SMA彈簧驅動的柔性操控臂動力學分析

滕亞軍，陳務軍，楊天洋，敬忠良，劉物己

(上海交通大學 a.空間結構研究中心；b.航空航天學院，上海 200240)

與由電機驅動的機器人相比，由智能材料[1-2]驅動的柔性機器人具有靈活性好、體積小、質量輕、環境適應性好、噪聲低等優勢.柔性機器人對工作條件受限的環境具有良好的適應能力，可廣泛用于家庭服務、災難救護、教育娛樂、醫學和太空探索等許多領域，在未來這些應用領域中將會占有十分重要的地位.柔性機器人一般采用氣動、離子交換聚合物、形狀記憶合金(SMA)[3-5]、形狀記憶聚合物[6]、響應水凝膠[7-8]等驅動方式并由柔性材料來做支撐結構.McMahan等[9]研制出一種仿章魚觸手的連續型機器人OctArm，該機器人可以抓取形狀復雜的物體，并且可以在相對受限的工作環境下運動.韓國漢陽大學Choi等[10]設計研制出一種彈簧骨架支撐的連續型內窺鏡機器人.該機器人通過彈簧支架支撐，彈簧支架的作用是保持機器人的形狀和為彎曲運動提供彎曲剛度的作用，其運動通過柔性臂內部的3根驅動繩索協調運動而實現.哈爾濱工業大學的胡海燕等[11]研制出的機器人用于結腸鏡檢查，此連續機器人通過NiTi合金絲驅動線驅動兩個機器人單元，可實現平面與空間內彎曲.

準確的運動學和動力學分析對于理解機器人的機理和控制至關重要.常規的建模方法有牛頓-歐拉法[12-13]和拉格朗日動力學方法[14-15].拉格朗日動力學方程是基于機械系統能量對系統變量(位移、速度等)以及時間的微分所建立的.在機械系統結構比較簡單、自由度比較少的情況下，拉格朗日方程法可能會比牛頓-歐拉方程法復雜，但是隨著機械系統越來越復雜、自由度越來越多，用拉格朗日方程法對機械系統進行動力學建模與分析變得比牛頓-歐拉方程法更加簡單.丁希侖等[16]提出一種多連桿復雜的柔性臂系統動力學建模方法——D -Holzer法，用該法推導了兩連桿柔性臂系統的動力學模型.但由于空間柔性操控臂采用形狀記憶合金彈簧驅動，且SMA具有很強的非線性，導致機構的動力學方程推導和求解變得較為復雜.前人的文獻研究并無帶有SMA彈簧的動力學研究，導致對使用SMA彈簧驅動的軟體機器人動力學分析沒有足夠的了解.

本文以八面體桁架為理論基礎，設計一種基于SMA彈簧驅動的柔性驅動模塊.基于拉格朗日動力學建模方法，并結合SMA彈簧的本構模型獲得動力學普遍方程.通過Adams仿真，計算出關節轉動角度與SMA彈簧長度.通過算例分析SMA彈簧在不同關節轉動下的動力響應，為后續SMA彈簧控制和柔性操控臂的實驗研究奠定基礎.

1 空間柔性操控臂結構設計

結合串聯機構與并聯機構各自的優點，賈林睿等[17]設計了一種八面體單元組成的變幾何桁架式機構，具有高剛度以及大運動空間的特點.八面體桁架是由多個正八面體桁架結構組成，相鄰兩節呈對稱關系.以相鄰的兩個正八面體的共用面作為驅動面，通過主動驅動器改變驅動面3根桿件的長度以實現結構幾何的形狀改變.

通過改變驅動面與驅動方式，提出如圖1所示的柔性操控臂模塊.柔性臂主結構由光敏樹脂3D打印而成，每個柔性臂主結構有3個分支以120° 間隔圓周分布.上部分主結構繞球鉸O點轉動.每個分支末端有設計好的小孔，將SMA彈簧嵌入對應的小孔中，柔性操控臂單元有6根SMA彈簧.

