單面雙極性磁鐵空間磁感應強度模型*

蘇徐昆 冷永剛 張雨陽 范勝波

(天津大學機械工程學院, 天津 300350)

(2021 年3 月8日收到; 2021 年4 月6日收到修改稿)

1 引 言

基于磁體間相互作用的應用可追溯至上千年前.如今, 永磁體也被廣泛應用在工業界和日常生活中[1].例如, 永磁體被大量應用于振動控制[2]和振動能量采集裝置[3,4]中, 利用磁力的非線性性質使系統產生雙穩或多穩狀態[5,6].在各類應用永磁體的裝置中, 磁力的計算顯得尤為重要, 而磁感應強度的計算是磁力計算中關鍵的一步.目前, 除去采用有限元算法或經驗公式的辦法外[7], 計算永磁體空間磁感應強度或永磁體間相互作用力的理論模型主要有磁化電流法和磁荷法[8-10], 二者本質上是等效的[11].

本課題組最近的研究發現, 尺寸差異較大的成對永磁體相互作用時, 若兩磁鐵相同的極性互相靠近到一定距離, 斥力會轉變為吸力, 小磁鐵最終會吸附在大磁鐵上.大磁鐵在小磁鐵磁場的作用下發生局部退磁[12].在撤掉小磁鐵后, 大磁鐵形成單面雙極性磁鐵而小磁鐵保持不變.定性層面上,小尺寸磁鐵在退磁曲線上負載線斜率的絕對值更大, 因而它對外加磁場的敏感性要小于大尺寸磁鐵[13,14], 小尺寸磁鐵僅用于產生方向和大磁鐵磁化強度方向相反的外加退磁場.在機電系統中利用該單面雙極性磁鐵, 能夠產生近場局部可調控的磁場而不影響遠場的值, 在多穩態非線性裝置[15]、直流電機[16]和新型位移傳感器[17]等研發領域中可能有一定應用前景.但目前在定量層面, 缺乏計算單面雙極性磁鐵空間磁感應強度的理論模型.

為了解決單面雙極性磁鐵空間磁感應強度分析計算的問題, 本文基于磁化電流法構建了理論模型, 并推導了該類磁鐵空間磁場分布的表達式.經大量實驗檢驗, 該模型直觀且有效.以圓柱形磁鐵為例, 計算結果表明, 單面雙極性磁鐵可等效看作可調控內環位置、尺寸和等效磁化強度的多環環形磁鐵.此外, 本文固定大磁鐵尺寸, 分析了小磁鐵尺寸的改變對單面雙極性磁鐵的影響, 結果表明,小磁鐵尺寸的改變影響到單面雙極性磁鐵的局域等效磁化強度和反向電流環的位置, 從而影響空間磁場的分布.本文解釋了單面雙極性磁鐵的成因,給出了空間磁場分布定量的結果, 為單面雙極性磁鐵的應用提供了理論依據.

2 理論模型

由于磁鐵形狀的影響主要體現在磁化電流的計算方面, 并不影響本模型的構建.為簡潔起見,本文大磁鐵和小磁鐵均采用圓柱形磁鐵.其他形狀[18-20]的磁鐵亦可參照本方法得出對應的結果.由于大磁鐵與小磁鐵同極性相對并無限接近, 大磁鐵的磁化強度受到小磁鐵與之反向的磁場的影響,因此大磁鐵發生不可逆的局部退磁現象, 小磁鐵會吸附在大磁鐵上, 且大磁鐵以其與小磁鐵接觸的表面為界限形成反常區域.當撤掉小磁鐵后, 小磁鐵不發生變化, 再用小磁鐵與此時的大磁鐵同極性相對并慢慢靠近時, 磁鐵間的作用力逐漸由斥力轉變為吸力, 大磁鐵形成單面雙極性磁鐵.為簡潔起見,上述大磁鐵的局部退磁過程簡稱接觸反磁化過程,而經由接觸反磁化過程形成的單面雙極性磁鐵本文簡稱為反常磁鐵, 反之稱為正常磁鐵.

