基于鄰域保持嵌入的主多項式非線性過程故障檢測

李 元，姚宗禹

(沈陽化工大學 信息工程學院,沈陽 110142)

在現代工業中，為了在提高過程系統運行安全性和可靠性的同時，保證化學工程工藝系統中的產品質量，必須對過程進行實時監控.數據驅動的過程監測和控制技術已廣泛應用于各種工業過程[1-3]，包括化學品、藥品和半導體制造等[4-8].

傳統主成分分析(PCA)是目前常用的多元統計方法，基于PCA的過程監測方法已成功地應用于大量工業過程中.然而，基于PCA的方法均假設過程是線性的，這限制了其在非線性工業過程中的應用.現代工業非線性過程大量存在，為了監測非線性過程，多種非線性過程檢測方法相繼被提出.

文獻[9]通過在PCA中引入核技術提出了核主元分析(KPCA).而文獻[10-11]提出基于KPCA的連續過程監測的非線性過程監測技術，KPCA將非線性低維數據映射到高維空間，使其在高維空間中存在線性關系.相對于PCA方法而言，KPCA方法在故障檢測過程中可以提取系統中的非線性特征信息而不至于丟失重要信息，具有更好的非線性故障檢測能力.但是，KPCA沒有明確地考慮數據的非線性幾何結構可能駐留在流形上的可能性[12]，若參數設置不當，核方法的故障檢測性能就無法得到保證.此外，計算核函數耗時較長，影響對實時檢測的需求.

文獻[13-14]提出一種基于自聯想的5層神經網絡的非線性主成分分析 (NLPCA)，使用自關聯神經網絡將數據映射到特征空間.文獻[15]提出一種基于主曲線和神經網絡相結合的非線性主成分分析法，并應用于非線性過程監測.然而，大部分存在的非線性方法都是基于神經網絡的，需要離線和在線訓練，而且為了計算主元，需要解決非線性優化問題，主元的數量必須在神經網絡訓練之前確定，給實際應用帶來不便.

文獻[16]提出一種基于等距離映射(ISOMAP)的故障檢測方法.該方法用等距離映射進行非線性降維，采用自適應準則選取鄰域參數，能夠有效地挖掘過程的非線性特征.但是當流形曲率較大時，流形上的測地距離估計會產生較大的誤差，導致嵌入結果產生變形.文獻[17-18]提出主多項式分析(PPA)，通過最小化相應正交子空間中的回歸誤差(或方差)來變形直線主成分，并將其應用于遙感數據處理.文獻[19-20]將PPA法引入到工業過程的故障檢測和診斷技術上，使用一組靈活的主多項式分量來描述數據，與基于PCA的方法相比，PPA法更能有效地捕捉過程數據中固有的非線性幾何結構.雖然，PPA法的提取曲線主成分可以包含大部分的數據變化，但是其只捕獲過程數據的全局結構，不能有效地保留數據詳細的局部結構信息.

針對工業過程數據的非線性特征，提出一種基于鄰域保持嵌入(NPE)-主多項式分析的過程故障檢測算法.使用NPE算法提取高維數據的低維子流形，并進行維數約減，同時保持鄰域結構不變.將特征空間的數據應用主多項式分析建立故障檢測模型，計算其檢測統計量及控制限來進行故障檢測.本研究以Tennessee Eastman(TE)化工過程為背景進行仿真實驗，為基于數據驅動的故障檢測領域提供了實踐基礎.

1 NPE算法

鄰域保持嵌入算法的目的是在保持數據集局部流形結構不變的同時，將給定原始數據X=[x1x2…xn],xi∈RD從D維空間RD映射到一個相對低維的特征空間Y=[y1y2…yn]，{yi|yi∈Rd}(d

(1)通過樣本間的歐式距離確定每個樣本的前k個近鄰并構造鄰域連接圖.

(2)計算鄰接圖中每一條邊上的權重值構成權重矩陣F，確定每個樣本點與其鄰域點之間的重構權向量，并在低維空間中保持每個鄰域的權值不變，使誤差函數達到最小，可由下式計算：

(1)

(2)

(3)計算特征映射矩陣.根據高維空間中的樣本點與其近鄰點之間的權值矩陣F,嵌入低維空間的投影矩陣A可以通過求解損失函數的最小化問題可以得到：

(3)

通過拉格朗日函數法可將最優化求解問題轉化為廣義特征矩陣中的特征值問題,如下式所示:

XTMXai=λXTXai

(4)

式中：M=(I-W)T(I-W)，I為同維度單位矩陣.求解式(4)中最小的d個特征值所對應的特征向量組成映射矩陣A=[a1a2…ad]∈Rn×d.

