測(cè)量學(xué)中關(guān)于坐標(biāo)正算與反算問(wèn)題的幾點(diǎn)思考

蔣德興

（四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川成都 610300）

0 引言

測(cè)量學(xué)中的所有計(jì)算既要保證公式的正確、正負(fù)符號(hào)的正確和計(jì)算單位的正確，同時(shí)又要保證計(jì)算精度達(dá)到要求，計(jì)算精度指的是計(jì)算量的準(zhǔn)確程度以及計(jì)算量的有效位數(shù)。如果計(jì)算量不正確就談不上準(zhǔn)確程度，如果計(jì)算量正確但有效位數(shù)不夠同樣也談不上準(zhǔn)確程度。本文就測(cè)量學(xué)中坐標(biāo)正算與反算的準(zhǔn)確程度以及有效位數(shù)的取位問(wèn)題進(jìn)行了探討。

1 坐標(biāo)正算

坐標(biāo)正算，就是根據(jù)直線(xiàn)的邊長(zhǎng)、坐標(biāo)方位角和一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算直線(xiàn)另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)。如下圖1所示，設(shè)直線(xiàn)AB的邊長(zhǎng)為D，坐標(biāo)方位角為α，已知點(diǎn)A（起點(diǎn)） 的坐標(biāo)為（X、Y），則直線(xiàn)未知點(diǎn) B（終點(diǎn)）的坐標(biāo)計(jì)算如下：

圖1 坐標(biāo)正算

A、B兩點(diǎn)間的縱坐標(biāo)增量Δx=Dcosα①

A、B兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)增量Δy=Dsinα②

B點(diǎn)的縱坐標(biāo)X=X+Δx③

B點(diǎn)的橫坐標(biāo)Y=Y+Δy④

由公式①、②計(jì)算A、B兩點(diǎn)間的縱、橫坐標(biāo)增量Δx、Δy時(shí)，α一定要是已知點(diǎn)A到未知點(diǎn)B的坐標(biāo)方位角，如果是未知點(diǎn)B到已知點(diǎn)A的坐標(biāo)方位角α，那么一定要加或減180°變成已知點(diǎn)A到未知點(diǎn)B的坐標(biāo)方位角α。由于邊長(zhǎng)D在工程上一般取三位，即精確到mm位，所以坐標(biāo)增量Δx、Δy也精確到mm位，位數(shù)取多了意義不大，位數(shù)取少了精度不夠。坐標(biāo)增量的正負(fù)取決于三角函數(shù)值的正負(fù)，而三角函數(shù)值的正負(fù)又取決于坐標(biāo)方位角所在的象限。當(dāng)坐標(biāo)增量為正時(shí)，其正號(hào)一般要求寫(xiě)上而不要省略。

由公式③、④計(jì)算B點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)X、Y時(shí)，就不存在收舍了，已知點(diǎn)坐標(biāo)和坐標(biāo)增量是幾位，未知點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)就是幾位。

2 坐標(biāo)反算

坐標(biāo)反算，就是根據(jù)直線(xiàn)兩個(gè)端點(diǎn)的已知坐標(biāo)，計(jì)算直線(xiàn)的邊長(zhǎng)和坐標(biāo)方位角。如下圖2所示，若 A、B為兩已知點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(X，Y)和(X，Y),那么根據(jù)三角函數(shù)，可以得出直線(xiàn)邊長(zhǎng)和坐標(biāo)方位角的計(jì)算公式為：

圖2 坐標(biāo)反算

Δx=X-X⑤

Δy=Y-Y⑥

D=√[(x-x)+(y-y)]=√(Δx+ Δy) ⑦

tanα=(y-y)/(x-x)=Δy/Δx=K ⑧

α=arctan(K)+常數(shù) ⑨

常數(shù)與AB方向所在的象限有關(guān)，即與縱、橫坐標(biāo)增量的正負(fù)號(hào)有關(guān)，下表1列出了各個(gè)象限的常數(shù)值：

表1 象限常數(shù)表

由公式⑤、⑥計(jì)算A、B兩點(diǎn)間的縱、橫坐標(biāo)增量時(shí)，一定要用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。對(duì)于水平距離而言，無(wú)所謂起點(diǎn)與終點(diǎn)，但對(duì)于方位角而言，必須分清楚起點(diǎn)與終點(diǎn)，如果計(jì)算的是AB方向的坐標(biāo)方位角，那么A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)。如果坐標(biāo)增量的大小沒(méi)有錯(cuò)，而算錯(cuò)了正負(fù)號(hào)，后面對(duì)距離的計(jì)算沒(méi)有影響，但對(duì)方位角的計(jì)算就有影響了，影響了方位角所在的象限。公式⑤、⑥在計(jì)算時(shí)無(wú)收舍，原本是幾位有效位數(shù)，其結(jié)果也取幾位有效位數(shù)。