設大磁鐵經過 N 個小磁鐵分別在不同位置接觸反磁化后, 形成如圖1所示的單面雙極性磁鐵.其中大磁鐵和小磁鐵的半徑分別為 ra和 rbi, 磁化強度分別為 Ma和 Mbi, 下標 i =1,2,···,N用于標記小磁鐵.反常區域的中心分別為 O1,O2,···,ON,半徑分別為 r1,r2,···,rN,O1與 大磁鐵中心 O點重合.

圖1 圓柱形磁鐵表面多處接觸反磁化示意圖Fig.1.Schematic diagram of a cylindrical magnet with multiple local demagnetization on the surface.

大量的實驗結果表明, 反常磁鐵的反常區域具有和大小磁鐵接觸面幾乎相同的形狀和尺寸, 因而反常區域的半徑 ri等于在此處用于接觸反磁化的小磁鐵的半徑 rbi.在反常磁鐵表面上, 反常區域的邊界處出現尺寸十分小的帶狀過渡區域, 本模型忽略過渡區域的寬度, 并做出如下假定: 單面雙極性磁鐵具有分塊均勻的磁化強度 M , 即:

其中, 坐標原點 O :(0,0)為大磁鐵的圓心;Oi:(xi,yi),ri分別為反常區域的圓心和半徑,i =1,2,···,N.為 參 考 點 到第 i個 反 常區域圓心 Oi的距離.假定 M0=Ma, 即未接觸區域保持原有的磁化強度, 而反常區域的局域磁化強度 Mi的取值與用于接觸反磁化的小磁鐵的磁化強度 大 小 Mbi有 關.設 大 磁 鐵 有 退 磁 系 數 α, 滿 足|α|＜1, 且 反 常 區 域 局 域 磁 化 強 度 大 小 滿 足Mi=α(Mbi)Ma.一般而言, 小磁鐵磁化強度越大時, 大磁鐵遭受外部退磁場越強, 因而退磁系數 α越小.經過簡化后, 單面雙極性磁鐵可看作磁化強度分段均勻的磁介質.考慮不存在自由電流的宏觀恒定磁場:

其中 B 為磁感應強度,μ0為真空磁導率,j=?×M為磁化電流密度.在分界面處, 磁感應強度的法向分量連續, 且切向分量的突變可由分界面上的面電流密度描述[21,22].設 gi為第 i個反常區域分界面上的面電流密度, 有

則磁感應強度的突變和分界面電流密度的關系為

其中,ni為第 i個分界面處的單位法向矢量, 由未接觸區域指向反常區域.由于磁場強度 H=1/μ0BM, 代入方程(2), 它是無旋的, 因而它的切向分量是連續的.即有:

其中 Hti,Hni分別為磁場在第 i個分界面上沿切向和法向的分量.代入方程(4)即可得到:

則分界面上面電流密度和磁化強度的關系為

而磁鐵本身的邊界條件, 令方程(7)中 Mi=0即可得到.設全局坐標系以圓心 O為原點, 全局坐標系下參考點為 r (x,y,z), 各個反常區域圓心相對于坐標原點的坐標平移矢量為在各個反常區域圓心 O1,O2,···,ON處建立局部坐標系, 它們由全局坐標系沿著 ti平移得到.由于場方程的線性性, 空間磁場來源于各個電流環貢獻的線性疊加, 即參考點的磁感應強度 B (r)由各個電流環在參考點產生的磁感應強度獨立疊加而得:

其 中,d li為第 i個電流環的 局 部 坐 標系下的線元,r′=(r-ti)-dli為該局部坐標系下, 參考點到電流線元的位置矢量.特別地, 若考慮軸向充磁的圓柱形磁鐵, 在 z軸, 即圓心所在軸上的軸向磁感應強度 Bz(z)有簡單的表達式:

其中 R ,L分別為圓柱形磁鐵的半徑和軸向厚度.

通過接觸反磁化形成的反常磁鐵存在兩種簡單的極限情況, 當 N =1 , 且 O1=O時, 即由大磁鐵和小磁鐵對心接觸反磁化而形成的反常磁鐵, 簡稱為只存在中心反磁化的反常磁鐵.以 z軸上的軸向磁感應強度為例, 方程(9)應包含外環電流和內環電流兩項的貢獻:

參考方程(7), 當 M1=M0時,g1=0, 內部不存在電流, 模型內部磁化強度處處均勻, 此時模型退化為正常圓柱形磁鐵, 方程(10)退化為方程(9); 而當 M1=0時, 反常區域可視作不存在磁介質的空氣, 模型退化成環形磁鐵.

