無背索斜塔斜拉橋的模態分析及1∶1內共振研究

陳雙慶, 王樹英, 呂文舒，陳超云

(1.中南大學 土木工程學院, 湖南 長沙 410014； 2.湖南文理學院, 湖南 常德 415000；3.中交水運規劃設計院有限公司, 北京 100020； 4.湖南省益陽公路橋梁建設有限責任公司, 湖南 益陽 413000)

0 引言

無背索斜塔斜拉橋造型奇特，吸引了眾多學者對其研究和探索[1-2]。無背索斜塔斜拉橋不同于傳統的直塔斜拉橋，由于取消了單側拉索，其主要依靠主塔的傾斜來平衡主梁的恒載和活載，受力情況更為復雜，因此，無背索斜塔斜拉橋動力學特性的相關內容得到橋梁工程領域的關注[3]。

Starossek[4]在經典橋梁體系的基礎上，提出了一種全新的斜拉橋體系概念，即采用傾斜塔來代替傳統的垂直塔，通過討論該體系的優缺點，指出該體系可以實現更大的跨度。彭旺虎等[5]總結國內外無背索斜塔斜拉橋，論述了塔梁平衡關系，推導得到了塔的合理傾角，為該類斜塔傾角的選取提供了理論依據。陳愛軍等[6-7]比較了無背索斜拉橋與常規直塔斜拉橋力學的行為差異，從塔、梁和索的布置形式出發，分析了各種類型無背索斜塔斜拉橋的受力特性，并研究了斜塔柱的合理結構形式。劉永健等[8]針對無背索斜塔斜拉橋進行了靜動力荷載試驗，結合三維有限元模型的理論計算，從試驗的角度研究了橋梁的靜力和動力特性。蔡向陽等[9]基于無背索斜塔斜拉橋的受力特點，建立了用于評估豎彎剛度的雙梁離散彈簧動力學模型，將普通鋼索替換為CFRP索后，分析了斜拉索對整體豎彎剛度的影響。楊吉新等[10]以六安市壽春西路大橋為工程背景，通過有限元軟件建立相應的有限元模型，模擬和計算了不同溫度荷載下的截面應力情況，得出升溫和降溫作用下，橋塔將會產生較大的拉應力和較大的結構變形，對橋梁的安全產生不利影響。

從上述研究可以看出，目前對無背索斜塔斜拉橋的研究主要通過有限元模擬來實現。而斜拉索作為斜拉橋中重要的受力構件，對斜拉橋的動力學特性有著十分重要的影響，由于斜拉索具有阻尼低，重量輕的特點，容易在環境荷載(例如風雨荷載和車輛荷載等)下產生大幅振動[11-13]，從而影響斜拉橋的動力學性能。因此，在建立有限元模型時，采用何種方法來模擬斜拉索是正確把握無背索斜塔斜拉橋動力學特性的關鍵。目前，建立斜拉橋的二維平面有限元模型主要有兩種方法：第1種方法是斜拉索采用桿單元，但只將斜拉索劃分為一段，即用一個桿單元模擬斜拉索[14-15];第2種方法是斜拉索采用桿單元并將斜拉索劃分為多段，即將斜拉索離散為多個桿單元[14-15]。基于以上兩種模型，蘇瀟陽等[16]對傳統斜拉橋的力學性能進行了研究。而對于無背索斜塔斜拉橋，相關研究卻未見到。

本研究以某無背索斜塔斜拉橋為工程背景，研究無背索斜塔斜拉橋頻率、振型等模態特性，揭示了全局模態與局部模態，局部模態與局部模態之間的1∶1 內共振關系。

1 工程概況

某斜拉橋位于長沙市，采用豎琴式無背索斜塔斜拉橋[9]。主梁采用鋼-混凝土組合梁，挑梁間距為4～5 m，橋面寬33.2 m，主塔傾角為58°，主跨206 m，主塔橋面以上高度138 m。全橋共13對拉索，塔上索距為9.312 m，梁上索距12 m，橫橋向兩排，間距為6 m[9,11]，斜拉橋的立面示意圖如圖1所示, 為表示方便，將斜拉索從里到外依次標記為C1,C2,…,C13，斜拉索索力如表1所示。

表1 斜拉索索力

圖1 某無背索斜塔斜拉橋立面圖

2 模態分析

為了探究無背索斜塔斜拉橋的模態，利用有限元軟件ANSYS建立相應的二維有限元模型，如圖2所示。采用兩種不同的模型對斜拉索進行模擬，即

圖2 無背索斜塔斜拉橋有限元模型

OECS(one-element cable system，簡稱OECS)模型和MECS(multi-element cable system，簡稱MECS)模型，以探討不同斜拉索模擬方法對無背索斜塔斜拉橋模態的影響。需要說明的是，建模時將塔的上端視為自由，塔的下端和主梁的兩端視為固支，采用Earnst等效彈性模量考慮斜拉索的垂度影響。

