復雜應力狀態下金屬材料屈服模型及有限元驗證

劉彥杰，李明強，楊衛平

（航空工業第一飛機設計研究院強度設計研究所，西安710089）

0 引 言

金屬延性斷裂是飛行器金屬實體類結構，例如接頭、加強框等結構，最重要的破壞形式。復雜的結構細節特征及載荷作用形式對飛行器實體結構的精細化設計和驗證提出了較高的要求。金屬實體類結構的失效破壞屬于金屬材料在復雜應力狀態下的失效破壞，試驗研究表明，在不同應力狀態下金屬材料呈現出不同的屈服及破壞行為。利用精細有限元數值仿真預測金屬結構延性斷裂行為成為結構精細化設計的重要手段，其前提是建立合理的適用于復雜應力狀態的金屬屈服準則。只有在正確預測復雜應力狀態下材料初始屈服以及后繼屈服塑性硬化行為的基礎上，才能進一步研究金屬結構斷裂行為。

經典von Mises理論（J2理論）認為，復雜應力狀態下材料的彈塑性本構關系可以通過引入等效應力和等效應變的概念等價為一維問題，即單一曲線假設。然而，大量試驗和理論研究表明，單一曲線假設并不能很好地描述材料在復雜應力狀態下的彈塑性本構規律，金屬屈服行為與應力狀態有著密不可分的關系。目前國內外已有大量文獻研究應力狀態參數對金屬材料屈服面的影響。最早受到關注的是靜水應力（或應力三軸度）參數，并產生了多種基于靜水應力（或應力三軸度）修正的von Mises模型：W.A.Spitzig等對鋁合金和鋼的研究表明靜水應力顯著影響金屬材料的屈服應力，且認為兩者線性相關；A.Needleman等基于細觀孔洞損傷演化模型，提出了一種含損傷量的屈服模型，該模型認為靜水應力對屈服面產生非線性影響，即屈服面隨著靜水應力的增加而收縮；K.Nahshon等進一步發展了Gurson理論。國內研究人員也對應力三軸度參數對金屬屈服的影響進行了理論研究與試驗研究。隨著有關金屬延性斷裂研究的不斷深入，Lode角參數對金屬屈服和斷裂的影響越來越受到人們的關注。最具代表性的研究工作有：Y.Bai等、L.Xue提出了一種包含應力三軸度和Lode角參數耦合的修正屈服模型；L.Xue還提出了一種與損傷變量耦合的彈塑性本構模型，間接體現了靜水應力和Lode角參數對后繼屈服切線模量的影響。但上述研究沒有細致研究應力三軸度和Lode角參數影響金屬屈服行為的差異性，而是直接將應力三軸度和Lode角參數耦合在一起共同影響金屬初始屈服應力以及后繼屈服演化，導致模型復雜、材料常數多且標定困難。

本文首先在文獻［9］研究的基礎上，結合鋁合金AL 2024材料5種典型構形試驗件進行拉伸破壞試驗，研究應力三軸度和Lode角參數對金屬材料屈服行為的作用方式；然后根據試驗分析提出一種分別慮及應力三軸度對初始屈服應力和Lode角參數對塑性切線模量修正的屈服模型，并進行有限元與試驗對比驗證；最后對耳片結構拉伸試驗進行有限元與試驗對比分析，以驗證本文提出的修正屈服模型的精度。

1 三維應力狀態的表征參數

首先對三維應力狀態在主應力空間的表征參數進行概要介紹。任意應力張量

σ

都可用三維主應力空ˉ ˉˉ間→ 中的向量表示其應力狀態，如圖1所示，向量

OA

表示應力狀態(

σ

，

σ

，

σ

)，其中

σ

，

σ

，

σ

為主應力分量。圖1中的

z

軸為等傾線，垂直于等傾線的平面稱為等傾面；

p

為靜水應力（材料受壓縮時為正）；

σ

為Mises等效應力。

圖1 應力狀態在主應力空間中的表示Fig.1 Stress state in principal stress space

此外，在描述靜水應力

p

時常用其無量綱形式，即應力三軸度

η

，定義如下：

主應力狀態(

σ

，

σ

，

σ

)在等傾面上的投影為主應力偏量(

s

，

s

，

s

)，如圖2所示。

圖2 主應力在等傾面內的投影以及Lode角Fig.2 Demonstration of Lode angle

在等傾面內，主應力偏量的分布情況可用Lode角

θ

表示，定義為

2 基于應力狀態修正的金屬屈服準則

試驗和理論研究結果表明，應力三軸度（或靜水應力）和Lode角參數會對材料的初始屈服和后繼屈服產生不可忽略的影響。W.A.Spitzig等認為初始屈服應力隨材料靜水應力的變化而線性改變；Y.Bai等則認為應力三軸度和Lode角均會影響材料初始屈服和后繼屈服行為，并給出了慮及應力三軸度和Lode角參數的修正屈服準則。本文結合試驗和數值仿真研究發現，應力三軸度主要影響材料初始屈服應力值，而Lode角參數主要對后繼屈服的塑性切線模量產生影響。