要特別指出的是, 本節提出的模型建立在反常磁鐵具有分塊均勻的磁化強度這一假設上.當小磁鐵半徑比較大, 它在表面附近產生的磁場不能認為是勻強磁場, 模型計算的結果可能會產生誤差.此外, 原則上本模型只能計算反常區域彼此分離的情況, 同一塊大磁鐵接觸反磁化所產生的反常區域不能有交集.并且當接觸反磁化次數 N 增多時, 磁鐵內部磁疇分布會變得復雜, 可能將不得不考慮過渡區域對于反常磁鐵的影響.

3 實驗驗證

本節采取兩組實驗模型加以驗證, 用到的永磁鐵均為商業N35釹鐵硼磁鐵.兩組模型分別標記為A, B.其中模型A僅中心反磁化, 模型B除中心反磁化外, 在半徑 r =12.5mm處的圓周上均勻分布四個接觸反磁化點, 簡稱為中心及軌道接觸反磁化, 兩組模型材料細節見表1.通過分別測量兩組反常磁鐵軸向的磁感應強度與軸向相對距離的關系, 驗證第2節理論計算結果的準確性.

表1 A, B兩組模型材料參數Table 1.Material parameters of the two models.

實驗過程分為大磁鐵的接觸反磁化過程和反常磁鐵磁感應強度的測量兩步.以模型A的接觸反磁化過程為例, 如圖2所示, 圖2(a)和圖2(b)為用于實驗的軸向充磁正常磁鐵, 在磁顯片下能觀察到表面均勻分布的磁場.將大磁鐵和小磁鐵同極性相對并固定在對中器件后, 使二者緩慢靠近.如圖2(c)所示, 當相對距離足夠小時小磁鐵會吸附到大磁鐵上.測量磁感應強度的實驗裝置如圖2(d)所示, 將高斯計(型號BST100)探測頭和磁鐵中心對齊后, 通過調節螺旋測距儀測得不同位置處的磁感應強度.

圖2 (a), (b) 磁顯片下 Φ 40×2.5 和 Φ 12×18 的正常磁鐵; (c) 中心接觸反磁化結果: 小磁鐵被吸附在大磁鐵中心;(d) 磁感應強度測量實驗裝置Fig.2.(a), (b) Normal magnets of size Φ 40×2.5 and Φ12×18 under magnetic field viewing film; (c) the small magnet is observed to be attracted to the center of the large magnet after the local demagnetization process at the center of the large magnet; (d) experiment setup for the measurement of magnetic induction intensity.

3.1 中心接觸反磁化

在遠場情況下, 反常磁鐵的磁感應強度應和正常磁鐵具有相近的值.本節先測量了大、小兩個正常磁鐵(Φ 40×2.5和 Φ 12×18 )在 z軸上的軸向磁感應強度 Bz(z).這樣, 一方面在方程(8)中令N=0即可驗證磁化電流法的準確性, 另一方面也可作為估算磁化強度的依據.如圖3(a)和圖3(b)所示, 大磁鐵和小磁鐵的磁化強度分別為 Ma=6.8818×105A/m和Mb=6.1387×105A/m.實 驗結果和磁化電流模型符合較好.除了實驗測量誤差外, 整體實驗誤差主要來源于磁鐵尺寸誤差和磁化強度誤差.在軸向充磁圓柱形磁鐵中, 依據方程(9), 軸向磁感應強度 Bz(z)計算結果與真實值應只相差常數倍.在我們選用的大磁鐵 Φ 40×2.5中, 磁鐵高度的變化對磁感應強度的影響較大, 高度每變化1 mm, 表面中心磁感應強度改變約21.23 mT;而磁鐵半徑每變化1 mm, 表面中心磁感應強度約改變2.63 mT, 半徑帶來的影響可以忽略不計.因而靠近表面時, 磁鐵高度和磁化強度的誤差會被放大.