圖1 柔性操控臂模塊Fig.1 Flexible manipulator unit

柔性操控臂模塊仍為八面體結構，SMA彈簧側面驅動.通過改變SMA彈簧的溫度來控制SMA彈簧長度，從而驅動結構轉動.

2 動力學分析

拉格朗日力學在處理力學體系時，將力學體系作為一個整體考慮，由力學體系的特征選定廣義坐標并寫出系統總的動能Ek、勢能V及拉格朗日函數L=Ek-V.拉格朗日函數包含了力學體系的所有信息，包括約束、運動狀態、能量、相互作用等，是十分重要的物理量.拉格朗日方程組具有約束越多，方程組個數越少的優點.拉格朗日方程的建立步驟固定，所有系統都具有統一簡單的形式，力學體系的不同歸結為拉格朗日函數的不同，因而容易掌握且不易出錯，即拉格朗日力學在建立方程過程中具有“整體”、“分析”和“標量”的特點.拉格朗日法不僅能以最簡單的形式求得非常復雜的系統動力學方程，而且具有顯式結構.本節將采用拉格朗日法推導相應的動力學方程，分析柔性操控臂的動力學特性.

圖2 柔性臂坐標系Fig.2 Coordinate system of flexible manipulator

2.1 運動學

所建立的柔性臂坐標系如圖2所示.其中：Ot為上部結構的中點；OB為底部結構的中點；y軸與OtS1平行，z軸與主干OOt的中心線重合，x軸垂直與平面yOz；S1、S2、S3為頂部的3個彈簧連接點；B1、B2、B3為底部的3個彈簧連接點；l1～l6為6根彈簧的長度.

運動學假設：

(1)忽略主結構的變形.

(2)圓盤的轉動由SMA彈簧引起.

假設SMA彈簧連接點S1、S2、S3、B1、B2、B3的坐標向量為

(1)

(2)

式中：θB為底部的天頂角；rB為底部結構半徑；θ1、θ2、θ3為頂部天頂角；φ1、φ2、φ3為頂部方位角；rt為上部結構半徑.

假設繞x軸的旋轉矩陣為Rx，繞y軸的旋轉矩陣為Ry，繞z軸的旋轉矩陣為Rz：

(3)

式中：α、β、γ為轉動角度.

S1點旋轉后的坐標為S1r，S2旋轉后的坐標為S2r，S3旋轉后的坐標為S3r.旋轉后的坐標向量可表示為

(4)

SMA彈簧長度與旋轉后的θir與φir(i=1,2,3)的關系為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2.2 勢能與動能

在柔性操控臂初始位置，上圓盤的質心坐標為Oc=[xcyczc]T.柔性臂轉動后的質心Ocr=[xcrycrzcr]T可表示為

(11)

重力勢能VG以及SMA的彈簧勢能VS可分別表示為

(12)

式中：Fj為SMA彈簧力；mt為上部結構的質量；g為重力加速度；Δ為SMA彈簧的變形量.

1986年，Tanaka[18]根據SMA在相變過程中自由能應該達到最小值的原理建立了SMA本構模型，用能量平衡方程和Clausius-Duhem非平衡熱力學原理描述了其超彈性和記憶性能.文獻[18]假定相變過程中，馬氏體體積分數與溫度間成指數關系.根據SMA自由回復過程中的變形特征，Liang等[19-20]用余弦函數來表示馬氏體體積分數和溫度、應力之間的關系，關系式包括了馬氏體正逆相變全過程.后來在Brinson[21]所提出的模型中，將馬氏體變體分為兩部分，溫度誘發相變和應力誘發相變，因此馬氏體相變動力學方程在不同溫度區間有正反兩個演化方程，這樣記憶合金超彈性本構關系的基本框架得到了建立.

