基于投影平移的一般位置直線實長和傾角作圖方法

賀雨田

（西安石油大學機械工程學院，陜西 西安 710065）

0 引言

“畫法幾何”是實踐性較強的一門專業基礎課，也是進一步學習制圖課程（“建筑制圖”“工程制圖”“機械制圖”等）的基礎[1]。掌握“畫法幾何”理論與制圖基本規定，對認識所學專業的行業通用“工程語言”至關重要。該課程通常在大學一年級開設，這一階段，學生尚未充分建立本專業工程設計的基本概念，對于設計的理解，往往以本專業的某一具體有形幾何特征為宏觀指導。因此，學生對制圖中所要表達的對象理解并不深刻[2]。如何讓一個沒有任何工程背景的學生建立起對有形幾何特征的直觀認識，進行幾何結構、空間位置和理解思維的簡化是有效可行的辦法[3]。

一般線的實長是一個空間概念，在投影中求解時，需要與一般線的空間位置相聯系，從而在平面投影中通過幾何關系繪制出線的實長[4]。而傾角的本質就是實長與投影的夾角，因此，可以通過構造投影為直角邊、實長為斜邊的直角三角形求得[5]。

筆者針對一般線空間位置的特點，對一般線或其投影進行平移，并結合平移后一般線展開投影圖的幾何特點，對一般位置線段進一步分類，建立了基于投影平移的一般線實長和傾角求解方法，為提高學生對一般線的空間理解提供一種新思維，從而豐富“畫法幾何”教學中一般線實長和傾角的求解理論。

1 一般線

1.1 一般線投影

一般線的投影為直線，一般線的實長和傾角可以通過作圖求解，其中傾角為一般線與各投影面上的投影在投影線平面上的夾角，一般線與H面、V面和W面的夾角分別用α、β和γ表示，如圖1所示。

圖1 一般線投影

將圖1所示位置的一般線投影展開后，得到如圖2所示的投影圖。圖中三個投影面上的投影都傾斜于投影軸，投影不反映一般線的實長，各投影與相對投影軸的夾角也不反映一般線對投影面傾角的大小。

圖2 一般線投影展開圖

通過線段在圖1中的空間位置認識圖2的三面投影，比較容易理解，但通過圖2的三面投影還原線段在圖1中的空間位置時，需要一定的空間想象能力[6]。為了簡化對這一還原線段空間位置的理解，對圖1中的線段位置進行平移。假設圖1中所示一般線的端點B距離H面的距離為d，另一個端點A距離V面和W面的距離分別為l和w。將該一般線向下平移d，向后平移l，再向左平移w，則該線段的端點A平移到了Z軸上，端點B平移到了H投影面上，如圖3所示。

圖3 一般線位置平移

此時，展開一般線位置平移后的投影，端點A在H面上的投影a和端點B在V面上的投影b′同在OX軸上，端點A在V面上的投影a′和在H面上的投影a″同在Z軸上，如圖4所示。這使得一般線相對于投影坐標系的空間位置以及投影展開圖均得到簡化。而在實際投影時，任意一般線均可以通過平移，使其位置具有上述特點。

圖4 一般線平移后投影的展開圖

需要指出的是，一般線在空間中平移后可以得到特殊的展開圖；相應地，一般線的投影圖展開后，通過對投影進行平移，即對圖2進行平移，也可以得到與空間中平移后一樣的投影展開圖，即圖4展開圖。

1.2 一般線分類

在第一分角內，任意一般線通過平移后可以產生以下4種位置情況：1）一般線與H面和Z軸相交；2）一般線與V面和Y軸相交；3）一般線與W面和X軸相交；4）一般線通過原點O。對這4種位置進一步分類，可以將一般線分為兩類：一類是線段與一個投影面和垂直于該投影面的軸線的相交，也可視為一般線不通過原點O，這是上述4種位置的前3種情況；另一類是一般線通過原點O。

2 一般線實長和傾角求解

2.1 一般線與投影面和軸相交

一般線AB與H面和Z軸相交的空間位置及其投影如圖5所示。此時，一般線AB、一般線在Z軸的截距OA、一般線在H面上的投影OB構成一個直角三角形（圖中的陰影三角形），其中一般線AB為斜邊，OA和OB為直角邊，在該三角形中，AB為一般線的實長，∠ABO為一般線AB與H面的夾角α。