圖3 正常磁鐵軸向磁感應強度 B z(z) .紅色圓點為實驗測量結果, 藍色直線為磁化電流模型計算結果 (a) 大磁鐵 Φ 40×2.5 ;(b) 小磁鐵 Φ12×18Fig.3.The axial magnetic induction intensity B z(z) of a normal magnet.Red dot denotes the experimental data whereas the blue line denotes the theoretical results: (a) Larger magnet Φ 40×2.5 ; (b) smaller magnet Φ 12×18 .

本模型中, 大磁鐵接觸反磁化后, 具有一個同心的反常圓形區域.如圖4(a)所示, 反常磁鐵中有兩個電流環對空間磁場做出貢獻.磁顯片下的反常磁鐵如圖4(b)所示, 在中心出現了寬度1 mm左右的帶狀過渡區域, 其內部包含一個直徑恰好為12 mm 的圓形反常區域.

圖4 模型A: 僅中心接觸反磁化的圓柱磁鐵 (a) 反常磁鐵示意圖; (b) 磁顯片下的反常磁鐵Fig.4.Model A: Cylindrical magnet with local demagnetization at the center: (a) Diagram of the abnormal magnet; (b) the abnormal magnet under magnetic field viewing film.

在本例中取退磁系數 α =0.6471進行計算.如圖5(a)所示, 方程(10)計算的結果和實驗結果相符合, 隨著離磁鐵表面距離的減小, 反常區域的作用逐漸體現出來, 從而轉變了磁感應強度的增長方向.即使內環電流的強度相較于外環電流的強度要小一些, 接觸反磁化的作用在近場處仍舊很明顯.這是因為, 相較于外環電流, 內環電流到 z軸上參考點的距離要小得多, 因而外環電流的貢獻實際要小一些.考慮第2節所述的模型的兩種極限情況, 圖5(b)分別繪制了相同尺寸下正常磁鐵、環形磁鐵和反常磁鐵的軸向磁感應強度隨軸向距離改變關系的模擬結果, 其中環形磁鐵的內環直徑與單面雙極性磁鐵反常區域的直徑相同.

圖5 (a) 模型A反常磁鐵軸向磁感應強度 B z(z) .紅色圓點為實驗測量結果, 藍色直線為磁化電流模型計算結果.(b) 正常圓柱形磁鐵, 反常磁鐵和正常環形磁鐵軸向磁感應強度, 其中三種磁鐵外形尺寸均一致Fig.5.(a) The axial magnetic induction intensity B z(z) for the abnormal magnet.Red dot denotes the experimental data whereas the blue line denotes the theoretical results.(b) The axial magnetic induction intensity B z(z) of a normal cylindrical magnet, an abnormal magnet and a normal ring magnet, of which the dimensions of the three are the same.

很顯然, 在遠場時, 三者的磁感應強度相差無幾.若從磁化電流模型考慮, 如圖4(a)所示, 正常磁鐵對應只有最外圈的電流環做貢獻的情形, 而環形磁鐵和單面雙極性磁鐵除此之外還有內圈反向電流環的貢獻, 但由于遠場時內環電流和外環電流到 z軸上參考點的距離幾乎一致, 而內環電流的強度要小得多.因而在遠場時, 內圈電流環的貢獻幾乎可以忽略不記.另外, 只有在距離較靠近磁鐵表面時, 反常效應才顯現出來.如方程(7)所示, 環形磁鐵對應于 Mi=0的情況, 其反向電流強度最大,因而其在近場處的磁感應強度最小.在 z軸上, 可參考方程(10)的第二項, 它對應于反向電流環產生的軸向磁感應強度.方程(10)第二項的系數為(M1-M0), 由于環形磁鐵的這一系數為( -M0),小于反常磁鐵的系數 ( α-1)M0, 因而整體上環形磁鐵的反向磁感應強度要更小.反常磁鐵實際上因為反常區域的存在, 抵消了環形磁鐵的一部分反向電流.從這個角度看, 僅中心接觸反磁化的單面雙極性磁鐵可看作可調控近場磁感應強度的環形磁鐵, 其中磁感應強度的調節范圍介于正常圓柱形磁鐵和環形磁鐵之間.且該調控可通過改變小磁鐵的磁化強度來實現.