由公式⑦計(jì)算邊長(zhǎng)時(shí)，一定要注意根號(hào)下需要一對(duì)中括號(hào)，否則就沒(méi)有根號(hào)到第二項(xiàng)的值。計(jì)算結(jié)果一定有個(gè)取位問(wèn)題，按照前面的敘述，已知坐標(biāo)是幾位，邊長(zhǎng)就取幾位有效數(shù)字。

由公式⑧計(jì)算方位角的正切函數(shù)值K時(shí)，那么是否K也取與已知坐標(biāo)相同的位數(shù)呢？答案是否定的！我們?cè)诠こ躺贤ǔＵf(shuō)坐標(biāo)、邊長(zhǎng)以及坐標(biāo)增量取三位有效數(shù)字就能保證精度了，但方位角的計(jì)算我們通常要求精度達(dá)到1″，在這里的正切函數(shù)值該取多少位呢？下面用數(shù)學(xué)中的微分方程來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題：

將公式⑧兩邊取微分得到：secα·dα/ρ″=dK

dα=(dK/secα)·ρ″=(cosα)dK·ρ″，式中ρ″=206265″。

為了討論K的誤差對(duì)α的最大誤差影響，不妨取cosα=1，下面列出表2。

從表2可以看出，當(dāng)K取到小數(shù)點(diǎn)后面五位時(shí)，K的最大誤差（dK）為0.000005，而α的最大誤差（dα）為1.0″。在工程上，方位角的計(jì)算我們通常要求精度達(dá)到1″，所以我們得出重要結(jié)論：為了使方位角反算的精度達(dá)到1″，正切函數(shù)值K必須取到小數(shù)點(diǎn)后第五位。我們?cè)賮?lái)回答開(kāi)始提出的問(wèn)題：顯然，如果函數(shù)值K也跟著坐標(biāo)取三位的話(huà)，方位角的計(jì)算誤差就有可能達(dá)到上百秒，這顯然不能滿(mǎn)足工程上方位角反算的精度達(dá)到1″的要求。

表2 方位角反算誤差表

文章的最后我要再次探討方位角的反算公式：公式⑨是利用反正切函數(shù)求方位角，事實(shí)上當(dāng)邊長(zhǎng)已經(jīng)計(jì)算出來(lái)后我們還可以反正弦或者反余弦來(lái)求方位角，其公式如下：

由公式①可得到cosα=Δx/D，α=arccos (Δx/D)+常數(shù) ⑩

由公式②可得到sinα=Δy/D，α=arcsin (Δy/D)+常數(shù)

我們?cè)趯?shí)際工作中，通常利用反正切函數(shù)來(lái)求方位角，而不用反正弦函數(shù)或反余弦函數(shù)來(lái)求方位角，其理由如下：（1）反正弦函數(shù)或反余弦函數(shù)求方位角時(shí)，要利用邊長(zhǎng)，而邊長(zhǎng)是計(jì)算值，有收舍誤差。反正切函數(shù)求方位角時(shí)，不需要邊長(zhǎng)，這樣就少了一次計(jì)算過(guò)程中的收舍誤差。（2）反正切函數(shù)求方位角時(shí)，對(duì)于任何方向的方位角計(jì)算，其計(jì)算過(guò)程中的收舍誤差都不會(huì)帶來(lái)較大的方位角誤差，而反正弦函數(shù)時(shí)，對(duì)于接近坐標(biāo)南北方向的方位角的計(jì)算，由于Δy的值很小，正弦函數(shù)值（Δy/D)不會(huì)因?yàn)榉帜傅挠?jì)算誤差而帶來(lái)較大的誤差，這種情況下反正弦函數(shù)計(jì)算方位角會(huì)比較準(zhǔn)確，這時(shí)的Δx非常大，非常接近于分母的值（邊長(zhǎng)），恰恰此時(shí)反余弦函數(shù)計(jì)算方位角的誤差會(huì)比較大；對(duì)于接近坐標(biāo)東西方向的方位角的計(jì)算，由于Δx的值很小，余弦函數(shù)值（Δx/D）不會(huì)因?yàn)榉帜傅挠?jì)算誤差而帶來(lái)較大的誤差，這種情況下反余弦函數(shù)計(jì)算方位角會(huì)比較準(zhǔn)確，這時(shí)的Δy非常大，非常接近于分母的值（邊長(zhǎng)），恰恰此時(shí)反正弦函數(shù)計(jì)算方位角的誤差會(huì)比較大。以下表3的數(shù)據(jù)為例我們進(jìn)行驗(yàn)證。

表3 方位角反算對(duì)比表

從上表3可以看出：對(duì)于任意的方向，反正弦、反余弦、反正切所得的方位角基本一致；對(duì)于接近南北的方向，反正弦與反正切所得的方位角一致，而反余弦所得的方位角就與之相差較大；對(duì)于接近東西的方向，反余弦與反正切所得的方位角基本一致，而反正弦所得的方位角就與之相差較大。

3 結(jié)語(yǔ)

本文著重探討了坐標(biāo)反算中的取位和計(jì)算精確度的問(wèn)題，并對(duì)方位角反算的三個(gè)公式作了對(duì)比，指出了其優(yōu)缺點(diǎn)。