設計幾何模型優(yōu)化解決問題

陳建國

中考中經常會出現一些有一定難度的幾何問題，很多同學對此常常感到束手無策.此時若能設計出一些常見解題模型，往往能出奇制勝.現舉例說明.

策略一、通過設計直角三角形優(yōu)化解決問題

例1 如圖1，點A，B，C在正方形網格的格點上，則sin∠BAC等于（ ）.

A. [26] B. [2626] C. [2613] D. [1313]

[C][B][A][ ] [C][B][A][ ] [D]

圖1 ? ? ? ? ? 圖2

解析：如圖2，過點B作BD⊥AC于D，∴∠ADB = 90°.

設網格中每個小正方形邊長為1，則可得AB =[13]，由面積法可得BD = [22]，根據勾股定理可得sin∠BAC = [BDAB] = [2213] = [2626].

故選B.

點評：設計含∠BAC的直角三角形是解決本題的關鍵.

策略二、通過設計圓優(yōu)化解決問題

例2 如圖3，在邊長為2[3]的菱形ABCD中，∠C=60°，點E，F分別是AB，AD上的動點，且AE=DF，DE與BF交于點P. 當點E從點A運動到點B時，點P的運動路徑長為 .

[B][E][A][P][F][D][C][E] [A] [B][O][P][F][D][C]

圖3 圖4

解析：如圖4，連接BD，易得△ABD為等邊三角形. ∴DB = AD = [23]，∠A = ∠BDF=60°，又∵AE = DF，∴△ADE ≌△DBF，∴∠ADE = ∠DBF，∴∠BPD = ∠BFD + ∠ADE = ∠BFD + ∠DBF=120°，∴∠C + ∠BPD = 180°，∴C，B，P，D四點共圓，∴點P的運動路徑即為☉O上劣弧BD的長.? 易得弧BD所對圓心角∠BOD=120°以及圓的半徑為2，則可求出劣弧BD的長為[4π3].

故填[4π3].

點評：設計定圓⊙O是解決本題的關鍵.

策略三、通過設計相似三角形優(yōu)化解決問題

例3 如圖5，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 3，以點C為圓心作⊙C與直線BD相切，P是⊙C上一個動點，連接AP交BD于點T，求[APAT]的最大值.

[P][D][E][T][A][B][C][E'][P'] [P][D][T][A][B][C][F] 圖5 圖6

解析：∵[APAT=PT+ATAT=PTAT+1]，∴要求[APAT]的最大值，可以先求[PTAT]的最大值. 如圖6，作PE⊥BD于E，AF⊥BD于F，易得△PET ∽△AFT，[∴PTAT=PEAF]. ∵AF=[3×45=125]，∴當PE取最大值時，[PTAT]取最大值.

由⊙C與直線BD相切于點E'，可想到連接CE'，延長E'C交⊙C于點P'，則P'E'即為PE的最大值，為[245]，∴[PTAT]的最大值 = [P'E'AF] = 2，∴[APAT]的最大值 = 3.

點評：設計“X”型相似三角形，把求[APAT]的最大值轉化為求線段PE的最大值是解決本題的突破口.

設計幾何模型，可以優(yōu)化問題解決. 希望同學們在日常學習中及時歸納、總結，不斷提高自己解決問題的能力.

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級中學）