3.2 中心及軌道接觸反磁化

第2節的理論模型能夠處理多處接觸反磁化的情況, 每個電流環獨立貢獻.參考方程(8), 相對于某個固定的參考點, 各個電流環的貢獻彼此只相差一個坐標平移.如圖6(a)所示, 在模型A的基礎上, 分別在點 O2(12.5,0),O3(-12.5,0),O4(0,12.5),O5(0,-12.5)處 用小磁鐵(尺寸 Φ 6×20)對準圓心進行局部接觸反磁化就得到了模型B的反常磁鐵.其中 Φ 6×20 小磁鐵的磁化強度為 Mb2=8.3393×105A/m.如圖6(b)所示, 在磁顯片下, 反常磁鐵共有5處反常區域, 直徑均和用于接觸反磁化的小磁鐵的直徑相當.首先, 仍考慮 z軸上的軸向磁感應強度 Bz(z), 以圖6(a)中的示意圖為參照, 相較于模型A的反常磁鐵, 模型B的反常磁鐵多出4個完全對稱的反向電流環, 但由于 z軸位于這些電流環的外部, 因而他們在 z軸上的磁感應強度方向沿 z軸的負方向, 而 z軸位于外環電流 I0的內部,則這四個電流環及外環電流在 z軸上的軸向磁感應強度方向一致, 而和內環電流 I1產生的 Bz(z)的方向相反.因而在 z軸上, 在反常效應起作用的范圍內, 模型B的軸向磁感應強度 Bz(z)反而由于四個電流環的存在, 要大于模型A的 Bz(z).

圖6 模型B: 中心及軌道反磁化的圓柱形磁鐵 (a) 反常磁鐵示意圖.為便于閱讀, 圖中四個小圓的半徑放大了一倍.(b) 磁顯片下的反常磁鐵Fig.6.Model B: Cylindrical magnet with local demagnetization at both the center and the orbit: (a) Diagram of the abnormal magnet.For the convenience of reading, the radii of the four small circles in the figure are doubled.(b) The abnormal magnet under magnetic field viewing film.

圖7 (a)給出了模型A和模型B反常磁鐵 z軸上的軸向磁感應強度 Bz(z)的實驗數據, 二者均在距離磁鐵表面相同處測量磁感應強度, 在圖7(a)上二者 x軸上的數據點相同.在遠場時二者磁感應強度 Bz(z)幾乎一致, 而在距離相對近一些時, 模型B對稱的四個電流環 I2,I3,I4,I5的作用開始顯現出來, 如圖7(a)中虛線標注所示, 在 z∈(1,5)mm的相同位置處, 模型B的磁感應強度顯著高于模型A的磁感應強度.而當距離趨近于0, 即靠近磁鐵上表面時, 起作用的主要是內環的反向電流 I1,因而二者磁感應強度差異值又開始減小.模型B包含中心 Φ 12 的反常區域和軌道上四個 Φ 6的全同反常區域, 各自區域內取退磁系數 α12=0.6471,α6=0.5016 .計 算 得 到 的Bz(z)和 實 驗 測 得 的 數據繪制于圖7(b)中, 理論計算和實驗測量結果符合良好.

圖7 (a) 模型A, B反常磁鐵軸向磁感應強度的實驗數據; (b) 模型B反常磁鐵軸向磁感應強度.藍色圓點為實驗測量結果, 紅色直線為磁化電流模型計算結果Fig.7.(a) Experimental data of axial magnetic induction for abnormal magnets of type A and B; (b) the axial magnetic induction intensity of the abnormal magnet of type B.Blue circle denotes the experimental data whereas the red line denotes the theoretical results.

