基于MacCormack 法的膨脹波火炮內彈道數(shù)值模擬*

郭張霞，謝景云，李 闖，王永存，金寅翔

（1.中北大學機電工程學院，太原 030051；2.晉西工業(yè)集團有限責任公司，太原 030024；3.西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099）

0 引言

膨脹波火炮采用新的發(fā)射機理研制而成，在內彈道的某一時刻，突然打開安裝在炮尾處的后噴裝置，膛內部分高溫高壓燃氣從噴管向后噴出，膛底壓力下降，膨脹波向炮口方向移動，追趕向前運動的彈丸，使膨脹波在彈丸飛出炮口前未趕上彈丸，便能夠在不降低火炮威力的情況下，顯著減小發(fā)射過程中產生的后坐能量和身管熱量［1-3］。

內彈道設計是膨脹波火炮研制的基礎。膨脹波火炮內彈道模型基于閉膛經典內彈道，增加關于流量的方程，在進行求解計算時，會假設平均壓力求解、彈后空間密度均勻分布，這樣會引起壓力呈現(xiàn)整體性變化，計算出的彈丸初速比實際結果低，對火藥燃氣后噴產生的膨脹波在炮膛的傳遞過程，經典內彈道不能進行準確描述，后噴過程中火藥燃氣在膛內的流動規(guī)律無法準確獲得。膨脹波在膛內的流動是一維的，而膛內火藥燃氣的流動也主要為一維，為準確、方便地計算彈丸初速，獲得膛內流動參數(shù)的變化規(guī)律，創(chuàng)建膨脹波火炮一維均相流內彈道模型。一維均相流模型忽略氣固兩相間的相互作用，計算相對簡單、便利，求解結果具有相當?shù)臏蚀_性，能滿足工程上的需要，是研究膨脹波火炮內彈道一個較好的工具［4-7］。

MacCormack 法是Lax-Wendroff 的變種，在空間和時間上具有二階精度，是解決流體流動問題的一種顯式有限差分法，具有簡單、便于理解和易于編程實現(xiàn)、占用電腦內存小、求解時間短等優(yōu)點，常用于求解可壓縮和不可壓縮流體非定常流動，往往都能得到令人滿意的求解結果，該方法在兵器裝備、航空航天、管道模擬等方面均有廣泛應用［8-11］。

本文建立了膨脹波火炮的一維均相流模型，并采用MacCormack 法，推導出膨脹波火炮的一維均相流方程，并對其進行內彈道求解，得出膨脹波火炮的平均壓力、彈丸速度等參數(shù)，通過與經典內彈道求得的結果進行對比，證明了MacCormack 模型的正確性。

1 膨脹波火炮一維均相流數(shù)學模型

1.1 基本假設

根據(jù)膨脹波火炮的發(fā)射特點，對其進行以下假設：

1）氣體和固體混合均勻，將混合體看作連續(xù)介質的流體，忽略氣相和固相間的相互作用；

2）混合體在膛內一維流動，不考慮混合體流動時的摩擦力；

3）火藥顆粒服從幾何和指數(shù)燃燒定律，所有的火藥顆粒的形狀、大小和物化性質均相同；

4）通過減少火藥力的辦法來修正身管的熱散失和未燃火藥由初溫升到著火點溫度而吸收的熱量；5）不考慮身管后坐對膛內混合體流動影響；6）氣體壓力視為混合體的壓力。

1.2 膨脹波火炮內彈道

火藥燃氣的狀態(tài)方程為

1.3 計算參數(shù)

筆者以35 mm 閉膛火炮為計算原型，后噴裝置打開方式選擇為主動式爆炸隔板打開，（下文稱“開閂”）假設開閂瞬間完成，所需的身管結構參數(shù)、火藥參數(shù)等如下表1 所示。

表1 35 mm 膨脹波火炮計算參數(shù)

圖1 膨脹波火炮炮膛結構

其中，截面A 為噴管出口，截面B 為噴管入口，截面C 為藥室底面，截面D 是彈底面（彈丸未運動前），截面E 為炮口端面，其結構參數(shù)如表2 所示。

表2 炮膛結構參數(shù)

后噴裝置最佳打開時間為：開閂后，膨脹波逐步向炮口方向的運動，在彈丸出炮口的瞬間，膨脹波剛好傳遞到彈底，此為最理想狀態(tài)，不影響彈丸初速，并能有效降低后坐力。開閂時間過早，會影響彈丸初速，開閂時間過遲，后噴氣體減少，減后坐效率降低。根據(jù)閉膛經典內彈道，可以反推出膨脹波火炮的最佳開閂時間，為2.27 ms。

