矩陣；Qlow為節點流量列向量，Qlow=（Q1，Q2，Q3，…QN-1）T；q為管段流量列向量，q=（q1，q2，q3，…qM）T；ΔH 為管段壓降向量，ΔH=（ΔH1，ΔH2，ΔH3，…ΔHM）T；Hlow為節點壓力列向 量，Hlow=（H1，H2，H3，…HN-1）T，Hi為各節點相對于參考節點的壓力，Pa；S 為M×M 階阻力系數對角矩陣，S=diag（S1，S2，S3，…SM）；｜q｜為M×M 階管道流量絕對值對角矩陣，｜q｜=diag（｜q｜1，｜q｜2，｜q｜3，…｜q｜M）；Z為管段分支中兩節點的勢能差向量，Z=（Z1，Z2，H3，…HM）T；HP為管段中水泵的揚程向量，HP=（HP1，HP2，HP3，…HPM）T。

解節點方程時，節點流量連續性方程是以管道中的流量值為自變量，需要將其轉化成線性表達式，并且以節點壓力為自變量［5］。而在求解過程中，初始的節點壓力假設值肯定能滿足能量方程，但由此計算得出的管道流量通常不能滿足節點的流量方程。因此，在計算過程中，需要不斷迭代，修改節點壓力的數值，直至管道的流量可以達到設定的允許誤差范圍之內，認為滿足節點流量連續性方程。

5 結語

本文將圖論及電工學中的基爾霍夫定律運用到供熱管網的流體模擬計算中，建立了供熱管網水力計算的通用計算模型。在求解過程中，介質密度、動力粘度、普朗特數都會隨著管線的阻力變化，需要通過計算結果反過來修正計算輸入值，使輸入值與計算結果的誤差降到設定值，模型所聯立的方程組利用計算機編程來實現迭代求解。