以上選取的計算軸(z軸)剛好在軌道四個電流環 I2,I3,I4,I5所形成的反常區域的外部, 并且距離這四個電流環的中心 O2,O3,O4,O5較遠, 這四個電流環對整個磁感應強度 Bz(z)的貢獻并不太大.為清晰地區別模型A和B, 選取在距離反常磁鐵表面 3 mm處的 x y 平面上, 沿 x軸方向的線段為計算軸, 計算并測 量 其 x方向的 磁 感 應 強度 Bx(x).這樣, 該計算軸剛好經過了兩個軌道電流環 I2和 I3.圖8(a)給出了 Bx(x)的實驗和計算結果, 二者符合良好.其中, 沿豎直方向的黑色實線標注了反常區域的邊界位置, 紅色虛線為反常區域的圓心.當z=3mm,y=0時, 沿著 x軸方向, 反常區域的邊界點出現在中心反常區域 x =±6mm和軌道反常區域 x =±9.5mm,±15.5mm, 且各自的圓心分別為 x =0,±12.5mm.圖8(b)給出了相同情況下模型A, B及正常磁鐵在 z =3mm平面處的水平磁感應強度 Bx(x).參考圖4(a)和圖6(a), 模型A, B的反常磁鐵都存在一個相同的中心反向電流環, 在該電流環所包圍的圓域內部二者的磁感應強度相差無幾.脫離該圓域后, 模型A的反常磁鐵逐漸回歸到正常磁鐵的趨勢, 意味著隨著半徑 |x|的增大,中心反向電流環的影響逐漸減小.而由于模型B的反常磁鐵在半徑 r =12.5mm的圓上還存在四個對稱的反向電流環, 相應地, 在 |x|增大到脫離中心反常區域時, 又受到軌道上反常區域的影響.特別注意到圖8(b)中磁感應強度 Bx(x)與三條紅色虛線的交點, 它們是反常磁鐵模型A、B和正常磁鐵的水平磁感應強度在反常區域中心的值.在第一個交點 x =-12.5mm處, 模型A與模型B的水平磁感應強度 Bx相等并且高于正常磁鐵在此處的水平磁感應強度.這是由于模型B軌道上的電流環I2,I4和 I5距離點 x =-12.5太遠, 他們產生的磁感應強度可以忽略, 且電流環 I3在中心產生的水平磁感應強度 Bx=0.在其他交點處, 也有類似的結果.因而, 模型B的反常磁鐵亦可看作可調控局部磁感應強度的多孔磁鐵.

圖8 (a) 在 z =3mm 平面上, 模型B反常磁鐵的水平磁感應強度 B x(x) , 紅色圓點為實驗測量結果, 藍色直線為磁化電流模型計算結果; (b) 在 z =3mm 平面上, 模型A, B反常磁鐵及正常磁鐵的水平磁感應強度 B x(x) 的對比Fig.8.(a) The horizontal magnetic induction intensity B x(x) of the abnormal magnet of type B at z =3mm .Red circle denotes the experimental data whereas the blue line denotes the theoretical results.(b) Comparison of horizontal magnetic induction intensity B x(x) of the abnormal magnets of type A and B and a normal magnet with the same size at z =3mm .

4 參數分析

第3節的結果表明, 接觸反磁化形成的圓柱形反常磁鐵可以視作可調控局部空間磁感應強度的多孔環形磁鐵.若已知大磁鐵退磁曲線, 調控措施主要通過改變小磁鐵的尺寸和磁化強度來實現.一般來說, 在其他條件都保持不變時, 小磁鐵半徑的改變主要影響反向電流環的大小, 小磁鐵高度的改變可能影響磁化強度的大小.為更細致地探究小磁鐵半徑及磁化強度的變化對反常磁鐵的影響, 本節選取了半徑和高度各不相同的多組小磁鐵來中心接觸反磁化尺寸為 Φ 40×2.5的大磁鐵, 小磁鐵的尺寸及磁化強度信息如表2所列.實驗仍測量反常磁鐵沿 z軸的軸向磁感應強度 Bz(z).

表2 小磁鐵尺寸、磁化強度及相應反常磁鐵指標Table 2.The size and magnetization of small magnet and the indicators of corresponding abnormal magnet.

本節定義兩個指標: 反常磁鐵表面中心軸向磁感應強度 Bsz和轉變點的位置, 即軸向上 ?Bz/?z=0的位置.二者用于衡量反常區域的強度, 后者可根據方程(10)計算.反常磁鐵的空間磁場隨小磁鐵磁化強度的改變是簡單的, 由于小磁鐵半徑及接觸反磁化的位置皆保持不變, 小磁鐵的磁化強度Mb只影響了反常區域的等效磁化強度 M1.在本節選取的半徑相同的小磁鐵中, 小磁鐵高度越大它的磁化強度 Mb就越大, 因而大磁鐵反常區域受到的外部退磁場越大, 最終使得大磁鐵反常區域的等效磁化強度 M1越小.由方程(7)和方程(10)可知 M1越小, 反向電流環強度的絕對值越大, 因而軸向磁感應強度 Bz(z)越小.