2 主多項式分析

PPA是一種計算主多項式成分的順序算法.在每一步的計算中，計算出最佳投影數據的向量，通過使用一組主多項式成分從過程數據中學習數據的低維表示，將PCA中的直線主成分更換為曲線的主多項式成分，可以更好地捕捉過程變量的非線性特征[19].給定數據矩陣G為m個變量，n個訓練樣本，PPA對原始數據進行如下分解：

(5)

(6)

(7)

Vp=[νp,1νp,2…νp,n]

(8)

(9)

式中：V?為V的偽逆.

3 基于低維子流行空間主多項式分析的故障檢測

(10)

(11)

(12)

式中：ΛPPA∈Rρ×ρ為對角元素為主多項式分量的方差對角矩陣.PPA的平方預測誤差(SPE)統計量定義如下：

(13)

(14)

T2統計量的控制限可以計算如下:

(15)

式中：Fα(ρ，n-ρ)為在顯著性水平θ上具有自由程度ρ和n-ρ的F分布.

SPE統計量的控制限可以計算如下:

(16)

故障檢測的兩個階段可以分為離線建模和在線監測.

(1)離線建模.離線建模的步驟如下：

步驟1采集正常工況下的過程數據，將數據進行標準化.

步驟2利用下式計算權重矩陣F，利用得到的權重矩陣根據式(4)計算映射矩陣A.

(17)

j=1,2,…,k

步驟3在數據矩陣上構造PPA模型，得到對應的主多項式分量與殘差分量，并在主多項式分量空間和殘差空間分別計算T2統計量與SPE統計量.

步驟4計算其對應的監測統計量的控制限ξT2和ξSPE；保存訓練模型中所獲得的4個參數ep，Ep，Wp和Vp.

(2)在線檢測.在線檢測的步驟如下:

步驟1獲得一個新的樣本xnew，然后使用建模數據的均值和方差對其進行標準化.

步驟2利用投影矩陣A將xnew投影到低維子空間中，得到樣本點ynew.

步驟3利用訓練模型中所學習的模型參數將樣本點ynew映射到主多項式空間和殘差空間，并在對應空間求得T2與SPE統計量.

步驟4將上一步求得的統計量與離線建模步驟中的控制限進行對比，若T2與SPE中任一統計量超過其對應的控制限，則認為該樣本為故障樣本.

4 實驗驗證

通過將基于NPE-PPA的故障檢測方法應用于一個非線性數值實例和TE過程，說明該方法的效率和優點，并將應用結果與標準的基于KPCA和PPA的監測方法進行比較.

4.1 非線性數值實例仿真應用

給出了一個非線性仿真實例，說明了該方法在故障檢測方面的有效性.非線性系統由以下方程描述：

(18)

(19)

式中：s1和s2為系統控制變量；σ1～σ5服從均值為0，標準差為0.01的高斯分布的5個獨立白噪聲.通過仿真生成400個正常樣本組成訓練集進行建模，另外生成200個正常樣本和200個故障樣本作為測試數據集.為該數值仿真實例設定如下2種故障：

故障1對變量x1從第201個樣本至第400個樣本上添加0.2(i-200)來引入斜坡故障，i為樣本數.

故障2對變量x5從第201個樣本至第400個樣本上添加幅值為25%的階躍故障.

接下來，使用前文所提到的數值實例分別應用KPCA、PPA和NPE-PPA這3種方法進行建模分析.在KPCA中，通過85%累計貢獻率來確定主元個數，在PPA和NPE-PPA模型中的主多項式成分和多項式度均設置為2.采用KPCA、PPA和NPE-PPA算法對故障1的檢測結果如圖1所示.從圖1(a)中可以看出，KPCA的SPE統計量能夠檢測出故障的發生，T2統計量完全不能檢測出故障的發生.PPA的SPE統計量能夠檢測出故障的發生，T2統計量在故障發生一段時間后能夠做出一定的反應，但是故障檢測的精確度低.NPE-PPA的T2統計量和SPE統計量在故障發生后能立即跳變到控制限以上，并且持續報警，能夠迅速準確地檢測到故障的發生.

采用KPCA、PPA和NPE-PPA算法對故障2的檢測結果如圖2所示.從圖2(a)中可以看出，KPCA的兩種統計量均不能有效地檢測出故障的發生，PPA只有SPE統計量能夠檢測出故障的發生，NPE-PPA 的兩種統計量能夠迅速準確地檢測到故障的發生.仿真實驗結果表明，鄰域保持嵌入算法能夠有效地保留數據的局部結構信息，提升主多項式分析處理數據的效果.