2 膨脹波火炮MacCormack 內彈道模型

2.1 MacCormack 法解內彈道方程組

采用MacCormack 法求解膨脹波火炮一維均相流內彈道，稱為MacCormack 內彈道模型，MacCormack 法由預估步和校正步構成。

圖2 時間推進

預估步為：

2.2 邊界條件

2.2.1 左邊界

左邊是炮尾方向，左邊求解分以下3 種情況：1）固定壁面；2）超聲速出口；3）亞聲速出口。判斷條件為：1）后噴裝置未打開，按固定壁面求解，后噴裝置打開；2）噴管尾部馬赫數(shù)Ma≥1，按超聲速出口求解；3）噴管尾部馬赫數(shù)Ma≤1，按亞聲速出口求解。

2.2.2 右邊界

右邊是炮尾方向，右邊求解分以下3 種情況：1）運動壁面；2）超聲速出口；3）亞聲速出口。判斷條件為：1）彈底截面未離開炮口截面，按運動壁面求解，彈底截面離開炮口截面；2）炮口馬赫數(shù)Ma≥1，按超聲速出口求解；3）炮口馬赫數(shù)Ma≤1，按亞聲速出口求解。

其中，Cx是任意給定的參數(shù)，在0.01 到0.03 之間取值，用于調整計算。

3 MacCormack 內彈道模型計算結果

3.1 驗證MacCormack 內彈道模型

根據(jù)MacCormack 內彈道模型，在MATLAB 軟件中編寫內彈道程序，計算出不開閂和開閂狀態(tài)下的內彈道參數(shù)變化規(guī)律，并與閉膛經典火炮內彈道計算結果，以及用平均壓力法計算的膨脹波火炮內彈道結果進行對比，對比結果如下頁圖3（a）～圖3（d）和表3～表4 所示（圖表中方法1 為MacCormack法，方法2 為平均壓力法）。

圖3 平均壓力與彈丸速度變化曲線圖

表3 內彈道特殊點數(shù)據(jù)對比（不開閂）

表4 內彈道特殊點數(shù)據(jù)對比（開閂）

如圖3（a）～圖3（b），在不開閂情況下，MacCormack 法和平均壓力法求解的膨脹波內彈道參數(shù)變化規(guī)律與閉膛經典火炮一致；如圖3（c）～圖3（d），在開閂情況下，平均壓力法計算的彈丸初速與閉膛經典內彈道初速相差較大，而MacCormack 法所求彈丸初速與閉膛經典內彈道初速相近，滿足膨脹波火炮的發(fā)射要求。通過上述對比，證明了MacCormack 內彈道模型的正確性，并且比平均壓力法求解結果更準確。

3.2 MacCormack 內彈道模型求解結果

本節(jié)用MacCormack 法求解膨脹波火炮內彈道，開閂和不開閂情況的內彈道參數(shù)對比結果如圖4（a）～圖4（d）所示，部分點的數(shù)據(jù)對比如表4～表5所示。

圖4 內彈道參數(shù)對比結果

表5 膛底壓力結果對比（單位：MPa）

（下標“d”表示彈底，“t”表示膛底，“g”為出炮口點，“max”表示最大值，數(shù)字表示特殊時間點）

圖4 和表4～表6 表明，運用MacCormack 內彈道模型計算膨脹波火炮內彈道，彈丸初速在開閂和不開閂狀態(tài)下差別很小，開閂與否幾乎不影響彈丸初速；開閂后，膛內壓力減小，膛底壓力在開閂后的零點幾個毫秒內迅速降低，而后繼續(xù)減小；彈底壓力在剛開閂時并無影響，在3.8 ms 左右，開始略有下降，可能是膨脹波傳遞到彈底，也可能是求解誤差所致，并且在出炮口時彈底壓力差值不大。

表6 彈底壓力結果對比（單位：MPa）

根據(jù)計算結果，得出最大壓力附近時刻到出炮口時間段的膛內火藥氣體壓力、速度、密度、溫度等內彈道參量的分布規(guī)律，如圖5 所示。

圖5 內彈道參數(shù)分布規(guī)律圖

如圖5（a）所示，彩色曲線為不同時刻的膛內壓力的軸向分布，把彩線右端的點連接起來而繪制的黑色曲線，為彈底壓力隨時間的變化規(guī)律，圖5（b）～圖5（d）中曲線類似。由圖5 可知，在開閂前，最大膛壓出現(xiàn)在藥室底部附近；開閂后，最大膛壓向炮口方向移動，火藥氣體一部分向后噴出，藥室底部速度與炮口方向相反，膛內火藥氣體的密度、溫度變化規(guī)律與壓力的一致。

4 結論

本文建立了膨脹波火炮內彈道一維均相流模型，并推導出適應MacCormack 格式的數(shù)值求解模型，對膨脹波火炮內彈道進行數(shù)值仿真，并將計算結果與閉膛經典內彈道結果進行對比，驗證了所建模型的正確性。計算得到了不同時刻下，膨脹波火炮膛內壓力、速度、密度、溫度的分布規(guī)律，真實地反映了膨脹波在膛內的運動過程。