圖9(a)和圖9(b)繪制了反常區域直徑分別為15和10 mm的反常磁鐵的軸向磁感應強度Bz(z), 圖中對應顏色的豎直虛線標注了三組反常磁鐵轉變點的位置, 數值見表2.

圖9 不同厚度小磁鐵 (a) Φ 15×10 , Φ 15×15 和Φ15×20 以 及(b) Φ 10×10 , Φ 10×15 和 Φ 10×20 接觸反磁化大磁鐵 Φ 40×2.5 后得到的反常磁鐵,其沿 z 軸的軸向磁感應強度 Bz(z)Fig.9.The axial magnetic induction B z(z) of larger magnet Φ 40×2.5 demagnetized by smaller magnets of different heights with (a) Φ 15×10 , Φ 15×15 , Φ 15×20 and(b) Φ 10×10 , Φ 10×15 , Φ 10×20 .

實驗結果和本文模型給出的預測一致, 即小磁鐵高度的改變影響到反常磁鐵的等效磁化強度時,由于小磁鐵半徑不變, 結果上只改變了反向電流強度的大小, 因此反常磁鐵空間磁感應強度的變化也只受到反向電流環強度改變的影響.因而一般來說, 小磁鐵半徑不變, 但磁化強度越大時, 反常磁鐵的空間磁感應強度受到反向電流環的影響越大,因而 Bsz越小, 而轉變點的位置也越遠離磁鐵表面.

而當小磁鐵半徑改變時, 不僅會影響反常磁鐵中反常區域的等效磁化強度, 還會影響到反向電流環的位置.考慮小磁鐵半徑在小范圍內變化, 因而可以忽略為此帶來的磁化強度的變化, 依據方程(10), 對小磁鐵半徑 r1求導有:

注意到, 當距離 z →+∞時,fr(r1,z)→0, 對于軸向磁感應強度 Bz(z), 在遠場處, 小磁鐵半徑的改變帶來的影響可以忽略.若考慮反常磁鐵表面中心軸向磁感應強度 Bsz, 在方程(11)中令 z =0, 當r1＞0時有 fr(r1,z)＞0 恒成立, 因而隨著半徑 r1的增大,Bsz也會增大, 這也符合我們實驗觀測的結果.從電流模型也能直觀地得出這一結論, 當反向電流環強度幾乎一致時, 小磁鐵半徑越大對應反常磁鐵的反向電流環越遠離中心, 因而在表面中心處反向電流環的效果越弱, 因此 Bsz也會越大.

以上結果均表明, 接觸反磁化形成的反常磁鐵, 其反常效果僅僅在近場處體現, 在遠場處表現得和正常磁鐵一樣.不僅如此, 由于大磁鐵幾乎只在反常區域內受到小磁鐵產生的外部退磁場的影響, 反常效果也僅在反向電流環所包圍的區域內體現.正如圖8(b)的結果, 在反常區域內部, 磁感應強度受到反向電流環的影響較大, 而在反常區域外, 磁感應強度的變化逐漸回歸到正常磁鐵的變化趨勢.由于本文模型的圓對稱性, 這一規律在任何水平方向都是成立的.

在距離磁鐵表面 z0=5mm的平面上, 計算了兩個反常磁鐵的磁感應強度, 他們由直徑均為15 mm, 高度分別為20和10 mm的小磁鐵接觸反磁化而形成.以這兩塊反常磁鐵磁感應強度的差值:Bβ(x,y,z0)=Bβh20(x,y,z0)-Bβh10(x,y,z0)來表現這兩塊反常磁鐵反常效應的差別.其中等式左邊的下標 β =t,n,abs分別代表磁感應強度切向, 法向大小的差值和磁感應強度絕對值的差值, 法向對應于 z軸的正向.等式右邊的下標 h 20,h10對應小磁鐵的高度為 2 0 和 1 0mm.在 Bβ(x,y,z0)=0的區域, 是外環電流起主導的區域.除此之外的區域,我們認為是反常效應起作用的區域.如圖10(a)-圖10(c)所示, 圖中紅虛線標注的圓為反常區域的邊界, 它是直徑為15 mm的圓弧.很顯然在遠離反常區域時, 磁感應強度的差異值迅速衰減, 反常磁鐵在此時表現得和正常磁鐵一致.