圖5 一般線與H面和Z軸相交的空間位置及其投影

圖5所示投影展開后如圖6所示，圖中Oa′（Oa″）和Ob的長度就是圖5所示陰影三角形中OA和OB兩個直角邊的長度。因此，只要構造一個以Oa′（Oa″）和Ob為直角邊的三角形，則其斜邊就是一般線的實長，斜邊與Ob的夾角為一般線AB與H面的夾角α。求得實長后，再分別構造出以實長為斜邊、以V面上的投影a′b′和W面上的投影a″b″為直角邊的兩個直角三角形，就可分別求解得到一般線AB與V面和W面的傾角。

圖6 一般線與H面和Z軸相交時的投影展開圖

在投影展開圖中的具體作圖方法如圖7所示。

圖7 一般線與H面和Z軸相交時實長與傾角的作圖方法

1）過O作Ob的垂線；

2）以O為圓心，以Oa′（Oa″）為半徑畫圓，與Ob的垂線交于點c；

3）將該交點c與b相連，則bc就是一般線的實長，∠Obc就是一般線AB與H面的夾角α；

4）分別過b′和b″作a′b′和a″b″的垂線；

5）以a′（a″）為圓心，以所求的實長為半徑畫圓弧，與兩條射線分別交于點d和點e，則∠b′a′d為線段與V面的夾角β，∠b″a″e為線段與W面的夾角γ。

通過這樣的作圖，就可以在三投影面體系中求解一般線的實長以及一般線與三個投影面的傾角。

另外兩種一般線位置（一般線與V面和Y軸相交，一般線與W面和X軸相交）的實長和傾角作圖方法與上述位置一般線實長和傾角的作圖思路一致，這里給出另外兩種一般線的投影圖和在相應投影展開圖上求解實長和傾角的作圖過程。一般線AB與V面和Y軸相交的空間位置及其投影如圖8所示，該一般線實長和傾角的作圖過程如圖9所示。一般線AB與W面和X軸相交的空間位置及其投影如圖10所示，該一般線實長和傾角的作圖過程如圖11所示。

圖8 一般線與V面和Y軸相交的空間位置及其投影

圖9 一般線與V面和Y軸相交時實長與傾角的作圖方法

圖10 一般線與W面和X軸相交的空間位置及其投影

圖11 一般線與W面和X軸相交時實長與傾角的作圖方法

2.2 一般線通過原點

一般線OA通過原點O的空間位置及其投影如圖12所示。此時，一般線OA與三個投影面的投影和相應的投影線構成三個直角三角形，其中一般線OA為斜邊，OA和三個投影的夾角就是線段與投影面的傾角。

圖12 線段通過原點O的空間位置及其投影

投影圖展開后，可以以任意一個投影為直角邊構造直角三角形。為了表述作圖過程，選擇以Oa″為直角邊構造直角三角形，具體作圖過程如圖13所示。

1）過O作Oa″的垂線；

2）連接a和a′交OX軸與ax；

3）以O為圓心，以Oax為半徑畫圓，交垂直Oa″的垂線于點c；

4）連接點a″與點c，則a″c為一般線的實長，∠Oa″c為一般線與W面的夾角γ，

5）過a和a′分別作Oa和Oa′的垂線；

6）以O為圓心，以實長a″c為半徑畫圓，交垂直Oa的垂線于點d，交垂直Oa′的垂線于點e，得∠aOd為線段與H面的夾角α，∠a′Oe為線段與V面的夾角β。以其余兩個投影為直角邊構造直角三角形與上述方法相似，這里不再贅述。

圖13 線段通過原點O時實長與傾角的作圖方法

3 結論

1）對一般線進行了平移，平移后簡化了一般線與投影面和投影軸的空間位置關系，得到了位置特殊的投影展開圖，相應地，通過投影平移也可以得到相同的結果。

2）根據平移后一般線與投影面和投影軸的位置關系，將一般線分為兩類：一類是與一根軸和與軸垂直的投影面相交的一般線，即不通過原點O的一般線；而另一類是通過原點O的一般線。

3）一般線的實長和傾角通過構造直角三角形進行求解：當一般線與一根軸和與軸垂直的投影面相交時，求解實長時，選擇投影通過原點O的線段和一般線與軸的截距為直角邊構造直角三角形，該三角形的構造可同時求解出一般線與通過原點O的投影所在投影面的傾角；當一般線通過原點O時，可以以任意一個投影為直角邊構造直角三角形。