根據Brinson[21]提出的形狀記憶合金一維本構模型，利用拉伸應力、拉伸應變和剪切應力、剪應變之間的等效關系，進行修正后再結合普通彈簧理論，獲得由SMA彈簧的本構模型[22]：

(13)

E(ξ)=EA+(EM-EA)ξ

(14)

Θ(ξ)=ΘA+(ΘM-ΘA)ξ

(15)

j=1,2,…,6

從奧氏體轉換為馬氏體:

(16)

(17)

(18)

(19)

當TMf

(20)

ΔTξ=0

(21)

從馬氏體轉換為奧氏體：

(22)

(23)

(24)

aM=π/(TMs-TMf),aA=π/(TAf-TAs)

(25)

機構總動能可表示為

(26)

2.3 拉格朗日動力學方程

以α、β、γ為廣義坐標,令q1=α,q2=β,q3=γ;拉格朗日動力學方程為

L=Ek-(VS+VG)

(27)

(28)

m=1,2,3

(29)

將動能與勢能代入拉格朗日動力學方程，得到矩陣形式:

(30)

2.4 數值算例分析

2.4.1理論計算 已知關節轉動角度的變化，可表示為

(31)

式中：Ψ為最大轉動角度.機構的建模參數如表1所示，SMA彈簧材料參數如表2所示.

表1 建模參數Tab.1 Modeling parameters

表2 SMA彈簧材料參數Tab.2 Material parameters of SMA spring

圖3 當時的柔性臂運動形態Fig.3 Kinematic forms of flexible manipulator at

圖4 計算流程圖Fig.4 Flowchart of calculation

通過計算，6根SMA彈簧長度li與時間t的關系如圖5所示.當SMA彈簧長度小于初始長度時，表示該SMA彈簧需要通電.

(1)當t=0～10 s時，對SMA彈簧l3、l6通電，其余SMA彈簧l1、l2、l4、l5被動拉伸.SMA彈簧l3、l6上的力是由通電后馬氏體向奧氏體相變而來的，SMA彈簧l1、l2、l4、l5上的力是被動拉伸而產生的.

(2)當t=10～20 s時，對SMA彈簧l1、l5通電，其余彈簧l2、l3、l4、l6被動拉伸.SMA彈簧l1、l5上的力是由通電后馬氏體向奧氏體相變而來的，SMA彈簧l2、l3、l4、l6上的力是被動拉伸而產生的.

(3)6根SMA彈簧的初始長度都為258.6 mm.在運動過程中，SMA彈簧長度最大值為303.6 mm，最小值為186.8 mm.

SMA彈簧li上的彈簧力為Fj，SMA彈簧力F與時間t的關系如圖6所示.

(1)SMA彈簧l1、l3、l5、l6承受拉力，SMA彈簧l2、l4承受壓力.當拉力與壓力最大值出現在5 s和15 s時，拉力最大值為3.1 N，壓力最大值為 -1.5 N.

圖5 當Ψ=π/4時的SMA彈簧長度Fig.5 Lengths of SMA spring at Ψ=π/4

圖6 當Ψ=π/4時的SMA彈簧力Fig.6 SMA spring forces at Ψ=π/4

(2)為了方便后面進行Adams仿真計算，將理論計算出的力擬合.

當t=0～10 s時，

F3=-7.738+3.727cos(0.261 6t)+

14.29sin(0.261 6t)+4.742cos(0.523 2t)-2.653sin(0.523 2t)-0.729 4cos(0.784 8t)-0.7595sin(0.784 8t)

(32)

當t=10～20 s時，

F1=-7.699-10.03cos(0.265 3t)-

11.15sin(0.265 3t)+0.575cos(0.530 6t)-5.393sin(0.530 6t)+0.867 3cos(0.795 9t)-0.627 2sin(0.795 9t)

(33)

圖7 當Ψ=π/4時的l3、l6馬氏體體積分數Fig.7 Martensite volumn fractions of l3 and l6 at Ψ=π/4

圖8 Ψ=π/4,π/6,π/12時SMA彈簧力Fig.8 SMA spring forces at Ψ=π/4,π/6,and π/12

由圖5和6可以看出，通電SMA彈簧任意時刻的彈簧長度與彈簧力.通過SMA彈簧力與彈簧長度，根據SMA彈簧的本構模型(見式(13)和(14))，可以計算出SMA彈簧的馬氏體體積分數.可以得到在t=0～10 s時，SMA彈簧l3、l6馬氏體體積分數ξ與時間t的關系如圖7所示.馬氏體體積分數最小值出現在t=5 s時，其值為0.74.