2.1 OECS有限元模型

采用LINK10單元模擬斜拉索并劃分為一段，主梁和主塔采用BEAM44模擬，總劃分單元數為303，總劃分節點數為291。表2和圖3給出了是否考慮索力時，采用OECS有限元模型計算得到的斜拉橋前6階頻率和振型。觀察圖3可以得出，振型均以梁和塔的振動為主，索的振動主要由主梁拖動所造成，這種振型一般被稱作全局模態。表2和圖3的結果表明，索力對全局頻率和振型的影響很小，這是因為在OECS模型中，斜拉索被劃分為一個單元，不會產生彎曲， OECS模型不能模擬出索的振動，此時斜拉索僅對主梁起到彈性支承的作用，因此，索力對全局頻率和振型影響較小，這與文獻[11,18-19]得到的結果相同。斜拉橋作為一種柔性結構，剛度不足是其主要問題，所以通常需要在概念設計階段對斜拉橋的豎彎剛度進行評估，而此種建模方法可以有效地識別出所需要的全局模態，節約了時間成本，因此在計算斜拉橋的模態時，如果只需要全局模態，可以采用此種方法建模，避免了篩選全局模態的麻煩。另外，表2中列出了文獻[17]計算的頻率，可以看出其與本研究得到的頻率十分接近，說明本研究結果的可靠度較高。

表2 OECS模型斜拉橋前6階頻率

圖3 OECS模型斜拉橋前6階振型

2.2 MECS有限元模型

采用LINK10單元模擬斜拉索并將每根斜拉索劃分為100段，總劃分單元數為1 590，總劃分節點數為1 578。表3和圖4給出了采用MECS有限元模型計算得到的無背索斜塔斜拉橋前10階頻率和部分振型。對比表2和表3可以看出，第1階頻率幾乎相同，這是因為第1階模態是以主梁和主塔振動為主的全局模態，這說明采用MECS模型對全局模態的頻率影響不大。對比圖4和圖3可以看到，由于將斜拉索劃分為多段，使得MECS模型能夠模擬斜拉索的振動，因此，圖4中存在斜拉索單獨振動的振型(例如第2～5階振型)，這種振型稱為局部模態，由于斜拉索是一種柔性結構，所以局部模態的頻率較小，一般出現在低階。除了全局模態和局部模態，還有第3種模態，如圖4中的第14階振型所示，此時，梁、塔和索都發生了振動，這種模態稱為混合模態，這是模態相互耦合的結果。仔細觀察第14階振型還可以看出，梁的振動形式與圖3中的第3階振型相同，索的振動形式以C11的2階振型為主，而根據表2，第3階頻率為1.042 9 Hz，與C11的2階頻率(1.054 18 Hz，見表4)很接近，這說明圖3中的第3階模態與C11的2階模態之間發生了1∶1內共振，此時將會發生模態間的能量傳遞并可能造成索的大幅振動。

圖4 MECS模型斜拉橋振型

表3 MECS模型斜拉橋前10階頻率

為了驗證本研究模型的正確性，將局部模態頻率與張緊弦理論算出的頻率進行對比。根據張緊弦理論，張緊索的頻率為：

(1)

式中，f為頻率，n=1,2,3,…,lc為拉索長度；Hc為索力；mc為線密度。

基于上述理論，可以計算出斜拉索的自振頻率并與本研究算出的頻率進行對比，如表4所示。從表中可以看出，本研究模型算出的局部模態頻率與采用張緊弦理論算出的頻率之間吻合非常好，說明本研究有限元模型可靠。

表4 ANSYS與張緊弦理論計算頻率對比

3 1∶1內共振分析

3.1 基本理論

由于斜拉橋是一種高次超靜定結構，對其整體進行非線性求解非常困難，所以一般只研究其中的基本構件，例如索梁模型。基于該模型，簡要介紹采用多尺度法進行斜拉橋非線性內共振求解的基本理論。梁和索的運動方程可以寫為[20]：

(2)

(3)

式中，m，v，ξ，E和I分別為單位長度質量、橫向位移、阻尼系數、彈性模量和慣性矩，下標‘1’和‘2’分別為梁和索；N和H2分別為梁和索的初始軸力；F和Ω分別為外激勵的振幅和頻率；A2為索的截面積；e2(t)為平均動應變，其表達式為：

(4)

式中，θ為索與梁的夾角;l2為拉索長度;y2為索的初始構型。

為探究更一般的規律，引入以下無量綱變量：

(5)

式中，d為索的垂度；ω為面內自振頻率。為便于書寫，省略變量上方的橫線，則式(2)和(3)可以另寫為：

(6)

(7)

根據文獻[20]，v1(x,t)和v2(x,t)可以寫為：

v1(x,t)=φ1(x)q1(t)，

(8)

v2(x,t)=φ2(x)q2(t)+φ1(x)q1(t)sin2θ，

(9)

將式(8)和(9)代入式(6)和(7)并進行伽遼金積分，可以得到如下所示的常微分方程

(10)

(11)

式中，常系數可通過伽遼金離散后得到。

根據多尺度法，引入簿記參數ε和一個新的時間變量Ti-1=εi-1t。同時，將q1與q2一致展開為：

qi=qi0(T0,T1)+εqi1(T0,T1)，

(12)

式中，i=1,2。

將式(12)代入式(10)和(11)，并令ε的同次冪等于0：

(13)