圖10 由小磁鐵 Φ 15×20 和 Φ 15×10 接觸反磁化形成的反常磁鐵C, D, 在遠離磁鐵表面 z =5mm 處二者磁感應強度的差值: (a)反常磁鐵C與D的切向磁感應強度差值 B t ; (b) 反常磁鐵C與D的法向磁感應強度差值 B n ; (c)反常磁鐵C與D的磁感應強度的絕對值的差值 BabsFig.10.Abnormal magnets C, D are locally demagnetized by smaller magnets of size Φ 15×20 and Φ 15×10 at the center, the difference of magnetic induction between C and D at the plane 5 mm away from the abnormal magnets'surface: (a) The tangential difference B t ; (b) the axial difference B n ; (c) the difference of absolute value B abs .

可以總結, 對于由接觸反磁化形成的反常磁鐵而言, 它的反常效應只體現在近場且比反常區域略大一些的區域內.而在遠離這些區域時, 反向電流環的作用迅速衰減.在調節這一反常效應時, 用于接觸反磁化, 提供反向磁場的小磁鐵和大磁鐵的接觸面積決定了反常區域的大小, 而小磁鐵的磁化強度決定了反常區域邊界上反向電流環的強度.因而當需要有更大反常區域, 且有更強的反常效應的反常磁鐵時, 應選用磁化強度較大且大小磁鐵接觸面積更大的小磁鐵作為反向磁場的提供者.但是需要指明, 若小磁鐵的半徑過大, 就不能看作勻強磁場源, 實際情況會更復雜.

5 結 論

本文研究了一類由同極性相面對的大小磁鐵,在外力作用下相互接觸后形成的單面雙極性反常磁鐵, 其中局部反常區域具有和兩個磁鐵接觸面一樣的形狀和尺寸.需要說明的是, 本文研究的單面雙極性磁鐵不同于多極充磁形成的單面多極性磁鐵(它的極性由磁化強度的方向來定義), 由于小磁鐵在整個接觸反磁化過程中幾乎不發生改變, 因此本文反常磁鐵的雙極性指代的是在反常磁鐵表面上, 既有和小磁鐵相吸引, 又有和小磁鐵相排斥的區域.至于接觸反磁化形成的反常磁鐵, 它的局部磁化強度原則上可從大磁鐵的退磁曲線上得到.本文研究取得了以下結論:

1) 推導并建立了反常磁鐵的等效磁化電流模型, 可以有效計算反常磁鐵的空間磁感應強度.其中, 反常區域分界面上的電流可由磁化強度的突變描述, 反常磁鐵所產生的空間磁場可看作由多個電流環的貢獻疊加而成.

2) 設計了僅中心反磁化和多處反磁化兩組實驗來檢驗等效模型的準確性, 實驗測量結果和理論計算模型相符合.模型表明, 對于大小永磁鐵均為圓柱形磁鐵的情況, 接觸反磁化形成的反常磁鐵可等效為可調節局部磁場的多環環形磁鐵.

3) 給出了小磁鐵尺寸變化對于反常磁鐵的影響規律.小磁鐵尺寸的變化主要影響到小磁鐵的磁化強度和小磁鐵與大磁鐵的接觸面積.小磁鐵的磁化強度越大, 則反常區域具有更小的等效磁化強度, 分界面上的反向電流強度絕對值越大, 因而反常效應越明顯.而小磁鐵和大磁鐵的接觸面積決定了反常區域的大小.

4) 在垂直于反常磁鐵表面的方向上, 反常效應是近場效應, 在平行于磁鐵表面的平面內, 反常效應幾乎只在反常區域內體現, 遠離反常區域后便迅速衰減.