圖1 故障1的檢測結果Fig.1 Monitoring results of Fault 1

圖2 故障2的檢測結果Fig.2 Monitoring results of Fault 2

4.2 TE過程仿真應用

TE過程仿真應用平臺是一個基于實際工業過程的仿真例子，用于測試過程系統工程中故障檢測和診斷方法的效率[22-23].Tennessee Eastman過程最早由Downs和Vogel提出，其原型是美國伊斯曼化學公司的一個真實工業過程[24-25].過程主要包括5個操作單元：反應器、冷凝器、循環壓縮機、氣液分離器以及汽提塔.整個過程中共涉及8種物料成分，分別為主要參加反應的氣體進料U、C、D、E；惰性不可溶進料B;反應副產品F以及反應液態主產物G和H.在過程中共包含有41個測量變量和12個控制變量，其中，41個測量變量又可以劃分為22個過程測量變量以及19個成分測量變量.

該仿真平臺總共預設了21種故障，具體的故障描述如表1所示，共包含階躍型故障、隨機變化故障、慢偏移故障、閥門粘滯故障、閥門卡死故障以及未知故障.利用在正常操作條件下包含500個觀測值的訓練數據建立模型.測試數據包含一組21個不同的過程故障，這些故障在樣本161引入過程中，即過程在前160個樣本中正常運行，然后從樣本161到結束發生故障.表1中列出了故障的詳細描述，故障3、9和15是微小故障，由于反饋控制，對整個過程行為的影響不大.

將所提方法與基于KPCA和PPA算法的方法對TE過程的21種故障進行檢測對比.首先，建立統計監控模型，在建立 KPCA 模型時，使用主元貢獻率85%來確定其主元個數，在PPA方法和所提方法中使用的PPA模型通過交叉驗證確定，主多項式空間數量設置為4，主多項式的冪設置為3，檢測統計量控制限置信度設置為99%.

表1 TE過程的21種故障Tab.1 Induced 21 faults in TE process

表2匯總了基于KPCA、PPA和NPE-PPA方法對TE過程的21種故障的故障檢測結果，計算了所有21個故障的監測統計量的檢測率.針對每一個故障，檢測率最高的值在表中用粗體突出表示.對于故障3、9和15在眾多文獻中被認為很難檢測出來，在本文的研究中也同樣得到證實.基于KPCA和PPA的方法在檢測6個故障(故障5、10、16、19、20和21)方面存在困難，大多數情況下的檢測率小于60%.然而所提出的基于NPE-PPA的故障檢測方法能夠檢測到所有18個故障(除故障3、9和15外)，檢出率高于85%.特別是故障5、10和20，基于NPE-PPA方法的故障檢出率比KPCA和PPA高出2～3倍.

圖3 故障5的檢測結果Fig.3 Monitoring results of Fault 5

為了說明基于NPE-PPA檢測方法的優越性，分別比較了基于KPCA、PPA和NPE-PPA方法對故障5和10的檢測結果，如圖3和4所示.故障5是TE過程中的冷凝器冷卻入口溫度發生變化形成的一種階躍故障.由圖3可知，基于KPCA和基于PPA方法的T2和SPE統計量成功地檢測了樣本160～345的故障，而在樣本346之后未能檢測到故障，基于NPE-PPA的T2和SPE統計量都檢測到樣本160至過程結束的大部分故障，具有較高的檢測率和較低的誤報率.故障10是TE過程中物料C進料溫度改變形成的一種隨機變化故障.從圖4可以清楚地觀察到，所提出的基于NPE-PPA的方法比基于KPCA和PPA的方法更敏感，其T2和SPE統計量的變化比基于KPCA和PPA統計量的變化要顯著得多，所提方法對于故障10的SPE統計量的檢測率遠高于其他監測統計量(見表2).

表2 3種方法對TE過程21個故障的檢測率Tab.2 Fault detection rates for 21 faults by using three methods in TE process

圖4 故障10的檢測結果Fig.4 Monitoring results of Fault 10

由表2可知，與其他方法的監測統計方法相比，所提NPE-PPA方法的SPE統計量在TE過程的大多數故障中提供了最佳的監測結果，展示了所提出的基于NPE-PPA方法的故障檢測性能.NPE-PPA算法的檢測效果得到了非常明顯的提升，說明了由NPE-PPA算法投影得到的特征空間包含了更多有效的信息，具有更好的特征提取能力，使得NPE-PPA方法具有更好的分類效果以及較好的故障檢測性能.

5 結語

本文提出一種基于NPE-PPA的故障檢測算法，通過鄰域保持嵌入算法提取數據局部結構信息，再使用PPA方法通過主多項式分量來捕捉過程數據中潛在的非線性結構.本文通過將其應用于一組非線性數值實例和TE過程的工業基準過程，驗證了所提出的基于NPE-PPA的故障檢測算法的有效性與優越性.應用結果表明，所提出的基于NPE-PPA的故障檢測算法優于基于KPCA和PPA的傳統非線性故障檢測方法.