本文提出一種分別慮及應力三軸度對初始屈服應力以及Lode角參數對塑性切線模量影響的修正屈服理論。其中，初始屈服應力修正表達式為

由式（6）可得，當應力三軸度

η

為1/3時（光滑圓棒拉伸應力狀態），該修正初始屈服應力與材料標準試件初始屈服應力相同。試驗結果表明，

k

通常是一個正數，當應力三軸度增加時，材料實際的初始屈服應力降低。

后繼屈服的塑性切線模量修正表達式為

式中：

H

為由光滑圓棒拉伸試驗獲得的材料塑性切線模量；

H

為慮及Lode角影響的修正塑性切線模量；修正系數

w

為材料常數。

式中：

σ

、

K

和

n

為材料常數。

綜上所述，結合初始屈服應力與塑性切線模量修正，本文提出的修正屈服應力表達式為

式中：

σ

、

K

、

n

、

k

和

w

為屈服準則常數，其中前三個常數為經典Mises屈服準則常數，后兩個常數為修正常數。

由式（10）可知，修正的屈服面可寫為

根據相關聯的Prandtl-Reuss塑性流動增量理論，塑性應變增量可寫為

通過張量求導計算，可得

該屈服準則中將應力三軸度與Lode角參數的影響解耦，不僅減少了模型的材料常數，還有利于簡化材料標定試驗及數據處理過程。

3 復雜應力狀態金屬拉伸試驗

以航空航天領域常用的AL2024-T 4鋁合金材料為例，對包含光滑圓棒、帶缺口圓棒、帶缺口槽平板等五種不同構形的元件級試驗件進行拉伸試驗，研究不同應力狀態下金屬構件的屈服行為。詳細的試驗件構型、試驗內容和結果參見文獻［13］。

4 元件試驗與分析結果對比

以ABAQUS/Explicit求解器為平臺，采用VUMAT用戶材料子程序開發修正屈服準則算法，對第3節所述5種典型構形元件級試件拉伸試驗進行數值模擬，檢驗第2節提出的修正屈服準則對復雜應力狀態下材料屈服行為的預測精度。

由于試驗件構型和受載的對稱性，本文采用4結點軸對稱單元建立圓棒模型，采用8結點實體單元建立平板模型，所有模型在缺口區域內進行網格細化。有限元模型在一側固支，另一側加載，并施加對稱約束。

結合試驗結果與有限元數值分析，可獲取修正屈服準則常數。以鋁合金AL 2024材料為例，修正屈服準則的材料常數為：

σ

＝380 MPa，

K

＝328 MPa，

n

＝0.22，

k

＝0.5，

w

＝0.2。分別采用傳統von Mises屈服準則、只對初始屈服應力修正的屈服準則（式（6））、以及初始屈服應力和塑性切線模量同時修正的屈服準則（式（6）和式（7））進行對比分析，數值仿真結果如圖3~圖7所示，圖中橫軸表示引伸計位移；圖例“

η

修正”表示只修正初始屈服應力，“

η

和

θ

修正”表示同時修正初始屈服應力和塑性切線模量。各類型構件真實試驗與模擬計算誤差詳見文獻［13］。

圖3 光滑圓棒試驗與數值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.3 Comparison of test and simulation of smooth bar in force-displacement curves

圖5 大缺口圓棒試驗與數值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.5 Comparison of test and simulation of large notched bar in force-displacement curves

圖7 大缺口槽平板試驗與數值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.7 Comparison of test and simulation of large grooved plate in force-displacement curves

圖6 小缺口槽平板試驗與數值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.6 Comparison of test and simulation of small grooved plate in force-displacement curves

數值計算與試驗結果的誤差如表1~表2所示，可以看出：對于初始屈服應力，最高誤差出現在應力三軸度最高的小缺口圓棒和小缺口槽平板試件上，誤差分別為8.21%和13.56%；但對于光滑圓棒試件，由圖3及表1的數據可得，數值模擬與真實試驗誤差極小。據此可得出基于單一曲線假設的von Mises屈服理論在材料處于一維應力狀態下能與真實試驗精確符合，然而卻不足以適應更常見的復雜應力狀態。