(14)

式(13)的解為：

q10=A1(T1)exp(iω1T0)+cc，

q20=A2(T1)exp(iω2T0)+cc，

(15)

式中cc為前面所有項的共軛。

將式(15)代入式(14)，根據所考察的內共振關系，找到對應的久期項并令久期項為0。為方便求解，將A1與A2寫為極坐標形式，即

(16)

式中，am(T1)和Φm(T1)可通過可解性條件求得。將式(16)代入久期項，最終可以求得系統穩態解。

3.2 有限元分析

基于以上理論可以定量對內共振進行分析，而采用有限元法可以定性對無背索斜塔斜拉橋中存在的各種內共振關系進行把握，由于MECS模型更能全面地揭示出斜拉橋的全部模態，所以本節的分析都是基于MECS模型。由表3可知，無背索斜塔斜拉橋的頻率非常密集，而且斜拉索的數量眾多，不可避免地會導致某階局部模態頻率與全局模態頻率之間呈現倍比關系，從而引發各種形式的內共振。圖5(a)為2階全局模態與C9的1階模態之間的1∶1 內共振，由于1階模態在各階模態中占有重要的地位，所以與索1階模態間的內共振一直是斜拉橋非線性動力學的研究問題之一。由表2可以知道，2階全局模態的頻率為0.620 4 Hz，注意到C9的1階模態頻率為0.604 071 Hz(見表4)，兩者十分接近，從而導致了1∶1內共振，由于C8的1階頻率與C9相近，導致圖5(a)中也激起了C8的1階模態。

圖5 全局模態與局部模態間的內共振

除了上述所說的全局模態與索的1階模態之間的內共振，還存在全局模態與索的高階模態之間的內共振。圖5(b)給出了無背索斜塔斜拉橋第28階振型，其頻率為1.829 31 Hz。從圖中可以看到，梁的振動形式與圖3中的第4階振型類似，索的振動則以C5的2階振型為主，同時還伴有其余斜拉索的高階振型振動。根據表2，第4階全局模態的頻率為1.819 6 Hz，而C5的2階頻率為1.861 29 Hz，兩者很接近，這說明此時4階全局模態和C5的2階模態之間發生了1∶1內共振，一旦梁的4階模態被激起，主梁就會在索端給斜拉索施加一個參數激勵，從而激起C5的2階模態。由于索的數量多，頻率比較密集，短索的低階頻率可能與長索的高階頻率相近，從而也會激起長索的高階模態，圖5(c)進一步驗證了這種現象。圖5(c)為第6階全局模態與局部模態間的1∶1內共振，從圖中可以明顯看到短索的低階模態和長索的高階模態同時被激起，此時索與梁之間不僅會發生能量傳遞，短索與長索之間也會通過梁發生能量間的傳遞，使得無背索斜塔斜拉橋的非線性行為變得更加復雜。

除了全局模態與局部模態間的內共振，索與索之間，即局部模態和局部模態之間也存在復雜的內共振關系。由于短索的自振頻率比同階的長索的自振頻率大，因此，很容易出現短索的低階模態與長索的高階模態之間的1∶1內共振。圖6(a)中，C1的1階模態和C11的4階模態同時被激起，由于C1的1階模態頻率為2.083 85 Hz，C11的4階模態頻率為2.120 60 Hz，兩者十分接近，所以此時發生了1∶1內共振。同樣，圖6(b)給出了C2的1階模態與C11的3階模態之間的1∶1內共振，這樣的內共振模式還有很多，在特定的條件下均有可能引起不同索之間的內共振。除此之外，索的高階模態之間也存在1∶1內共振，例如圖6(c)所示的C7的2階模態與C12的3階模態。甚至出現更為復雜的內共振現象，從圖6(d)中可以看到多根索的高階模態之間同時被激起了內共振，這在一定程度上解釋了為什么實際工程中一根斜拉索的振動往往會導致其余多根索的大幅振動，此時容易導致斜拉索的疲勞和拉索保護層的破壞，降低斜拉索的使用壽命，甚至影響斜拉橋的行車安全，工程中應特別注意設計參數規避相應的共振區，以避免此類現象的發生。

圖6 局部模態與局部模態間的內共振

4 結論

(1) OECS模型簡單方便，但采用OECS模型只能計算出無背索斜塔斜拉橋的全局振型和頻率，不能模擬斜拉索的振動，當只需要斜拉橋的全局模態時，可以采用此種建模方法，避免了篩選全局模態的麻煩，從而節約時間成本。

(2) MECS模型能夠模擬斜拉索的振動，對全局振型、頻率的計算結果影響不大，能準確有效地計算出無背索斜塔斜拉橋的全部平面內模態。MECS模型與OECS模型配合使用，可以快速確定全局模態與局部模態間的內共振關系。

(3) 在一定條件下，全局模態與索的低階和高階模態間會發生1∶1內共振，不同索的高階模態以及高階與低階模態間也會發生1∶1內共振，由于無背索斜塔斜拉橋頻率的密集性，甚至有可能激起多根索的振動，工程中應注意避免此現象的發生。