數值模擬技術在“材料力學”教學中的應用研究*

樂建波，況小春，計燕華，程 棟

（景德鎮陶瓷大學，江西 景德鎮 333403）

0 引言

“材料力學”課程是機械類、建筑類等工科專業的基礎課程，對培養學生工程結構設計等方面的理論分析和工程實踐能力有著重要貢獻[1-2]。然而，由于該門課程具有概念散、數學公式多、內容復雜抽象、學習難度大[3]的特點，傳統的教學方式易導致學生學習主動性差、理論知識掌握不牢靠、工程運用能力不足等問題。隨著新興技術的發展，這種教學方式顯然未必符合高素質人才培養的需求。

為解決上述問題，國內眾多院校在“材料力學”的課程體系、教學內容以及教學方法等方面做了大量的改革，取得了不少成果。如王云洋等[4]通過材料力學低碳鋼拉伸實驗教學改革來提高學生的實踐動手能力、分析問題和解決問題的能力；盧玉林等[5]以不同開孔板的力學性能為例，對實驗中所包含的材料力學知識點進行串聯，并與鋼結構課程的知識點進行了有效銜接，以此達到激發學生學習動力；耿紅霞[6]通過學生自主設計結合工程實際的雙軸拉伸實驗的方法，達到加強鍛煉學生分析問題、解決問題的實踐能力，實現實驗課程由傳統模式向探究模式的轉變；李麗君等[7]將CAE方法應用到壓桿穩定教學中，使歐拉公式抽象的理論教學變得形象生動，彌補了缺少實驗的不足，豐富了學生的知識；胡可軍等[8]通過MSC.Marc軟件建立拉伸試驗、應力集中、圣維南原理和偏心拉伸的數值模型，展示了其在“材料力學”教學中應用情況，提升了學生對“材料力學”課程基本概念和基本理論的掌握，激發了學生對“材料力學”課程的學習興趣；李一帆等[9]提出了將數值模擬方法引入到“材料力學”教學中來，將“材料力學”的教學與數值模擬技術緊密結合在一起，使“材料力學”教學中難以講解清楚的現象直觀地展現在學生面前，同時提高了學生力學分析的基本技能和計算機操作與軟件應用的能力。這些教學手段有助于提升學生對“材料力學”中抽象概念的理解能力與應用能力，但實驗設備昂貴，且實驗耗材大，使底子薄、基礎差、經費緊張的一般院校更加困難；加上數值模擬技術的應用也只是借助其良好的視覺效果幫助學生理解，未做到理論計算與數值計算相結合，不能提升學生動手建模及工程應用與分析能力。因此，有必要進一步將數值模擬技術的應用融合到“材料力學”的教學研究中去。

在本課題組中，筆者通過數值模擬方法對材料力學中T形截面鑄鐵梁的受力變化情況進行理論分析，采用線模型建立T形截面鑄鐵梁的物理模型，構建了梁的數學模型，并進行數值求解。在此基礎上，將理論計算與數值模擬計算得到的梁的受力變化情況進行比較，以驗證數值模擬技術能融合到材料力學教學中，并可提升學生的建模和分析問題能力。

1 物理模型

以“材料力學”課程中的T形截面鑄鐵梁為例，其截面尺寸和荷載如圖1所示。該梁為外伸梁的一種基本形式，其特點是左端采用固定鉸支座進行固定，在距梁右端1 m處采用活動鉸支座進行固定。在這兩種固定方式的作用下，梁的左端可在平面內轉動，右端能在平面內轉動的同時可在水平方向左右移動。為簡化計算量，在建立物理模型時采用線模型，并根據材料力學中各向同性的基本假設設置材料的特性為各向同性，T形梁的簡化物理模型如圖2所示。T形梁的基本參數如表1所示。

圖2 T形梁的簡化物理模型Fig.2 Simplified physical model of T-beam

表1 T形梁的基本參數Table1 Basic parameters of T-beam

2 數學模型

工程中對于受彎的梁除強度有要求外，往往對剛度還有一定的要求，即要求梁的彎曲變形不能過大，否則也將導致梁的失效。在“材料力學”課程中求解梁的彎曲變形時，首先需要建立力偶的平衡方程將支座對梁的支撐反力一一求解出來，其次將梁上所有外力聯立起來，構建梁的分段彎矩方程，最后再利用二次積分法得到梁的撓度方程，從而得出梁的變形。因該T形梁的中間有集中力作用在C處，還有一個支座作用在梁的B處，故需將該梁分成三段，分別建立相應的方程。