表1 試驗與模擬結果的初始屈服載荷誤差Table 1 Error of test and simulation in yield strength

表2 試驗與模擬結果的破壞載荷誤差Table 2 Error of test and simulation in failure strength

從數值預測與試驗結果的對比中可以看出，不同準則的精度差異主要體現在對帶缺口圓棒和帶缺口槽平板試驗件的預測上。對于初始屈服而言，經典von Mises準則在預測缺口半徑小、應力三軸度大的試驗時存在較大誤差，帶小缺口的圓棒和平板試驗的誤差均超過了8%。通過引入應力三軸度參數對von Mises初始應力進行修正后，明顯提高了帶缺口試驗件初始屈服載荷的預測精度。

對比缺口圓棒試驗和缺口槽平板試驗發現，初始屈服修正準則對缺口圓棒試驗的預測精度要高于對缺口平板試驗的預測精度。這說明雖然應力三軸度和Lode角對材料初始屈服均產生影響，但應力三軸度對初始屈服應力的影響起主導作用。Lode角更重要的作用體現在對塑性流動（即塑性切線模量）的影響上，這也是本文修正屈服準則的試驗基礎。

對于試驗件后繼屈服塑性流變行為，從圖4~圖7以及表2可以看出：只修正初始屈服應力的準則已經能很好地符合缺口圓棒試驗件后繼屈服階段的塑性硬化曲線，在此基礎上引入Lode角對切線模量的修正，基本沒有改善缺口圓棒試驗的預測精度；但切線模量修正明顯提高了帶缺口槽平板試驗塑性硬化階段的預測精度。從表2可看出：切線模量修正使帶缺口槽平板試件斷裂載荷的數值預測誤差降低至2%左右。

圖4 小缺口圓棒試驗與數值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.4 Comparison of test and simulation of small notched bar in force-displacement curves

上述研究表明，塑性切線模量修正對提高材料復雜應力狀態下塑性流動行為的預測精度具有重要意義。

5 耳片結構試驗與分析驗證

選取典型金屬耳片拉伸試驗，應用本文提出的修正屈服準則對耳片結構屈服過程進行研究，并與試驗結果、經典von Mises屈服準則以及Bai-Wierzbicki屈服準則的分析結果進行對比。

耳片結構平面尺寸及加載方式如圖8所示，耳片厚度為10 mm；結構左端固支，右端通過接觸將銷釘的位移加載傳遞到耳片結構上，加載方向與耳片軸線呈5°夾角。耳片材料為鋁合金AL2024，其具體的材料屬性見第4節所述。銷釘材料為合金鋼，其彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3。

圖8 耳片結構平面尺寸及加載方式示意Fig.8 Sketch of the size and loading of lug structure

應用本文提出的修正屈服準則的分析結果與試驗結果對比如圖9所示，圖中同時給出了經典Mises屈服準則、Bai-Wierzbicki屈服準則的分析結果。

圖9 耳片結構拉伸試驗與數值分析結果對比Fig.9 Comparison of experiment and simulation of lug structure

從圖9可以看出：經典Mises屈服準則預測的載荷—位移曲線與試驗結果在彈塑性階段存在明顯偏差，而本文提出的修正屈服準則與Bai-Wierz‐bicki屈服準則分析結果基本一致，且和試驗結果吻合較好，表明基于應力狀態修正的屈服準則能夠顯著提高復雜應力狀態金屬結構彈塑性行為。對比本文提出的修正屈服準則與Bai-Wierzbicki屈服準則，結果表明本文提出的應力三軸度和Lode角參數分別對初始屈服應力與后繼屈服斜率的解耦準則的合理性。本文的解耦修正準則不僅形式變得更加簡潔，同時也簡化了準則標定的元件試驗規模，更有利于工程應用。

6 結 論

（1）對于三維復雜應力狀態下的拉伸試驗，使用經典von Mises屈服準則時，有限元模擬計算的初始屈服應力以及后繼屈服應力結果與試驗結果存在較大差異，揭示了應力狀態是影響材料屈服及塑性流動的一個重要因素。

（2）本文結合試驗研究，發現應力三軸度主要影響材料初始屈服應力，Lode角參數主要影響切線模量，并提出了一個慮及兩者的修正von Mises屈服準則，給出了修正準則的塑性流動方程。

（3）試驗與有限元對比分析表明該準則能夠很好地預測復雜應力狀態下金屬結構的初始屈服及后繼屈服塑性硬化行為，對工程應用有較高參考價值。