圓周角定理應用的“兩融合”

劉家良

縱觀全國各地以圓為載體求角大小的中考試題，多以圓周角定理的應用為核心，并結合其他相關知識來考查，下面舉例介紹.

一、融合垂徑定理，轉化三量關系

過圓心且垂直于弦的直徑，是垂徑定理的條件，同圓中的弧、弧所對的弦及弧所對的圓心角這三個量中若有一組量相等，則其余兩組量分別相等.

例1（2020·湖北·荊門）如圖1，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，則∠BOC的度數為（ ）.

A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°

分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是可想到連接OA，得到∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理得∠AOC = 2∠APC=56°，進而得∠BOC的度數.

解：連接OA，如圖1. 在⊙O中，∵OC⊥AB，∴[AC] = [BC]，∴∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理，得∠AOC = 2∠APC=56°，∴∠BOC=56°. 故選D.

點評：通過垂徑定理和“三個量”的關系，就將所求角和已知角間接地轉化到同一條弧所對的圓心角和圓周角上了.

二、融合圓內接四邊形性質定理，求解內角大小

由圓內接四邊形想到其對角互補.

例2（2020·黑龍江·牡丹江）如圖2，四邊形ABCD內接于⊙O，連接BD. 若[AC] = [BC]，∠BDC=50°，則∠ADC的度數是（ ）.

A. 125° B. 130° C. 135° D. 140°

分析：由圓內接四邊形的性質可知，欲求∠ADC的度數，需求∠ABC的度數.由[AC] = [BC]，得∠ABC=∠CAB. 由“同弧所對的圓周角相等”得∠CAB = ∠BDC=50°，即∠ABC=50°.

解：連接AC，如圖2. ∵∠CAB，∠BDC都為[BC]所對圓周角，∴∠CAB =∠BDC=50°. ∵[AC] = [BC]，∴∠ABC=∠CAB=50°. ∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠ADC =180° - ∠ABC = 130°.

故選B.

點評：由“四邊形ABCD內接于⊙O”想到四邊形ABCD對角互補，從而可知欲求∠ADC的度數需求∠ABC的度數是解題的關鍵.