根據材料力學中的求解思路，第一步得出梁的力偶的平衡方程：

式中：FRA、FRB分別為A、B兩處的支反力，kN；F1、F2分別為作用在梁上C處和D處的外載荷，kN；lCB，lBD分別為相應梁段的長度，m。

以A點為原始點，建立與梁平行的x軸，向右方為正方向，與x軸垂直的縱坐標為梁彎曲的位移，即梁的撓度。利用已求出的支撐反力分別求出梁各段的彎矩方程，再進行二次積分得出撓度方程，如下所示。

AC段的彎矩方程和撓度方程（0≤x≤1）：

BD段的彎矩方程和撓度方程（2≤x≤3）：

式中：E為梁的彈性模量，Pa；I為梁橫截面對中性軸的慣性矩，cm4；W1、W2、W3分別為AC、CB、BD三段所對應的撓度，即梁承受載荷后在縱向的位移量，mm。

為清晰看出力隨軸向的變化情況，并判斷梁的危險位置，在“材料力學”中常需繪制剪力圖與彎矩圖。而對于符號的判定也有相應的規則，在剪力符號的判定中利用了順逆時針的判定方法，即若左端的外力合力向上，則會使靠近左端的梁呈現出順時針轉動的趨勢，則該段處的剪力為正，反之則相反，靠近右端剪力的判定可采用同樣的方法判定；在彎矩符號的判定中也有類似的方法，但歸納為若兩端的合力向上使梁呈現下凹趨勢，則該段梁上的彎矩為正，反之則為負；撓度判定的規則是若梁向下彎曲時則撓度為負，向上則為正。根據上述方法，可以得出AC段的剪力為橫值2.5 kN，CB段的剪力為橫值-6.5 kN，BD段的剪力為橫值4 kN；C截面處最大正彎矩為2.5 kN·m，撓度為-0.66 mm，B截面處最大負彎矩為-4 kN·m，D截面處撓度為-2.14 mm；T形梁的剪力圖和彎矩如圖3所示。

圖3 T形梁剪力圖和彎矩圖Fig.3 Shear force diagram and bending moment diagram of T-beam

3 結果分析

模擬T形梁受載荷時所得到的剪力分布云圖如圖4所示，從圖中可以看出模擬得到的剪力數值與上述計算結果一致，在AC、CB、BD三段處的剪力均為橫值，分別為2.5 kN、6.5 kN、4 kN，且在CB段的剪力值最大。但此模擬結果無法判定出各段剪力的正負號，需進一步給出模擬結果。

圖4 T形梁剪力分布云圖Fig.4 Shear force distribution Cloud diagram of T-beam

模擬T形梁受載荷時所得到的剪力圖、彎矩圖及撓度圖如圖5所示，從圖中可以看出模擬結果與上述計算結果一致，在剪力圖中AC、CB、BD三段的剪力均為橫值，分別為2.5 kN、-65 kN、4 kN，且在CB段的剪力值最大，在彎矩圖中各段的分布數值及符號均與上述計算結果相同，且在C處的彎矩為2.5 kN·m，B處的彎矩為-4 kN·m，在撓度圖中各段的分布數值與上述計算結果一致，且在C處的撓度為0.66 mm，D處的撓度為2.14 mm，此撓度符號與上述所述的規則相反，但梁彎曲程度的研究不受影響。

模擬T形梁受載荷時所得到的撓度分布云圖如圖6所示，從圖中可以發現梁受到相應載荷后所呈現的彎曲變形趨勢與理論分析一致，且在C處的撓度為0.66 mm，D處的撓度為2.14 mm，而A、B處因受到支撐的限位約束作用，不產生位移，故該處的撓度均為0 mm。

圖6 T形梁撓度分布云圖Fig.6 Deflection distribution Cloud diagram of T-beam

4 結論

本課題組以材料力學中的T形截面梁為例，采用線模型建立了T形梁的簡化物理模型，通過對比分析數學模型與數值模擬所得的剪力、撓度及彎矩分布情況，得出以下結論。

1)采用數值模擬方法建立以線模型為基礎的T形梁簡化物理模型，能有效描述T形梁受載時梁軸線方向上的剪力、撓度及彎矩分布情況，模擬結果與理論計算結果相吻合，可用于“材料力學”的教學指導；

2)梁在集中載荷或支撐處截面上的剪力會發生突變，突變值等于該處的合力，而在集中載荷或支撐處左右端截面上的剪力為橫值；

3)梁在集中載荷或支撐處的彎矩存在極值，當該處的合力朝下作用時，彎矩為正值，反之為負；因此該T形梁在C處的極值彎矩為2.5 kN·m，B處的極值彎矩為-4 kN·m；

4)梁在集中載荷處的撓度值最大，在支撐約束處撓度值最小，因此該T形梁在C處的撓度值為0.66 mm，B處的撓度值為0 mm，D處的撓度值為2.14 mm。