當Ψ=π/4、π/6、π/12時，SMA彈簧力Fj與時間t的關系如圖8所示.其中，由于機構的對稱性，F1=F5，F2=F4，F3=F6，此處只列出F1～F3的受力情況.由圖8可以看出，當Ψ增大時，SMA彈簧力也需要隨之增大.SMA彈簧力的最大值Fmax與最小值Fmin如表3所示.

表3 SMA彈簧力最大值Tab.3 Maximum forces of SMA spring

2.4.2Adams模擬 為驗證理論計算的正確性，采用Adams進行仿真計算.Adams仿真計算流程圖如圖9所示.由于SMA彈簧建模的困難，將理論計算出的SMA彈簧力施加到SMA彈簧上，從而帶動結構轉動.通過比較轉動角度與SMA彈簧長度驗證理論模型的正確性.

圖9 Adams仿真計算流程圖Fig.9 Flowchart of Adams simulation

仿真與理論中的轉動角度α與時間t的關系如圖10所示，SMA彈簧長度與時間t的關系如圖11所示.仿真得到的轉動角度最大值與最小值分別為49.5° 與 -41.6°，與理論計算相差9%與7.5%.對于SMA彈簧長度l1、l2、l3，仿真值與理論值分別相差最大為1.3%、1.9%與3.6%.仿真與理論的結果相近，證明了理論推導模型的正確性.

圖10 α與t的關系Fig.10 α versus t

圖11 li與t的關系Fig.11 li versus t

3 實驗

選用Dynalloy公司生產的TiNi基SMA彈簧作為柔性機械臂的驅動，SMA絲的直徑為0.51 mm，繞成彈簧的中徑為3.45 mm.主結構采用3D打印，單節柔性操控臂模塊樣機如圖12所示.

圖12 柔性操控臂模塊樣機Fig.12 Prototype of flexible manipulator unit

在樣機上貼上反光靶點，采用恒流電源通電.在機構轉動過程中，用3臺高清單反相機對機構拍照，主要拍攝反光靶點，每2 s拍攝1次.在PhotoModeler Scanner軟件中處理并分析靶點，得到每個靶點的位置信息.通過向量方法獲得機構的轉動角度.通過軟件處理后，得到O、Ot、OB這3點的坐標.則轉動角度α可表示為

(34)

式中：Ut為O到Ot向量；UB為O到OB向量.

當電流I=0.8,1.0,1.2A時，時間t與轉動角度α的關系如圖13所示.

圖13 實驗中α與t的關系Fig.13 α versus t in the experiment

4 結語

本文以形狀記憶合金彈簧為驅動材料及3D打印光敏樹脂為支撐材料作為柔性機械臂的機體，設計空間柔性操控臂.通過幾何法建立運動學模型，為動力學模型的構建奠定了基礎.基于拉格朗日動力學，分析了柔性操控臂的動能、彈性勢能和重力勢能，得到動力學普遍方程.

通過Adams仿真，仿真與理論對比得到，轉動角度與理論計算相差9%與7.5%.對于SMA彈簧長度，仿真值與理論值分別相差最大為1.3%、1.9%與3.6%.結果表明，所提理論能正確分析柔性操控臂動力學.通過算例分析SMA彈簧在不同關節轉動下的動力響應，為后續SMA彈簧控制和柔性操控臂實驗研究奠定基礎.最后，制作單節柔性操控臂樣機并針對樣機測量不同電流下的轉動角度.本文的建模和仿真方法對于其他類型的機器人也具有借鑒意義.